【例 1】计算：
(1)$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a$；
(2)$(a + b)^{3m}\cdot (b + a)^{m + n}$；
(3)$-x^{3}\cdot (-x)^{3}\cdot (-x)^{4}$；
(4)$(x - y)^{6}\cdot (y - x)^{6}$。

(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{n + 2}\cdot a^{n + 1}\cdot a^{n}\cdot a=a^{(n + 2)+(n + 1)+n + 1}=a^{3n + 4}$
(2)
因为$(a + b)$与$(b + a)$是相同的底数，所以根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(a + b)^{3m}\cdot (b + a)^{m + n}=(a + b)^{3m + m + n}=(a + b)^{4m + n}$
(3)
先根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，化简$(-x)^{3}=-x^{3}$，$(-x)^{4}=x^{4}$，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$-x^{3}\cdot (-x)^{3}\cdot (-x)^{4}=-x^{3}\cdot (-x^{3})\cdot x^{4}=x^{3 + 3+4}=x^{10}$
(4)
因为$(x - y)^{6}=[-(y - x)]^{6}=(y - x)^{6}$，所以根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$(x - y)^{6}\cdot (y - x)^{6}=(y - x)^{6}\cdot (y - x)^{6}=(y - x)^{6 + 6}=(y - x)^{12}$

1. 计算$-a^{2}\cdot (-a)^{3}$的结果是()
A.$-a^{6}$
B.$a^{6}$
C.$-a^{5}$
D.$a^{5}$

D

$-a^{2}\cdot (-a)^{3}=-a^{2}\cdot (-a^{3})=a^{2}\cdot a^{3}=a^{2+3}=a^{5}$

2. 已知$x + y - 3 = 0$,则$2^{y}\cdot 2^{x}$的值是()
A.6
B.$-6$
C.$\frac{1}{8}$
D.8

D

由$x + y - 3 = 0$得$x + y = 3$，根据同底数幂乘法法则，$2^{y}\cdot 2^{x}=2^{x + y}=2^{3}=8$

3. 若$3× 3^{m}× 3^{3m}= 3^{9}$,则$m$的值为()
A.2
B.3
C.4
D.5

A

根据同底数幂的乘法法则，有 $3 × 3^{m} × 3^{3m} = 3^{1 + m + 3m}$。
已知 $3^{1 + m + 3m} = 3^{9}$，所以 $1 + m + 3m = 9$。
合并同类项得 $1 + 4m = 9$。
移项并化简得 $4m = 8$。
解得 $m = 2$。

4. 计算：
(1)$a^{2}\cdot a^{6}\cdot a$；
(2)$-x^{5}\cdot (-x)^{7}$；
(3)$(m - n)\cdot (n - m)^{2}\cdot (n - m)^{3}$。

(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$a^{2}\cdot a^{6}\cdot a=a^{2 + 6+1}=a^{9}$
(2)
先根据负数的奇次幂是负数，确定$(-x)^{7}=-x^{7}$，则：
$-x^{5}\cdot (-x)^{7}=-x^{5}\cdot (-x^{7})=x^{5}\cdot x^{7}=x^{5 + 7}=x^{12}$
(3)
因为$(m - n)=-(n - m)$，所以：
$(m - n)\cdot (n - m)^{2}\cdot (n - m)^{3}=-(n - m)\cdot (n - m)^{2}\cdot (n - m)^{3}=-(n - m)^{1 + 2+3}=-(n - m)^{6}$
综上，答案依次为：(1)$a^{9}$；(2)$x^{12}$；(3)$-(n - m)^{6}$。

【例 2】已知$3^{x}= y$,则$3^{x + 1}$等于()
A.$y$
B.$1 + y$
C.$3 + y$
D.$3y$

D

因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$3^{x + 1}=3^x × 3$。已知$3^x = y$，则$3^{x + 1}=y×3 = 3y$。

当要求的值的幂指数是“和”的形式时,可以考虑逆用同底数幂的乘法法则进行求值运算。

（由于题目未给出具体求值题目选项，假设此为按规则作答示例，若实际为选择题形式，按上述解析思路选择对应选项）
若为具体如上述示例类选择题，按上述方法计算后选择结果对应的选项。

根据题意，逆用同底数幂乘法法则，即$a^m× a^n = a^{m + n}$，那么$a^{m + n}=a^m× a^n$。
例如求$3^{x + y}$的值，若已知$3^x = 5$，$3^y = 6$，则$3^{x + y}=3^x×3^y = 5×6 = 30$。

5. $x^{2m + 2}$可以写成()

A.$2x^{m + 2}$
B.$x^{2m}+x^{2}$
C.$x^{2}\cdot x^{m + 1}$
D.$x^{2m}\cdot x^{2}$

D

根据同底数幂的乘法法则，有 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
需要找到一个表达式，使其等于 $x^{2m + 2}$。
A. $2x^{m + 2}$：这个表达式不等于 $x^{2m + 2}$，因为系数2无法与幂次相乘。
B. $x^{2m} + x^{2}$：这个表达式是两个幂的和，不是幂的乘积，所以不等于 $x^{2m + 2}$。
C. $x^{2} \cdot x^{m + 1}$：根据幂的乘法法则，这个表达式等于 $x^{m + 3}$，不等于 $x^{2m + 2}$。
D. $x^{2m} \cdot x^{2}$：根据幂的乘法法则，这个表达式等于 $x^{2m + 2}$，与题目中的表达式一致。

6. 若$a^{x}= 4$,$a^{y}= m$,则$a^{x + y}$的值为。

4m

因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以$a^{x + y}=a^{x} \cdot a^{y}$。已知$a^{x}=4$，$a^{y}=m$，则$a^{x + y}=4 \cdot m = 4m$。

7. 已知$2^{x + 2}= a$,则$2^{x}$的值为。

$\frac{a}{4}$

因为$2^{x + 2}=2^x × 2^2 = 4 × 2^x = a$，所以$2^x = \frac{a}{4}$