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2. 若$\frac{1}{2}x^{|m|}是关于x$的二次单项式,求$m$的值.
答案
解：|m|=2
m=±2
m=±2
1. (1)在式子$-\frac{x}{2}$,$\frac{1}{x}$,$x - 2$,$-10a^{2}$,0.8中,单项式有
(2)$-\frac{1}{2}x^{2}y$是
$-\frac{x}{2}$，$-10a^{2}$，0.8
；(2)$-\frac{1}{2}x^{2}y$是
3
次单项式.答案
(1)$-\frac{x}{2}$，$-10a^{2}$，0.8；(2)3
解析
(1)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。分母含有字母的式子不属于单项式，所以$\frac{1}{x}$不是单项式；$x - 2$是多项式。单项式有$-\frac{x}{2}$，$-10a^{2}$，0.8。
(2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。在$-\frac{1}{2}x^{2}y$中，$x$的指数是2，$y$的指数是1，所以次数为$2 + 1 = 3$。
(2)一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。在$-\frac{1}{2}x^{2}y$中，$x$的指数是2，$y$的指数是1，所以次数为$2 + 1 = 3$。
2. 请写出一个含字母$x和y$,系数为3,次数为3的单项式：
3x²y（或3xy²）
.答案
3x²y（或3xy²）
3. 下列各组单项式中,次数相同的是(
A.$3ab与-4xy^{2}$
B.$\pi r^{2}与x^{2}y$
C.$-\frac{1}{3}x^{2}y^{2}与xy$
D.$a^{3}与xy^{2}$
D
)A.$3ab与-4xy^{2}$
B.$\pi r^{2}与x^{2}y$
C.$-\frac{1}{3}x^{2}y^{2}与xy$
D.$a^{3}与xy^{2}$
答案
D
解析
A. $3ab$的次数为$1+1=2$，$-4xy^{2}$的次数为$1+2=3$，不相等，故本选项错误；
B. $\pi r^{2}$的次数为$2$，$x^{2}y$的次数为$2+1=3$，不相等，故本选项错误；
C. $-\frac{1}{3}x^{2}y^{2}$的次数为$2+2=4$，$xy$的次数为$1+1=2$，不相等，故本选项错误；
D. $a^{3}$的次数为$3$，$xy^{2}$的次数为$1+2=3$，相等，故本选项正确。
B. $\pi r^{2}$的次数为$2$，$x^{2}y$的次数为$2+1=3$，不相等，故本选项错误；
C. $-\frac{1}{3}x^{2}y^{2}$的次数为$2+2=4$，$xy$的次数为$1+1=2$，不相等，故本选项错误；
D. $a^{3}$的次数为$3$，$xy^{2}$的次数为$1+2=3$，相等，故本选项正确。
4. 下列说法中,正确的是(
A.10不是单项式
B.$-\frac{abc}{2}的系数是-1$
C.$xy^{2}$的系数是0,次数是$-2$
D.$-\frac{6\pi x^{2}y^{3}}{5}的系数是-\frac{6\pi}{5}$,次数是5
D
)A.10不是单项式
B.$-\frac{abc}{2}的系数是-1$
C.$xy^{2}$的系数是0,次数是$-2$
D.$-\frac{6\pi x^{2}y^{3}}{5}的系数是-\frac{6\pi}{5}$,次数是5
答案
D
解析
A.单项式是只含有一个项的代数式，10是一个常数，可以看作是单项式，所以A选项错误。
B.对于单项式$-\frac{abc}{2}$，其系数是前面的数字部分，即$-\frac{1}{2}$，与B选项中的-1不符，所以B选项错误。
C.对于单项式$xy^{2}$，其系数是前面的数字部分，因为没有明确写出数字部分，所以其系数为1，不是0；次数是所有字母的指数之和，即$1+2=3$，与C选项中的系数0和次数-2都不符，所以C选项错误。
D.对于单项式$-\frac{6\pi x^{2}y^{3}}{5}$，其系数是前面的数字部分，即$-\frac{6\pi}{5}$；次数是所有字母的指数之和，即$2+3=5$，与D选项中的系数和次数都相符，所以D选项正确。
B.对于单项式$-\frac{abc}{2}$，其系数是前面的数字部分，即$-\frac{1}{2}$，与B选项中的-1不符，所以B选项错误。
C.对于单项式$xy^{2}$，其系数是前面的数字部分，因为没有明确写出数字部分，所以其系数为1，不是0；次数是所有字母的指数之和，即$1+2=3$，与C选项中的系数0和次数-2都不符，所以C选项错误。
D.对于单项式$-\frac{6\pi x^{2}y^{3}}{5}$，其系数是前面的数字部分，即$-\frac{6\pi}{5}$；次数是所有字母的指数之和，即$2+3=5$，与D选项中的系数和次数都相符，所以D选项正确。
5. 已知单项式$\frac{3x^{m}y^{3}}{7}$的次数是7,则$m$的值是(
A.0
B.4
C.$-4$
D.7
B
)A.0
B.4
C.$-4$
D.7
答案
B
解析
单项式的次数是所有变量的指数之和。
对于单项式 $\frac{3x^{m}y^{3}}{7}$，其次数为 $m + 3$。
根据题意，$m + 3 = 7$，解得 $m = 4$。
6. 指出下列各式中的单项式,并写出各单项式的系数和次数.
$\frac{1}{3}xy^{2}$,$\frac{x^{2}y}{\pi}$,$-\frac{a^{2}b}{m}$,$2^{2}ab$,$\frac{x}{2} + y$.
$\frac{1}{3}xy^{2}$,$\frac{x^{2}y}{\pi}$,$-\frac{a^{2}b}{m}$,$2^{2}ab$,$\frac{x}{2} + y$.
答案
答题卡：
单项式：$\frac{1}{3}xy^{2}$，
系数：$\frac{1}{3}$，
次数：$3$。
单项式：$\frac{x^{2}y}{\pi}$，
系数：$\frac{1}{\pi}$，
次数：$3$。
单项式：$2^{2}ab=4ab$，
系数：$4$，
次数：$2$。
$\frac{-a^{2}b}{m}$ 分母中含有未知数，不是单项式，
$\frac{x}{2} + y$ 是多项式，不是单项式。
综上，单项式有$\frac{1}{3}xy^{2}$，$\frac{x^{2}y}{\pi}$，$2^{2}ab$及其对应的系数和次数如上。
单项式：$\frac{1}{3}xy^{2}$，
系数：$\frac{1}{3}$，
次数：$3$。
单项式：$\frac{x^{2}y}{\pi}$，
系数：$\frac{1}{\pi}$，
次数：$3$。
单项式：$2^{2}ab=4ab$，
系数：$4$，
次数：$2$。
$\frac{-a^{2}b}{m}$ 分母中含有未知数，不是单项式，
$\frac{x}{2} + y$ 是多项式，不是单项式。
综上，单项式有$\frac{1}{3}xy^{2}$，$\frac{x^{2}y}{\pi}$，$2^{2}ab$及其对应的系数和次数如上。
7. 小明在抄写单项式时,把字母中有的指数漏掉了,抄成$-\frac{4}{5}xyz$,他只知道这个单项式是四次单项式,你能帮他写出这个单项式吗？(写出所有可能的单项式)
答案
1. 设原单项式中$x$、$y$、$z$的指数分别为$a$、$b$、$c$，由单项式次数定义知$a + b + c = 4$。
2. 因抄成$-\frac{4}{5}xyz$，说明仅一个字母指数漏写（另两个指数为1），则：
若$x$指数漏写：$a + 1 + 1 = 4\Rightarrow a=2$，单项式为$-\frac{4}{5}x^2yz$；
若$y$指数漏写：$1 + b + 1 = 4\Rightarrow b=2$，单项式为$-\frac{4}{5}xy^2z$；
若$z$指数漏写：$1 + 1 + c = 4\Rightarrow c=2$，单项式为$-\frac{4}{5}xyz^2$。
所有可能的单项式为：$-\frac{4}{5}x^2yz$，$-\frac{4}{5}xy^2z$，$-\frac{4}{5}xyz^2$。
2. 因抄成$-\frac{4}{5}xyz$，说明仅一个字母指数漏写（另两个指数为1），则：
若$x$指数漏写：$a + 1 + 1 = 4\Rightarrow a=2$，单项式为$-\frac{4}{5}x^2yz$；
若$y$指数漏写：$1 + b + 1 = 4\Rightarrow b=2$，单项式为$-\frac{4}{5}xy^2z$；
若$z$指数漏写：$1 + 1 + c = 4\Rightarrow c=2$，单项式为$-\frac{4}{5}xyz^2$。
所有可能的单项式为：$-\frac{4}{5}x^2yz$，$-\frac{4}{5}xy^2z$，$-\frac{4}{5}xyz^2$。
8. 已知$x^{2}y^{|a|} + (b + 2)是关于x$,$y$的五次单项式,求$a^{2} - 3ab$的值.
答案
解：|m|=2
m=±2
m=±2
9. 观察下列单项式：
$-a$,$2a^{2}$,$-3a^{3}$,$4a^{4}$,…,$-19a^{19}$,$20a^{20}$,….
(1)你能说出它们的规律是什么吗？
(2)写出第100个、第2024个单项式；
(3)写出第$2n$个、第$2n + 1$个单项式.
$-a$,$2a^{2}$,$-3a^{3}$,$4a^{4}$,…,$-19a^{19}$,$20a^{20}$,….
(1)你能说出它们的规律是什么吗？
(2)写出第100个、第2024个单项式；
(3)写出第$2n$个、第$2n + 1$个单项式.
答案
(1) 规律：
系数的绝对值等于序号，且奇数项系数为负，偶数项系数为正；字母部分中 $a$ 的指数等于序号数。
即第 $n$ 个单项式为 $(-1)^{n}n a^{n}$。
(2)
第 $100$ 个单项式：$100a^{100}$；
第 $2024$ 个单项式：$2024a^{2024}$。
(3)
第 $2n$ 个单项式：$2n \cdot a^{2n}$；
第 $2n + 1$ 个单项式：$-(2n + 1)a^{2n + 1}$。
系数的绝对值等于序号，且奇数项系数为负，偶数项系数为正；字母部分中 $a$ 的指数等于序号数。
即第 $n$ 个单项式为 $(-1)^{n}n a^{n}$。
(2)
第 $100$ 个单项式：$100a^{100}$；
第 $2024$ 个单项式：$2024a^{2024}$。
(3)
第 $2n$ 个单项式：$2n \cdot a^{2n}$；
第 $2n + 1$ 个单项式：$-(2n + 1)a^{2n + 1}$。
