1. 下列方程中,一定是一元二次方程的是 ()
A.$x^{2}+y= 1$
B.$x^{2}-\frac{1}{x}= 1$
C.$x^{2}-2= 0$
D.$x^{2}+x= x^{2}+1$

C

A. $x^{2}+y= 1$：此方程含有两个未知数$x$和$y$，因此不是一元二次方程。
B. $x^{2}-\frac{1}{x}= 1$：此方程中，未知数$x$的最高次数虽为2，但含有分式，不是整式方程，因此不是一元二次方程。
C. $x^{2}-2= 0$：此方程只含有一个未知数$x$，且$x$的最高次数是2，满足一元二次方程的定义。
D. $x^{2}+x= x^{2}+1$：将此方程化简，得到$x=1$，未知数的最高次数是1，因此不是一元二次方程。

2. 若方程$(a+3)x^{|a|-1}-x= 2$是关于x的一元二次方程,则a的值为 ()
A.-3
B.3
C.±3
D.不存在

B

要使方程$(a + 3)x^{|a| - 1} - x = 2$是关于$x$的一元二次方程，需满足：
1. 未知数$x$的最高次数为$2$，即$|a| - 1 = 2$，解得$|a| = 3$，$a = \pm 3$；
2. 二次项系数不为$0$，即$a + 3 \neq 0$，解得$a \neq - 3$。
综上，$a = 3$。
B

3. 若m是方程$x^{2}+x-1= 0$的一个根,则2024-2m^2-2m的值为 ()
A.2025
B.2024
C.2023
D.2022

D

因为$m$是方程$x^{2}+x - 1=0$的一个根，所以$m^{2}+m - 1=0$，即$m^{2}+m=1$。
$2024 - 2m^{2}-2m=2024 - 2(m^{2}+m)=2024 - 2×1=2022$
D

4. 下列方程中,有两个相等的实数根的是 ()
A.$x^{2}+x= 0$
B.$x^{2}-8x+16= 0$
C.$x^{2}-7x+12= 0$
D.$3x^{2}+x+1= 0$

B

对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，判别式$\Delta =b^{2}-4ac$。当$\Delta =0$时，方程有两个相等的实数根。
A. $x^{2}+x=0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=0$，$\Delta=1^{2}-4×1×0=1＞0$，有两个不相等的实数根。
B. $x^{2}-8x + 16=0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=16$，$\Delta=(-8)^{2}-4×1×16=64 - 64=0$，有两个相等的实数根。
C. $x^{2}-7x + 12=0$，其中$a=1$，$b=-7$，$c=12$，$\Delta=(-7)^{2}-4×1×12=49 - 48=1＞0$，有两个不相等的实数根。
D. $3x^{2}+x + 1=0$，其中$a=3$，$b=1$，$c=1$，$\Delta=1^{2}-4×3×1=1 - 12=-11＜0$，没有实数根。
B

5. 若关于x的一元二次方程$kx^{2}-4x+1= 0$有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 ()
A.$k＞-4$
B.$k＜4$
C.$k＞-4且k≠0$
D.$k＜4且k≠0$

D

∵方程是一元二次方程，
∴$k≠0$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta =(-4)^2 - 4k×1 ＞ 0$，
即$16 - 4k ＞ 0$，
解得$k ＜ 4$。
综上，$k ＜ 4$且$k≠0$。
D

6. 用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x+8= 0$,此方程可变形为 ()
A.$(x+3)^{2}= 1$
B.$(x-3)^{2}= 17$
C.$(x+3)^{2}= 17$
D.$(x-3)^{2}= 1$

D

解：$x^{2}-6x+8=0$
$x^{2}-6x=-8$
$x^{2}-6x+9=-8+9$
$(x-3)^{2}=1$
D

7. 若$(a^{2}+b^{2}+1)(a^{2}+b^{2}-1)= 15$,则$a^{2}+b^{2}= $ ()
A.4
B.5
C.±4
D.±5

A

设$x = a^{2} + b^{2}$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1) = 15$，即$x^{2} - 1 = 15$，$x^{2} = 16$，解得$x = \pm 4$。因为$a^{2} + b^{2} \geq 0$，所以$x = 4$，即$a^{2} + b^{2} = 4$。
A

8. 已知a,b满足$-a^{2}+3a-b+1= 0$,则2a+b有 ()
A.最小值$-\frac{29}{4}$
B.最小值7
C.最大值$\frac{29}{4}$
D.最大值7

C

由$-a^{2}+3a - b + 1 = 0$，得$b=-a^{2}+3a + 1$。
$2a + b=2a + (-a^{2}+3a + 1)=-a^{2}+5a + 1$。
对于二次函数$y=-a^{2}+5a + 1$，$a=-1\lt0$，函数图象开口向下，有最大值。
当$a=-\frac{5}{2×(-1)}=\frac{5}{2}$时，$y_{max}=-(\frac{5}{2})^{2}+5×\frac{5}{2}+1=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}+1=\frac{25}{4}+1=\frac{29}{4}$。
故$2a + b$有最大值$\frac{29}{4}$。
C

9. 如图,在宽为20 m,长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪. 要使草坪的面积为540$m^{2}$,求道路的宽. 如果设小路宽为x m,根据题意,所列方程正确的是 ()

A.$(20-x)(32-x)= 540$
B.$(20-x)(32-x)= 32×20-540$
C.$(20-2x)(32-2x)= 540$
D.$(20-2x)(32-2x)= 32×20-540$

A

将道路平移后，草坪部分可拼成一个新矩形，其长为原长减去道路宽$x$，即$(32 - x)m$，宽为原宽减去道路宽$x$，即$(20 - x)m$。草坪面积为$540m^2$，故方程为$(20 - x)(32 - x)=540$。

10. 对于三边的长是三个连续正整数的三角形,下列说法错误的是 ()
A.至少存在两个钝角三角形
B.至多存在一个直角三角形
C.至少存在一个锐角三角形
D.至多存在一个钝角三角形

A

设三角形三边长为$n-1$，$n$，$n+1$（$n＞1$且$n$为整数），则$n＞2$。
情况1：$n=3$，边长1，2，3（不构成三角形，舍去）
情况2：$n=4$，边长3，4，5
$3^2+4^2=5^2$，直角三角形。
情况3：$n=5$，边长4，5，6
$4^2+5^2=16+25=41＞6^2=36$，锐角三角形。
情况4：$n=2$，边长1，2，3（不构成三角形，舍去）
情况5：$n=6$，边长5，6，7
$5^2+6^2=25+36=61＞7^2=49$，锐角三角形。
情况6：$n=7$，边长6，7，8
$6^2+7^2=36+49=85＞8^2=64$，锐角三角形。
钝角三角形判断：
当$n=3$（无效），$n=4$（直角），$n=5$（锐角），$n=6$（锐角），$n=7$（锐角），$n=8$，边长7，8，9：$7^2+8^2=49+64=113＞9^2=81$（锐角）。
仅当$n=2$（无效）或更小$n$（不构成三角形），不存在两个钝角三角形。
A.至少存在两个钝角三角形（错误）
B.至多存在一个直角三角形（正确，仅3,4,5）
C.至少存在一个锐角三角形（正确，如4,5,6）
D.至多存在一个钝角三角形（正确，不存在钝角三角形）
答案：A