1. 计算：
(1)$28^{\circ}12'+12^{\circ}48'$；
(2)$100^{\circ}-40^{\circ}25'$；
(3)$26^{\circ}20'×4$；
(4)$90^{\circ}÷4$.

解:
(1)28°12′+12°48′=28°+12°+12′+48′=40°+60′=41°。
(2)100°−40°25′=99°60′−40°25′=99°−40°+(60′−25′)=59°35′。
(3)26°20′×4=26°×4+20′×4=104°+80′=105°20′。
(4)90°÷4=80°÷4+(10°÷4)=20°+(8°÷4+2°÷4)=22°+120′÷4=22°30′。

2. 如图 6 - 12 所示,$AD= \frac{1}{2}DB$,点 $E$ 是 $BC$ 的中点,$BE= \frac{1}{5}AC = 4cm$,求线段 $DE$ 的长.

解:因为E是BC的中点，所以CE=4cm，BC=8cm。因为$\frac{1}{5}$AC=4cm，所以AC=20cm，AB=AC−BC=20−8=12(cm)。因为AD=$\frac{1}{2}$DB，所以DB=$\frac{2}{3}$AB=8cm，所以DE=DB+BE=8+4=12(cm)。

解:因为点E是BC的中点，所以BE=CE。
因为BE=4cm，所以CE=4cm，BC=BE+CE=4+4=8cm。
因为$\frac{1}{5}AC=4cm$，所以AC=4×5=20cm。
所以AB=AC−BC=20−8=12cm。
因为AD=$\frac{1}{2}DB$，设AD=xcm，则DB=2xcm，
所以AB=AD+DB=x+2x=3x=12cm，解得x=4，
所以DB=2x=8cm。
所以DE=DB+BE=8+4=12cm。

3. 如图 6 - 13 所示的一张硬纸片,它能否折成一个长方体盒子？若能,说明理由,并画出它的立体图形,计算它的体积.

解:能折成一个长方体盒子，因为符合长方体的平面展开图的所有条件。该几何体的立体图如答图所示，此长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，所以它的体积为：5×2×3=30(cm³)。

4. 如图 6 - 14①,点 $A$,$O$,$B$ 依次在直线 $MN$ 上,现将射线 $OA$ 绕点 $O$ 沿顺时针方向以每秒 $2^{\circ}$ 的速度旋转,同时射线 $OB$ 绕点 $O$ 沿逆时针方向以每秒 $4^{\circ}$ 的速度旋转,如图 6 - 14②,设旋转时间为 $t(0\leq t\leq90)$ 秒.
(1)用含 $t$ 的代数式表示 $\angle MOA$ 的度数.
(2)在运动过程中,当 $\angle AOB$ 第二次达到 $60^{\circ}$ 时,求 $t$ 的值.
(3)在旋转过程中是否存在这样的 $t$,使得射线 $OB$ 是由射线 $OM$、射线 $OA$、射线 $ON$ 中的两条所形成的角(指大于 $0^{\circ}$ 而不超过 $180^{\circ}$ 的角)的平分线？如果存在,请直接写出 $t$ 的值；如果不存在,请说明理由.

图 6 - 14

解:
(1)∠MOA=2t°
(2)根据题意知∠AOM=2t°，∠BON=4t°。当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON−∠MON=60°，即2t+4t−180=60，解得t=40。
故t=40时，∠AOB第二次达到60°。
(3)存在。t=18或22.5或36或67.5。有以下三种情况：
①OB平分∠AOM时，因为$\frac{1}{2}$∠AOM=∠BOM，所以t=180−4t，解得t=36；
②OB平分∠MON时，因为∠BOM=$\frac{1}{2}$∠MON，即∠BOM=90°，所以4t=90或OB旋转超过半周后4t−180=90，解得t=22.5或t=67.5；
③OB平分∠AON时，因为∠BON=$\frac{1}{2}$∠AON，所以4t=$\frac{1}{2}$(180−2t)，解得t=18。
综上，t的值为18或22.5或36或67.5。