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1. 把多项式$2ab+4ab^{2}$分解因式,应提取的公因式是(
A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^{2}$
D.$4ab^{2}$
B
)A.$ab$
B.$2ab$
C.$2ab^{2}$
D.$4ab^{2}$
答案
B
解析
多项式各项系数的最大公约数是2，各项都含有的字母是a、b，a的最低次数是1，b的最低次数是1，所以公因式是2ab。
2. 下列各组式子中没有公因式的是(
A.$4a^{2}bc与8abc^{2}$
B.$a^{3}b^{2}+1与a^{2}b^{3}-1$
C.$b(a-2b)^{2}与a(2b-a)^{2}$
D.$x+1与(x-1)(x+1)$
B
)A.$4a^{2}bc与8abc^{2}$
B.$a^{3}b^{2}+1与a^{2}b^{3}-1$
C.$b(a-2b)^{2}与a(2b-a)^{2}$
D.$x+1与(x-1)(x+1)$
答案
B
解析
A. 对于 $4a^{2}bc$ 与 $8abc^{2}$ ，可提取公因式 $4abc$ ，故A选项有公因式；
B. 对于 $a^{3}b^{2} + 1$ 与 $a^{2}b^{3} - 1$ ，观察发现它们没有公因式；
C. 对于 $b(a-2b)^{2}$ 与 $a(2b-a)^{2}$ ，注意到 $(2b-a) = -(a-2b)$ ，因此可以提取公因式 $(a-2b)^{2}$ ，故C选项有公因式；
D. 对于 $x+1$ 与 $(x-1)(x+1)$ ，可以提取公因式 $x+1$ ，故D选项有公因式。
综上，只有B选项没有公因式。
B. 对于 $a^{3}b^{2} + 1$ 与 $a^{2}b^{3} - 1$ ，观察发现它们没有公因式；
C. 对于 $b(a-2b)^{2}$ 与 $a(2b-a)^{2}$ ，注意到 $(2b-a) = -(a-2b)$ ，因此可以提取公因式 $(a-2b)^{2}$ ，故C选项有公因式；
D. 对于 $x+1$ 与 $(x-1)(x+1)$ ，可以提取公因式 $x+1$ ，故D选项有公因式。
综上，只有B选项没有公因式。
3. 把$5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b)$,则另一个因式是(
A.$(5-m)$
B.$(5+m)$
C.$(m-5)$
D.$(-m-5)$
A
)A.$(5-m)$
B.$(5+m)$
C.$(m-5)$
D.$(-m-5)$
答案
A
解析
$5(a-b)+m(b-a)=5(a-b)-m(a-b)=(a-b)(5-m)$，另一个因式是$(5-m)$
4. 把多项式$2(a-2)+6x(2-a)$分解因式,结果是(
A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$
D
)A.$(a-2)(2+6x)$
B.$(a-2)(2-6x)$
C.$2(a-2)(1+3x)$
D.$2(a-2)(1-3x)$
答案
D
解析
原式 $=2(a - 2)-6x(a - 2)$（将$6x(2 - a)$变形为$-6x(a - 2)$），
公因式为$2(a - 2)$，提取公因式得：$2(a - 2)(1 - 3x)$。
5.(2025·绵阳)若长方形的长为$a$,宽为$b$,周长为$16$,面积为$15$,则$a^{2}b+ab^{2}$的值为
120
。答案
120
解析
因为长方形周长为16，所以$2(a + b)=16$，则$a + b=8$；面积为15，所以$ab = 15$。$a^{2}b + ab^{2}=ab(a + b)=15×8 = 120$。
6. 分解因式：
(1)$-3a^{2}x+6axy-3a$；
(2)$5a^{3}b(a-b)^{3}-10a^{4}b^{3}(b-a)^{2}$；
(3)$(n-m)^{2}+m(m-n)+n(n-m)$。
(1)$-3a^{2}x+6axy-3a$；
(2)$5a^{3}b(a-b)^{3}-10a^{4}b^{3}(b-a)^{2}$；
(3)$(n-m)^{2}+m(m-n)+n(n-m)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&-3a^{2}x + 6axy - 3a\\=&-3a(ax - 2xy + 1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&5a^{3}b(a - b)^{3}-10a^{4}b^{3}(b - a)^{2}\\=&5a^{3}b(a - b)^{3}-10a^{4}b^{3}(a - b)^{2}\\=&5a^{3}b(a - b)^{2}[(a - b)-2ab^{2}]\\=&5a^{3}b(a - b)^{2}(a - b - 2ab^{2})\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(n - m)^{2}+m(m - n)+n(n - m)\\=&(m - n)^{2}+m(m - n)+n(n - m)\\=&(m - n)^{2}+m(m - n)-n(m - n)\\=&(m - n)[(m - n)+m - n]\\=&(m - n)(m - n + m - n)\\=&(m - n)(2m - 2n)\\=&2(m - n)^{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&-3a^{2}x + 6axy - 3a\\=&-3a(ax - 2xy + 1)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&5a^{3}b(a - b)^{3}-10a^{4}b^{3}(b - a)^{2}\\=&5a^{3}b(a - b)^{3}-10a^{4}b^{3}(a - b)^{2}\\=&5a^{3}b(a - b)^{2}[(a - b)-2ab^{2}]\\=&5a^{3}b(a - b)^{2}(a - b - 2ab^{2})\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(n - m)^{2}+m(m - n)+n(n - m)\\=&(m - n)^{2}+m(m - n)+n(n - m)\\=&(m - n)^{2}+m(m - n)-n(m - n)\\=&(m - n)[(m - n)+m - n]\\=&(m - n)(m - n + m - n)\\=&(m - n)(2m - 2n)\\=&2(m - n)^{2}\end{aligned}$
7. 已知等式：$x(y-1)+$(
$3y - 3$
)$=(y-1)(x+3)$,若括号内所填的式子记为$A$,则$A= $$3y - 3$
。答案
$3y - 3$
解析
首先对等式右边进行展开：$(y-1)(x+3)=x(y-1)+3(y-1)$，
与等式左边$x(y-1)+A$对比，可得$A=3(y-1)=3y-3$。
所以$A$的值为$3y - 3$。
与等式左边$x(y-1)+A$对比，可得$A=3(y-1)=3y-3$。
所以$A$的值为$3y - 3$。
8. 把$4b(3a+1)-9a-3$分解因式的结果为
$(3a + 1)(4b - 3)$
。答案
$4b(3a + 1) - 9a - 3$
$=4b(3a + 1)-(9a + 3)$
$=4b(3a + 1)-3(3a + 1)$
$=(3a + 1)(4b - 3)$
故答案为：$(3a + 1)(4b - 3)$。
$=4b(3a + 1)-(9a + 3)$
$=4b(3a + 1)-3(3a + 1)$
$=(3a + 1)(4b - 3)$
故答案为：$(3a + 1)(4b - 3)$。
9. 若实数$a$,$b满足a+b= 5$,$a^{2}b+ab^{2}= -15$,则$ab$的值是
$-3$
。答案
$-3$
解析
由题意，$a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b) = -15$，
又因为$a + b = 5$，代入上式得：
$ab × 5 = -15$，
从上式可以解得：
$ab = -3$。
又因为$a + b = 5$，代入上式得：
$ab × 5 = -15$，
从上式可以解得：
$ab = -3$。
10. 阅读下列材料：
已知二次三项式$2x^{2}+5x+m有一个因式是(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
解：设另一个因式为$(2x+n)$,
则$2x^{2}+5x+m= (x+3)(2x+n)$,
展开,得$2x^{2}+5x+m= 2x^{2}+(n+6)x+3n$,
$\therefore n+6= 5$,$m= 3n$。
$\therefore n= -1$,$m= -3$。
$\therefore另一个因式为(2x-1)$,$m的值为-3$。
仿照以上做法解答下题：已知二次三项式$2x^{2}+3x+k有一个因式为(x-1)$,求另一个因式及$k$的值。
已知二次三项式$2x^{2}+5x+m有一个因式是(x+3)$,求另一个因式以及$m$的值。
解：设另一个因式为$(2x+n)$,
则$2x^{2}+5x+m= (x+3)(2x+n)$,
展开,得$2x^{2}+5x+m= 2x^{2}+(n+6)x+3n$,
$\therefore n+6= 5$,$m= 3n$。
$\therefore n= -1$,$m= -3$。
$\therefore另一个因式为(2x-1)$,$m的值为-3$。
仿照以上做法解答下题：已知二次三项式$2x^{2}+3x+k有一个因式为(x-1)$,求另一个因式及$k$的值。
答案
设另一个因式为$(2x + n)$，
则$2x^{2} + 3x + k = (x - 1)(2x + n)$，
展开，得$2x^{2} + 3x + k = 2x^{2} + (n - 2)x - n$，
$\therefore n - 2 = 3$，$k = -n$，
$\therefore n = 5$，$k = -5$，
$\therefore$另一个因式为$(2x + 5)$，$k$的值为$-5$。
则$2x^{2} + 3x + k = (x - 1)(2x + n)$，
展开，得$2x^{2} + 3x + k = 2x^{2} + (n - 2)x - n$，
$\therefore n - 2 = 3$，$k = -n$，
$\therefore n = 5$，$k = -5$，
$\therefore$另一个因式为$(2x + 5)$，$k$的值为$-5$。
