9. 如图,一副三角尺按①②两种位置摆放,在位置①中,$\alpha和\beta$之间的关系是,理由是；在位置②中,$\alpha和\beta$之间的关系是,理由是.

1. 对于位置①：
解：
因为三角尺的直角为$90^{\circ}$，所以$\alpha+\beta + 90^{\circ}=180^{\circ}$（平角的定义：平角为$180^{\circ}$）。
移项可得$\alpha+\beta=90^{\circ}$，即$\alpha$与$\beta$互余（互余的定义：若两角之和为$90^{\circ}$，则这两个角互余）。
2. 对于位置②：
解：
因为$\alpha$与它相邻的角组成平角，$\beta$与它相邻的角也组成平角，而这两个相邻的角是对顶角（对顶角相等）。
根据平角定义$\alpha+(180^{\circ}-\beta)=180^{\circ}$（设$\alpha$与$\beta$之间的公共角为$\theta$，$\alpha+\theta = 180^{\circ}$，$\beta+\theta = 180^{\circ}$，两式相减：$(\alpha+\theta)-(\beta + \theta)=180^{\circ}-180^{\circ}$）。
化简可得$\alpha=\beta$（等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立）。
所以在位置①中，$\alpha$和$\beta$之间的关系是$\boldsymbol{\alpha+\beta = 90^{\circ}}$，理由是同角的余角相等（或$\alpha$与$\beta$互余）；在位置②中，$\alpha$和$\beta$之间的关系是$\boldsymbol{\alpha=\beta}$，理由是等角的补角相等。

位置①：α+β=90°，同角的余角相等；位置②：α+β=180°，同角的补角相等

10. 若一个角是其补角的$\frac{1}{4}$,则这个角的度数为.

$36^{\circ}$（或写为36）

设这个角的度数为$x$，则其补角为$180^{\circ} - x$。
根据题意，得$x = \frac{1}{4}(180^{\circ} - x)$。
去括号，得$x = 45^{\circ} - \frac{1}{4}x$。
移项，合并同类项得$\frac{5}{4}x = 45^{\circ}$。
系数化为$1$，得$x = 36^{\circ}$。

11. 一个角的补角比它的余角的$3倍大10^{\circ}$,则这个角的度数为.

$50^{\circ}$（题目非选择题，直接填度数即可（以数字形式填入，本空格按照要求应填入$50$））

设这个角的度数为$x$，则它的补角为$180^{\circ} - x$，余角为$90^{\circ} - x$。根据题意，补角比余角的3倍大$10^{\circ}$，即：
$180^{\circ} - x = 3(90^{\circ} - x) + 10^{\circ}$
展开方程：
$180^{\circ} - x = 270^{\circ} - 3x + 10^{\circ}$
$180^{\circ} - x = 280^{\circ} - 3x$
移项并合并同类项：
$-x + 3x = 280^{\circ} - 180^{\circ}$
$2x = 100^{\circ}$
$x = 50^{\circ}$

12. 将两个三角尺的直角顶点在如图所示的位置重合,若$\angle AOD = 108^{\circ}$,则$\angle BOC = $.

72°

因为∠AOB和∠COD都是直角，所以∠AOB=∠COD=90°。∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC，即108°=90°+90°-∠BOC，解得∠BOC=72°。

13. 已知$\angle \alpha与\angle \beta$互补,有下列说法：
①若$\angle \alpha$是锐角,则$\angle \beta$一定是钝角；
②若$\angle \gamma + \angle \alpha = 180^{\circ}$,则$\angle \beta = \angle \gamma$；
③若$\angle 1 = \frac{1}{2}\angle \alpha$,$\angle 2 = \frac{1}{2}\angle \beta$,则$\angle 1与\angle 2$互余.
其中正确的说法是.(填序号)

①②③

①∵∠α与∠β互补，∴∠α+∠β=180°，∵∠α是锐角，即0°＜∠α＜90°，∴90°＜∠β＜180°，则∠β一定是钝角，①正确；
②∵∠α与∠β互补，∴∠α+∠β=180°，又∠γ+∠α=180°，根据同角的补角相等，可得∠β=∠γ，②正确；
③∵∠α+∠β=180°，∠1=1/2∠α，∠2=1/2∠β，∴∠1+∠2=1/2(∠α+∠β)=1/2×180°=90°，则∠1与∠2互余，③正确。

14. 如图,直线$AB$,$CD相交于点O$,$OF平分\angle AOE$,$\angle DOF = 90^{\circ}$.
(1)$\angle AOD$的补角有,$\angle BOD$的余角有______；
(2)若$\angle AOE = 120^{\circ}$,求$\angle BOC$的度数.

(1) ∠AOC，∠BOD；∠AOF，∠EOF；
(2) ∵∠AOE=120°，OF平分∠AOE，∴∠AOF=60°。
∵∠DOF=90°，∴∠AOD=∠AOF+∠DOF=60°+90°=150°。
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC=150°。