1. 计算:$42^{\circ}11'37''+51^{\circ}49'26''= $.

$94^{\circ}1'3''$

根据度、分、秒的进制为$60$，对$42^{\circ}11'37'' + 51^{\circ}49'26''$进行计算。
先将秒相加：$37''+26'' = 63''$，因为$63''=60'' + 3''=1'3''$。
再将分相加：$11'+49'+1' = 61'$，因为$61'=60'+1' = 1^{\circ}1'$。
最后将度相加：$42^{\circ}+51^{\circ}+1^{\circ}=94^{\circ}$。
所以$42^{\circ}11'37'' + 51^{\circ}49'26''=94^{\circ}1'3''$。

2. 如图,OM是$∠AOB$的平分线,OP是$∠MOB$内的一条射线,已知$∠AOP比∠BOP大30^{\circ}$,则$∠MOP$的度数是.

15°

设∠AOM=∠MOB=x（OM是∠AOB平分线），∠MOP=y，∵OP在∠MOB内，∴∠BOP=∠MOB-∠MOP=x-y。∠AOP=∠AOM+∠MOP=x+y。由∠AOP-∠BOP=30°，得(x+y)-(x-y)=30°，化简得2y=30°，∴y=15°，即∠MOP=15°。

3. 已知两个角分别为$35^{\circ}和145^{\circ}$,且这两个角有一条公共边,则这两个角的平分线所成的角为.

$90^{\circ}$或$55^{\circ}$

设两个角分别为$\angle A = 35^{\circ}$，$\angle B= 145^{\circ}$，它们有一条公共边，设公共边为$OM$，$\angle A$的另一边为$ON$，$\angle B$的另一边为$OP$。
角平分线是将一个角分成两个相等的角的射线，设$\angle A$的平分线为$OQ$，$\angle B$的平分线为$OR$。
首先计算两个角的平分线分别将这两个角分为多少度的角，
对于$\angle A = 35^{\circ}$，其平分线$OQ$将其分为两个相等的角，每个角为$\frac{35^{\circ}}{2} = 17.5^{\circ}$，
对于$\angle B = 145^{\circ}$，其平分线$OR$将其分为两个相等的角，每个角为$\frac{145^{\circ}}{2} = 72.5^{\circ}$，
由于$OM$是公共边，且$OQ$和$OR$分别是$\angle A$和$\angle B$的平分线，那么这两个平分线所成的角有两种情况：
当两个角在公共边的同侧时，两个平分线所成的角为$72.5^{\circ} - 17.5^{\circ} = 55^{\circ}$；
当两个角在公共边的两侧时，两个平分线所成的角为$72.5^{\circ} + 17.5^{\circ} = 90^{\circ}$（由于$35^{\circ} + 145^{\circ} = 180^{\circ}$，即两个角互补，所以这种情况下的角为$90$度）。
综合以上两种情况，这两个角的平分线所成的角为$90^{\circ}$或$55^{\circ}$。

4. 我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”.
(1) 当两个“共边角”为$45^{\circ}和30^{\circ}$时,它们非公共边的两边的夹角为;
(2) 若两个“共边角”非公共边的两边所成的角是$60^{\circ}$,则这两个角的平分线的夹角度数为.

(1)15°或75°；(2)30°

(1)设两个“共边角”分别为∠AOB=45°，∠AOC=30°，公共边为OA。当OC与OB在OA两侧时，非公共边夹角为∠BOC=∠AOB+∠AOC=45°+30°=75°；当OC与OB在OA同侧时，非公共边夹角为∠BOC=∠AOB-∠AOC=45°-30°=15°，故填15°或75°。
(2)设两个共边角为α、β，非公共边夹角为60°。①若α+β=60°，角平分线夹角为(α/2)+(β/2)=(α+β)/2=30°；②若|α-β|=60°，角平分线夹角为|α/2 - β/2|=(|α-β|)/2=30°，故填30°。

5. 在同一平面内,$∠AOB= 60^{\circ}$,射线OC与$∠AOB$的一边所成夹角为直角,射线OM平分$∠BOC$,则$∠AOM$的度数为.

15°或75°或105°

分四种情况讨论：
1. OC⊥OB且OC与OA在OB同侧：∠BOC=90°，OM平分∠BOC得∠BOM=45°，∠AOM=∠AOB-∠BOM=60°-45°=15°；
2. OC⊥OB且OC与OA在OB异侧：∠BOC=90°，OM平分∠BOC得∠BOM=45°，∠AOM=∠AOB+∠BOM=60°+45°=105°；
3. OC⊥OA且OC与OB在OA同侧：∠AOC=90°，∠BOC=30°，OM平分∠BOC得∠BOM=15°，∠AOM=∠AOB+∠BOM=60°+15°=75°；
4. OC⊥OA且OC与OB在OA异侧：∠AOC=90°，∠BOC=150°，OM平分∠BOC得∠BOM=75°，∠AOM=|∠AOB-∠BOM|=15°。
综上，∠AOM的度数为15°或75°或105°。

6. 如图,已知O是直线AC上一点,OB是一条射线,OD平分$∠AOB$,OE在$∠BOC$内部.
(1) 若OE平分$∠BOC$,求$∠DOE$的度数;
(2) 若$∠EOC= 2∠BOE$,$∠DOE= 80^{\circ}$,求$∠EOC$的度数.

(1)因为$OD$平分$\angle AOB$，$OE$平分$\angle BOC$，
所以$\angle BOD = \frac{1}{2}\angle AOB$，$\angle BOE = \frac{1}{2}\angle BOC$。
因为$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 180^{\circ}$，
所以$\angle DOE = \angle BOD + \angle BOE = \frac{1}{2}\angle AOB + \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}(\angle AOB + \angle BOC) = 90^{\circ}$。
(2)设$\angle BOE = x$，
因为$\angle EOC = 2\angle BOE$，
所以$\angle EOC = 2x$，
则$\angle BOC = \angle BOE + \angle EOC = 3x$，
所以$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle BOC = 180^{\circ}- 3x$。
因为$OD$平分$\angle AOB$，
所以$\angle BOD=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-3x)=90^{\circ}-\frac{3}{2}x$。
又因为$\angle DOE=\angle BOD + \angle BOE = 80^{\circ}$，
即$90^{\circ}-\frac{3}{2}x+x = 80^{\circ}$，
$90^{\circ}-\frac{1}{2}x = 80^{\circ}$，
$-\frac{1}{2}x=80^{\circ}-90^{\circ}$，
$-\frac{1}{2}x = - 10^{\circ}$，
解得$x = 20^{\circ}$。
所以$\angle EOC = 2x = 40^{\circ}$。
综上，(1)中$\angle DOE$的度数为$90^{\circ}$；(2)中$\angle EOC$的度数为$40^{\circ}$。