用尺规作一个角等于已知角
已知：$\angle AOB$。
求作：$\angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}$,使$\angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}=\angle AOB$。
作法：(1)如图所示,以为圆心,任意长为半径作弧,分别交$OA$,$OB于点C$,$D$；
(2)作一条射线$O^{\prime}A^{\prime}$,以点$O^{\prime}$为圆心,长为半径作弧,交$O^{\prime}A^{\prime}于点C^{\prime}$；
(3)以点$C^{\prime}$为圆心,长为半径作弧,与(2)中所作的弧相交于点$D^{\prime}$；
(4)过点$D^{\prime}$作,则$\angle A^{\prime}O^{\prime}B^{\prime}=\angle AOB$。

(1)$O$；(2)$OC$；(3)$CD$；(4)射线$O'B'$

(1) 在作图时，首先以点$O$为圆心，以任意长为半径作弧，分别交$OA$、$OB$于点$C$、$D$。
(2)接着作一条射线$O'A'$，以点$O'$为圆心，$OC$（或$OD$，半径长度选择一致即可）长为半径作弧，交$O'A'$于点$C'$。
(3)然后以点$C'$为圆心，以$CD$长为半径作弧，与前面以$O'$为圆心所作的弧相交于点$D'$。
(4)最后过点$D'$作射线$O'B'$，这样就得到了$\angle A'O'B'$，且$\angle A'O'B' = \angle AOB$。

【例】(教材题变式)如图所示,已知$\angle AOB$,点$C是OB$边上的一点,用尺规作出经过点$C且与OA$平行的直线,并写出作法。

答题卡：
作法：
①以点$O$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$OA$，$OB$于点$M$，$N$；
②以点$C$为圆心，$OM$长为半径画弧，交$OB$于点$P$；
③以点$P$为圆心，$MN$长为半径画弧，与前弧交于点$Q$；
④过点$C$，$Q$作直线$CQ$，则直线$CQ$就是所求作的直线（理由：两组对应边分别相等的四边形$OMQC$中，可证$\angle O=\angle PCQ$，同位角相等，两直线平行）。

1. 下列符号代表的内容正确的是 ()
如图所示,已知$\angle AOB$,求作：$\angle DEF$,使$\angle DEF= \angle AOB$。作法：如图所示。
(1)以●为圆心,任意长为半径作弧,分别交$OA$,$OB于点P$,$Q$；
(2)作射线$EG$,并以点$E$为圆心,◎长为半径作弧交$EG于点D$；
(3)以点$D$为圆心,⊙长为半径作弧,交(2)中所作的弧于点$F$；
(4)作⊕,$\angle DEF$即为所求作的角。

A. ●表示点$E$
B. ◎表示$PQ$
C. ⊙表示$OQ$
D. ⊕表示射线$EF$

D

根据作一个角等于已知角的步骤可知：
(1)以$O$（已知角的顶点）为圆心，任意长为半径作弧，分别交$OA$，$OB$于点$P$，$Q$；
(2)作射线$EG$，并以点$E$（新角的顶点）为圆心，$OP$（或$OQ$，半径长度与第一步中半径在已知角上截取的长度相同）长为半径作弧交$EG$于点$D$；
(3)以点$D$为圆心，$PQ$（在已知角上所截取的弦长）长为半径作弧，交(2)中所作的弧于点$F$；
(4)作射线$EF$，$\angle DEF$即为所求作的角。
所以●表示点$O$是错误的，应表示点$O$（原角顶点）相关，在本题作新角情境下第一步圆心应是原角顶点，这里结合本题求作$\angle DEF$，第一步圆心应是原角$\angle AOB$的顶点$O$，而本题新角顶点是$E$，所以A选项●表示点$E$错误；
◎表示的是在第一步中在已知角上截取的半径长度，应是$OP$（或$OQ$），不是$PQ$，所以B选项错误；
⊙表示的是在已知角上所截取的弦长$PQ$，不是$OQ$，所以C选项错误；
⊕表示射线$EF$，D选项正确。

2. 如图所示,点$C在\angle AOB的边OB$上,利用尺规过点$C作OA的平行线CM$。由$OF= OD= CM= CE$,$DF= EM$,可得$\triangle ODF\cong\triangle CEM$,进而可以得到$\angle BCM= \angle AOB$,$CM// OA$,以上作图过程中的依据不包括 ()

A.三边分别相等的两个三角形全等
B.全等三角形的对应角相等
C.两边和一角对应相等的两个三角形全等
D.同位角相等,两直线平行

C

由题可知，通过尺规作图得到$OD=CE$，$OF=CM$，$DF=EM$，根据“三边分别相等的两个三角形全等”（SSS，即选项A）可证$\triangle ODF\cong\triangle CEM$；由全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”（选项B）可得$\angle AOB=\angle BCM$；$\angle AOB$与$\angle BCM$是同位角，依据“同位角相等，两直线平行”（选项D）证得$CM// OA$。整个过程未用到“两边和一角对应相等的两个三角形全等”（选项C，该判定需强调夹角，此处为SSS全等）。

3. 如图所示,已知$\triangle ABC$,请用尺规作图法在$BC边上求作点P$,使得$\angle PAC= \angle B$。(不写作法,保留作图痕迹)

作图步骤如下：
1. 以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N；
2. 以点A为圆心，BM长为半径画弧，交AC于点Q；
3. 以点Q为圆心，MN长为半径画弧，与步骤2中所画弧交于点R；
4. 作射线AR，交BC于点P。
点P即为所求。

（作图痕迹如下：以点A为顶点，AC为一边，在AC的下方作∠CAP=∠B，射线AP交BC于点P）
（注：此处因无法直接绘制图形，实际答题卡中应呈现符合尺规作图要求的痕迹，包括作∠CAP=∠B的弧痕等，最终得到点P即为所求。）