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例 2 几何图形是由点、线、面组成,“点动成线、线动成面、面动成体”。生活中处处有数学,请你写出一个生活中能反映“线动成面”的例子：
汽车的雨刷在车窗上滑动形成一片干净的区域（答案不唯一）
。答案
答题卡：
能反映“线动成面”的例子：汽车的雨刷在车窗上滑动形成一片干净的区域（答案不唯一）。
能反映“线动成面”的例子：汽车的雨刷在车窗上滑动形成一片干净的区域（答案不唯一）。
A. 天空划过一道流星
B. 扔一块小石子,石子在空中飞行的路线
C. 旋转一扇门,门在空中运动的痕迹
D. 汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
B. 扔一块小石子,石子在空中飞行的路线
C. 旋转一扇门,门在空中运动的痕迹
D. 汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹
答案
C
解析
对于选项A，天空划过一道流星，流星划过天空可看作一个点在空间移动，形成的轨迹是线，是点动成线；
对于选项B，扔一块小石子，石子在空中飞行的路线，石子可看作一个点，其飞行路线是线，是点动成线；
对于选项C，旋转一扇门，门可看作一个面，门在空中运动的痕迹是体，是面动成体；
对于选项D，汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹，雨刷可看作一条线，在挡风玻璃上面画出的痕迹是一个面，是线动成面。
题目要求找出面动成体的选项，所以答案选C。
对于选项B，扔一块小石子，石子在空中飞行的路线，石子可看作一个点，其飞行路线是线，是点动成线；
对于选项C，旋转一扇门，门可看作一个面，门在空中运动的痕迹是体，是面动成体；
对于选项D，汽车雨刷在挡风玻璃上面画出的痕迹，雨刷可看作一条线，在挡风玻璃上面画出的痕迹是一个面，是线动成面。
题目要求找出面动成体的选项，所以答案选C。
1. 打开折扇时,随着扇骨的移动形成一个扇面,这种现象可以用数学原理解释为(
A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
D.两点确定一条直线
B
)A.点动成线
B.线动成面
C.面动成体
D.两点确定一条直线
答案
B
解析
折扇的扇骨可看作一条线，当扇骨移动形成扇面时，这是线通过移动形成了面，符合线动成面的数学原理。
2. 下列说法正确的有(
①五棱柱有 10 个顶点,10 条棱,7 个面；
②点动成线,线动成面,面动成体；
③圆锥的侧面展开图是一个圆；
④用平面去截一个正方体,截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)①五棱柱有 10 个顶点,10 条棱,7 个面；
②点动成线,线动成面,面动成体；
③圆锥的侧面展开图是一个圆；
④用平面去截一个正方体,截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形。
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
① 五棱柱有10个顶点（上下底各5个），15条棱（5条侧棱，上下底各5条底棱，错误（实际棱数为15，题目说10条），7个面（2个底面，5个侧面），故①错误。
② 点动成线，线动成面，面动成体，是几何的基本概念，正确。
③ 圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，错误。
④ 用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形（如截去一角）、四边形（如平行于一面截取）、五边形、六边形（如沿对角线截取），正确。
正确的有②和④，共2个。
② 点动成线，线动成面，面动成体，是几何的基本概念，正确。
③ 圆锥的侧面展开图是一个扇形，而不是圆，错误。
④ 用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形（如截去一角）、四边形（如平行于一面截取）、五边形、六边形（如沿对角线截取），正确。
正确的有②和④，共2个。
3. 将如图放置的一个直角三角形 $ ABC(\angle C = 90^{\circ}) $,绕斜边 $ AB $ 旋转一周,所得到的几何体的前视图是下面四个图中的(
A.
B.
C.
D.
C
)A.
B.
C.
D.
答案
C
解析
直角三角形ABC(∠C=90°)绕斜边AB旋转一周，得到的几何体是两个共底的圆锥组合体（底面为直角顶点C绕AB旋转形成的圆，两个圆锥分别以A、B为顶点）。前视图是从正面观察该组合体，看到的是两个底边重合的三角形，公共底边（底面直径）用虚线表示，符合选项C的图形。
4. 一个长方形的长是 3 厘米,宽是 2 厘米。如图所示,以长为轴旋转一周形成圆柱甲,以宽为轴旋转一周形成圆柱乙。下面说法正确的是(
A.两个圆柱的底面积一样大
B.两个圆柱的底面周长一样大
C.两个圆柱的侧面积一样大
D.两个圆柱的体积一样大
C
)A.两个圆柱的底面积一样大
B.两个圆柱的底面周长一样大
C.两个圆柱的侧面积一样大
D.两个圆柱的体积一样大
答案
C
解析
以长为轴（3厘米）旋转时，圆柱甲的底面半径为2厘米，高为3厘米。
底面积 $S_{甲底} = \pi × 2^2 = 4\pi$，
侧面积 $S_{甲侧} = 2\pi × 2 × 3 = 12\pi$，
体积 $V_{甲} = \pi × 2^2 × 3 = 12\pi$。
以宽为轴（2厘米）旋转时，圆柱乙的底面半径为3厘米，高为2厘米。
底面积 $S_{乙底} = \pi × 3^2 = 9\pi$，
侧面积 $S_{乙侧} = 2\pi × 3 × 2 = 12\pi$，
体积 $V_{乙} = \pi × 3^2 × 2 = 18\pi$。
对比选项：
A. 底面积不同（$4\pi \neq 9\pi$），错误。
B. 底面周长分别为 $4\pi$ 和 $6\pi$，不同，错误。
C. 侧面积相同（$12\pi = 12\pi$），正确。
D. 体积不同（$12\pi \neq 18\pi$），错误。
底面积 $S_{甲底} = \pi × 2^2 = 4\pi$，
侧面积 $S_{甲侧} = 2\pi × 2 × 3 = 12\pi$，
体积 $V_{甲} = \pi × 2^2 × 3 = 12\pi$。
以宽为轴（2厘米）旋转时，圆柱乙的底面半径为3厘米，高为2厘米。
底面积 $S_{乙底} = \pi × 3^2 = 9\pi$，
侧面积 $S_{乙侧} = 2\pi × 3 × 2 = 12\pi$，
体积 $V_{乙} = \pi × 3^2 × 2 = 18\pi$。
对比选项：
A. 底面积不同（$4\pi \neq 9\pi$），错误。
B. 底面周长分别为 $4\pi$ 和 $6\pi$，不同，错误。
C. 侧面积相同（$12\pi = 12\pi$），正确。
D. 体积不同（$12\pi \neq 18\pi$），错误。
5. 如图,这个几何体的名称是
六棱柱
；它由8
个面围成,有12
个顶点,经过每个顶点有3
条棱。答案
六棱柱；8；12；3
解析
观察图形，该几何体上下底面为六边形，侧面为长方形，符合六棱柱的特征。六棱柱有上下2个底面和6个侧面，共8个面；上下底面各有6个顶点，共12个顶点；经过每个顶点有3条棱（1条侧棱和2条底面上的棱）。
6. 第一行的平面图形绕虚线旋转一周能得到第二行的一个几何体,请用线分别连接起来。
答案
7. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 ($ V $)、面数 ($ F $)、棱数 ($ E $) 之间存在的一个有趣的关系式,被称为欧拉公式。请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题：
(1)根据上面几个多面体模型,完成表格中的空格：
|多面体|顶点数 ($ V $)|面数 ($ F $)|棱数 ($ E $)|
|四面体|4|4|①
|长方体|8|6|12|
|正八面体|②
|正十二面体|20|12|③
你发现顶点数 ($ V $)、面数 ($ F $)、棱数 ($ E $) 之间存在的关系式是
(2)一个多面体的面数比顶点数小 8,且有 30 条棱,则这个多面体的顶点数是
(3)某种玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由五边形和六边形两种多边形拼接而成,且有 60 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱,设该多面体表面五边形的个数为 $ x $,六边形的个数为 $ y $,求 $ x + y $ 的值。
(1)根据上面几个多面体模型,完成表格中的空格：
|多面体|顶点数 ($ V $)|面数 ($ F $)|棱数 ($ E $)|
|四面体|4|4|①
6
||长方体|8|6|12|
|正八面体|②
6
|8|12||正十二面体|20|12|③
30
|你发现顶点数 ($ V $)、面数 ($ F $)、棱数 ($ E $) 之间存在的关系式是
$V + F - E = 2$
；(2)一个多面体的面数比顶点数小 8,且有 30 条棱,则这个多面体的顶点数是
20
；(3)某种玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表是由五边形和六边形两种多边形拼接而成,且有 60 个顶点,每个顶点处都有 3 条棱,设该多面体表面五边形的个数为 $ x $,六边形的个数为 $ y $,求 $ x + y $ 的值。
因为60个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条棱，所以棱数为$\frac{60×3}{2}=90$条，根据欧拉公式可得$60 + (x + y)-90 = 2$，所以$x + y = 32$。
答案
（1）
① $6$
② $6$
③ $30$
$V + F - E = 2$
（2）$20$
（3）
因为$60$个顶点，每个顶点处都有$3$条棱，两点确定一条棱，所以棱数为$\frac{60×3}{2}=90$条，
根据欧拉公式可得$60 + (x + y)-90 = 2$，
所以$x + y = 32$。
① $6$
② $6$
③ $30$
$V + F - E = 2$
（2）$20$
（3）
因为$60$个顶点，每个顶点处都有$3$条棱，两点确定一条棱，所以棱数为$\frac{60×3}{2}=90$条，
根据欧拉公式可得$60 + (x + y)-90 = 2$，
所以$x + y = 32$。
