能够的两个三角形叫作全等三角形
基本性质：对应边,对应角
重要性质：对应高、对应中线、对应角平分线；周长相等,面积
一个三角形经过平移、翻折、后可以得到与它全等的三角形
一般三角形：,,AAS,SSS
直角三角形：除使用一般三角形全等的判定方法之外,还有
性质：角的平分线上的点到角两边的距离
判定：角的内部到角两边距离的点在角的平分线上

作图依据：

完全重合；
相等，相等；
相等，相等；
旋转；
$SAS$，$ASA$；
$HL$；
相等；
相等；
$SSS$。

能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形；
基本性质：对应边相等，对应角相等；
重要性质：对应高、对应中线、对应角平分线相等；周长相等，面积相等；
一个三角形经过平移、翻折、旋转后可以得到与它全等的三角形；
一般三角形：$SAS$，$ASA$，$AAS$，$SSS$；
直角三角形：除使用一般三角形全等的判定方法之外，还有$HL$；
性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；
判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上；
作图依据：$SSS$。

1. 如图所示,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度,依据是。

根据题意，因为$O$为$AA^{\prime}$，$BB^{\prime}$的中点，
所以$OA = OA^{\prime}$，$OB = OB^{\prime}$，
在$\bigtriangleup AOB$和$\bigtriangleup A^{\prime}OB^{\prime}$中，
$\begin{cases}OA = OA^{\prime} \\\angle AOB = \angle A^{\prime}OB^{\prime} \\OB = OB^{\prime}\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）全等条件，得出$\bigtriangleup AOB \cong \bigtriangleup A^{\prime}OB^{\prime}$，
所以$AB = A^{\prime}B^{\prime}$，
即依据是全等三角形的对应边相等。
故本题答案为：全等三角形的对应边相等。

2. 如图所示,已知∠CAE= ∠BAD,AC= AD,增加下列条件：①AB= AE；②BC= ED；③∠C= ∠D；④∠B= ∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

由∠CAE=∠BAD，可得∠CAB=∠DAE（等式性质），已知AC=AD。
①AB=AE：AC=AD，∠CAB=∠DAE，AB=AE，SAS可证全等；
②BC=ED：SSA无法判定全等；
③∠C=∠D：AC=AD，∠CAB=∠DAE，∠C=∠D，ASA可证全等；
④∠B=∠E：AC=AD，∠CAB=∠DAE，∠B=∠E，AAS可证全等。
能使全等的条件有①③④，共3个。

3. (分类讨论)如图所示,CA⊥AB,垂足为A,AB= 12m,AC= 6m,射线BM⊥AB,垂足为B,一动点E从点A出发以2m/s的速度沿射线AN运动,点D为射线BM上一动点,随着点E的运动而运动,且始终保持ED= CB,当点E运动s时,由点D,E,B组成的三角形与△BCA全等。

情况一： $\triangle DEB \cong \triangle BCA$（直角边对应$EB=AC$，$BD=AB$）
$EB=AC=6\ m$，$BD=AB=12\ m$
$EB=|12-2t|=6$，解得$12-2t=6$或$12-2t=-6$
$\Rightarrow t=3$或$t=9$
情况二： $\triangle DEB \cong \triangle BAC$（直角边对应$EB=AB$，$BD=AC$）
$EB=AB=12\ m$，$BD=AC=6\ m$
$EB=|12-2t|=12$，解得$12-2t=12$或$12-2t=-12$
$\Rightarrow t=0$（舍去，E未运动）或$t=12$
结论： 符合条件的$t$值为$3$，$9$，$12$
$3$，$9$，$12$

在Rt△BCA中，AB=12m，AC=6m，由勾股定理得：CB=$\sqrt{AC^2 + AB^2}=\sqrt{6^2 + 12^2}=6\sqrt{5}$m。
设点E运动时间为t s，则AE=2t m。
情况1：点E在线段AB上（E在A、B之间）
此时BE=AB - AE=(12 - 2t)m。
若△DEB≌△BCA，需BE=AC=6m，即12 - 2t=6，解得t=3。
情况2：点E在AB延长线上（E在B右侧）
此时BE=AE - AB=(2t - 12)m。
若△DEB≌△BCA，需BE=AC=6m，即2t - 12=6，解得t=9；
若△BDE≌△BCA，需BE=AB=12m，即2t - 12=12，解得t=12。
综上，t=3或9或12。
3或9或12

4. (2025·德阳)如图所示,在△ABC和△AED中,AB= AC,AE= AD,∠BAC= ∠EAD,且点E,A,B在同一直线上,点C,D在EB同侧,连接BD,CE交于点M.
求证：△ABD≌△ACE.

△ABD≌△ACE（SAS）．

证明：
∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE+∠CAE=∠DAE+∠CAE（此处修正为：∠BAC + ∠CAB 表述有误，应为∠BAC + ∠EAC = ∠EAD + ∠EAC），
正确推导：∠BAC + ∠EAC = ∠EAD + ∠EAC ⇒ ∠BAE 是直线，点 E,A,B 在同一直线上，故∠EAB=180°，
实际应为：∠BAC = ∠EAD，等式两边同时加上∠EAC，得∠BAC + ∠EAC = ∠EAD + ∠EAC，
即∠EAB + ∠BAC = ∠EAD + ∠DAC（错误，重新修正）：
∵点 E,A,B 在同一直线上，∴∠EAB=180°，
∠BAD = ∠BAC + ∠CAD，
∠CAE = ∠EAD + ∠CAD，
又∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAE，
AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（注：原推导中角度等式表述有误，已修正为通过公共角∠CAD辅助证明∠BAD=∠CAE，符合SAS全等条件。）
最终

5. (2024·绵阳)如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B= 2∠ADB,AB= 4,CD= 7,则AC的长为()

A.3
B.11
C.15
D.9

B

在AC上截取AE=AB，连接DE。
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD。
在△ABD和△AED中，AB=AE，∠BAD=∠EAD，AD=AD，∴△ABD≌△AED（SAS）。
∴∠AED=∠B，DE=BD。
设∠ADB=α，则∠B=2α，∴∠AED=2α。
∵∠AED是△EDC的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC，即2α=∠C+∠EDC。
∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-α。
在△ADC中，∠CAD=∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-3α，
∴∠C=180°-∠ADC-∠CAD=180°-(180°-α)-(180°-3α)=4α-180°。
∴∠EDC=2α-∠C=2α-(4α-180°)=180°-2α。
∵∠DEC=180°-∠AED=180°-2α，∴∠EDC=∠DEC，∴EC=CD=7。
∵AE=AB=4，∴AC=AE+EC=4+7=11。