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1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则下列说法不正确的是(
A.斜边长是5
B.三角形周长是12
C.斜边上的高为1.2
D.三角形面积是6
C
)A.斜边长是5
B.三角形周长是12
C.斜边上的高为1.2
D.三角形面积是6
答案
C
解析
A. 斜边长：$\sqrt{3^2+4^2}=5$，正确；
B. 周长：$3+4+5=12$，正确；
C. 面积：$\frac{1}{2}×3×4=6$，斜边上的高：$\frac{2×6}{5}=2.4$，不正确；
D. 面积：$\frac{1}{2}×3×4=6$，正确。
答案：C
B. 周长：$3+4+5=12$，正确；
C. 面积：$\frac{1}{2}×3×4=6$，斜边上的高：$\frac{2×6}{5}=2.4$，不正确；
D. 面积：$\frac{1}{2}×3×4=6$，正确。
答案：C
2. 如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,AB= 3 cm,AC= 5 cm,将△ABC沿DE折叠,使点C与点A重合,则AE的长等于(
A.4 cm
B.$\frac{3}{2}$ cm
C.$\frac{25}{8}$ cm
D.$\frac{7}{2}$ cm
C
)A.4 cm
B.$\frac{3}{2}$ cm
C.$\frac{25}{8}$ cm
D.$\frac{7}{2}$ cm
答案
C
解析
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，由勾股定理得：BC=$\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$cm。
设AE=EC=x cm，则BE=(4 - x)cm。
在Rt△ABE中，AB² + BE² = AE²，即$3^2 + (4 - x)^2 = x^2$。
展开得：9 + 16 - 8x + x² = x²，化简得25 - 8x = 0，解得$x=\frac{25}{8}$。
AE的长等于$\frac{25}{8}$cm。
C
设AE=EC=x cm，则BE=(4 - x)cm。
在Rt△ABE中，AB² + BE² = AE²，即$3^2 + (4 - x)^2 = x^2$。
展开得：9 + 16 - 8x + x² = x²，化简得25 - 8x = 0，解得$x=\frac{25}{8}$。
AE的长等于$\frac{25}{8}$cm。
C
3. 如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF//BC交AC于点M,若CM= 5,则$CE^{2}+CF^{2}=$(
A.75
B.100
C.120
D.125
B
)A.75
B.100
C.120
D.125
答案
B
解析
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECM=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠FCM=∠DCF=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∵∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ECM+∠FCM=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD)=90°，即∠ECF=90°，
∵EF//BC，
∴∠MEC=∠BCE=∠ECM，∠MFC=∠DCF=∠FCM，
∴EM=CM=5，FM=CM=5，
∴EF=EM+FM=10，
在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²=10²=100.
B
4. 如图,以一直角三角形的三边为边向外作正方形,已知其中两个正方形的面积如图所示,则字母A所代表的正方形的面积为
4
。答案
4
解析
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$。由题意知，以直角边$a$为边的正方形面积为$12$，即$a^{2}=12$；以斜边$c$为边的正方形面积为$16$，即$c^{2}=16$。根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，可得$b^{2}=c^{2}-a^{2}=16 - 12=4$。因为字母$A$所代表的正方形是以直角边$b$为边的正方形，所以其面积为$b^{2}=4$。
4
4
5. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AB= 34,AC:BC= 8:15,则AC=
16
,BC= 30
。答案
AC = 16，BC = 30
解析
设$AC = 8k$，$BC = 15k$（$k＞0$）。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
即$(8k)^2 + (15k)^2 = 34^2$，$64k^2 + 225k^2 = 1156$，$289k^2 = 1156$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
$AC = 8k = 8×2 = 16$，$BC = 15k = 15×2 = 30$。
16，30
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^\circ$，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$。
即$(8k)^2 + (15k)^2 = 34^2$，$64k^2 + 225k^2 = 1156$，$289k^2 = 1156$，$k^2 = 4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
$AC = 8k = 8×2 = 16$，$BC = 15k = 15×2 = 30$。
16，30
6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4,点D在AB上,AD= AC,AF⊥CD交CD于点E,交CB于点F,求CF的长。
答案
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。
∵AD=AC=3，∴DB=AB-AD=5-3=2。
∵AC=AD，∴△ACD为等腰三角形。∵AF⊥CD，∴AF为CD的垂直平分线（等腰三角形三线合一），∴CF=DF（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
设CF=x，则DF=x，FB=BC-CF=4-x。
过D作DH⊥BC于H，∵DH⊥BC，∠ACB=90°，∴DH//AC，∴△BDH∽△BAC（平行线分线段成比例）。
∴DH/AC=DB/AB，BH/BC=DB/AB，即DH/3=2/5，BH/4=2/5，解得DH=6/5，BH=8/5。
∴CH=BC-BH=4-8/5=12/5，FH=CH-CF=12/5 - x。
在Rt△DFH中，DF²=DH²+FH²，即x²=(6/5)²+(12/5 - x)²。
展开得x²=36/25 + 144/25 - 24x/5 + x²，化简得0=180/25 - 24x/5，即24x/5=36/5，解得x=3/2。
CF=3/2。
∵AD=AC=3，∴DB=AB-AD=5-3=2。
∵AC=AD，∴△ACD为等腰三角形。∵AF⊥CD，∴AF为CD的垂直平分线（等腰三角形三线合一），∴CF=DF（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
设CF=x，则DF=x，FB=BC-CF=4-x。
过D作DH⊥BC于H，∵DH⊥BC，∠ACB=90°，∴DH//AC，∴△BDH∽△BAC（平行线分线段成比例）。
∴DH/AC=DB/AB，BH/BC=DB/AB，即DH/3=2/5，BH/4=2/5，解得DH=6/5，BH=8/5。
∴CH=BC-BH=4-8/5=12/5，FH=CH-CF=12/5 - x。
在Rt△DFH中，DF²=DH²+FH²，即x²=(6/5)²+(12/5 - x)²。
展开得x²=36/25 + 144/25 - 24x/5 + x²，化简得0=180/25 - 24x/5，即24x/5=36/5，解得x=3/2。
CF=3/2。
