1. 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的。方差较大的波动,方差较小的波动。
2. 在统计学里,分组的方法有很多,其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。

1.波动大小 较大 较小

1. 已知一组数据 $ a,b,c,d,e $ 的方差是 $ 7 $,则另一组数据 $ a + 2,b + 2,c + 2,d + 2,e + 2 $ 的方差是()。
A.$ 5 $
B.$ 7 $
C.$ 10 $
D.$ 3 $

B

设数据$a,b,c,d,e$的平均数为$\overline{x}$，方差$s^{2}=\frac{1}{5}[(a - \overline{x})^{2}+(b - \overline{x})^{2}+(c - \overline{x})^{2}+(d - \overline{x})^{2}+(e - \overline{x})^{2}]=7$。
数据$a + 2,b + 2,c + 2,d + 2,e + 2$的平均数为$\overline{x}'=\overline{x}+2$。
其方差$s'^{2}=\frac{1}{5}[(a + 2 - (\overline{x}+2))^{2}+(b + 2 - (\overline{x}+2))^{2}+(c + 2 - (\overline{x}+2))^{2}+(d + 2 - (\overline{x}+2))^{2}+(e + 2 - (\overline{x}+2))^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(a - \overline{x})^{2}+(b - \overline{x})^{2}+(c - \overline{x})^{2}+(d - \overline{x})^{2}+(e - \overline{x})^{2}]=7$。
B

2. 若一组数据 $ a_1,a_2,…,a_n $ 的方差是 $ 5 $,则另一组数据 $ 2a_1,2a_2,…,2a_n $ 的方差是()。
A.$ 5 $
B.$ 10 $
C.$ 20 $
D.$ 50 $

C

设数据$a_1,a_2,\ldots,a_n$的平均数为$\overline{x}$，方差$s^2 = 5$。
数据$2a_1,2a_2,\ldots,2a_n$的平均数为$\overline{y} = 2\overline{x}$。
其方差为：
$\begin{aligned}s_y^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(2a_i - 2\overline{x})^2\\&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}4(a_i - \overline{x})^2\\&=4×\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(a_i - \overline{x})^2\\&=4s^2\\&=4×5\\&=20\end{aligned}$
C

3. 学校准备从甲、乙、丙、丁四个科技创新小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛,各组的平时成绩的平均数 $ \overline{x} $(单位：分)及方差 $ s^2 $ 如下表所示。

如果要选出一个成绩较好且状态较稳定的组去参赛,那么应选的组是。

丙

解：比较平均数，乙和丙的平均数为8，高于甲和丁的7，成绩较好；比较乙和丙的方差，丙的方差1小于乙的1.2，状态更稳定。应选丙。

4. 甲、乙两支篮球队进行了 $ 5 $ 场比赛,刘老师根据比赛成绩绘制了如图所示的统计图。

(1)请根据统计图填写下表。

(2)如果从两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,根据上述统计,从平均分、方差以及获胜场次这三个方面分别进行简要分析,你认为选派哪支球队参赛更可能取得好成绩？

解:
(1)
(2)从平均分看,两队均为90分;从方差看,甲队成绩的方差小于乙队成绩的方差,说明甲队成绩更稳定;从获胜场次来看,甲队获胜后3场,乙队获胜前2场,说明甲队成绩越来越好。综合以上因素,选派甲队参赛更可能取得好成绩。(答案合理即可)