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例3 已知：如图1.1.1,四边形ABCD是任意四边形,AC,BD相交于点O。
试说明：AC + BD ＞ $\frac{1}{2}$(AB + BC + CD + DA)。
试说明：AC + BD ＞ $\frac{1}{2}$(AB + BC + CD + DA)。
答案
证明：在∆AOB中，AO + BO ＞ AB；
在∆BOC中，BO + CO ＞ BC；
在∆COD中，CO + DO ＞ CD；
在∆DOA中，DO + AO ＞ DA
将以上四个不等式相加得
(AO + BO) + (BO + CO) + (CO + DO) + (DO + AO) ＞ AB + BC + CD + DA
即2(AO + CO + BO + DO) ＞ AB + BC + CD + DA
∵AO + CO = AC，BO + DO = BD
∴2(AC + BD) ＞ AB + BC + CD + DA
∴$AC + BD ＞ \frac 12(AB + BC + CD + DA)$
在∆BOC中，BO + CO ＞ BC；
在∆COD中，CO + DO ＞ CD；
在∆DOA中，DO + AO ＞ DA
将以上四个不等式相加得
(AO + BO) + (BO + CO) + (CO + DO) + (DO + AO) ＞ AB + BC + CD + DA
即2(AO + CO + BO + DO) ＞ AB + BC + CD + DA
∵AO + CO = AC，BO + DO = BD
∴2(AC + BD) ＞ AB + BC + CD + DA
∴$AC + BD ＞ \frac 12(AB + BC + CD + DA)$
1. 如图,为估计池塘岸边A,B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA = 15m,OB = 10m,A,B间的距离不可能是( )
A.20m
B.15m
C.10m
D.5m
A.20m
B.15m
C.10m
D.5m
答案
D
2. 下列说法不正确的是( )
A.三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
B.在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角
C.三角形任意两边之差大于第三边
D.直角三角形中斜边最长
A.三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
B.在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角
C.三角形任意两边之差大于第三边
D.直角三角形中斜边最长
答案
C
3. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为1:2:3,按角分类,此三角形是______三角形。
答案
直角
4. 若等腰三角形的两边分别为4,9,则其周长为______。
答案
22
5. 已知a,b,c为△ABC的三边,化简：|a + b - c| + |a - b - c|。
答案
解：∵a，b，c 为∆ABC的三边，∴a + b ＞ c，b + c ＞ a
则a + b - c ＞ 0，a - b - c = a - (b + c) ＜ 0
∴$\vert a + b - c \vert + \vert a - b - c \vert = (a + b - c) + (b + c - a) = 2b$
则a + b - c ＞ 0，a - b - c = a - (b + c) ＜ 0
∴$\vert a + b - c \vert + \vert a - b - c \vert = (a + b - c) + (b + c - a) = 2b$
