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1. 二次函数$y= (x - 2)^2-1$的顶点坐标是(
A.(2,-1)
B.(-2,-1)
C.(-2,1)
D.(2,1)
A
).A.(2,-1)
B.(-2,-1)
C.(-2,1)
D.(2,1)
答案
解：二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$。
对于二次函数$y=(x - 2)^2-1$，其中$h=2$，$k=-1$，所以顶点坐标是$(2,-1)$。
答案：A
对于二次函数$y=(x - 2)^2-1$，其中$h=2$，$k=-1$，所以顶点坐标是$(2,-1)$。
答案：A
2. 某广场有一喷水池,水从地面喷出.如图所示,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线$y= -x^2 + 4x$(单位：m)的一部分,则水喷出的最大高度是(
A.4m
B.3m
C.2m
D.1m
A
).A.4m
B.3m
C.2m
D.1m
答案
【解析】：本题可根据二次函数的性质来求解水喷出的最大高度。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{4ac - b^2}{4a}$。
在抛物线$y = -x^2 + 4x$中，$a=-1$，$b = 4$，$c = 0$。
因为$a=-1\lt0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
根据顶点横坐标公式$x = -\frac{b}{2a}$，可得$x = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$。
将$x = 2$代入抛物线方程$y = -x^2 + 4x$中，可得$y = -2^2 + 4×2=-4 + 8 = 4$。
所以水喷出的最大高度是$4m$。
【答案】：A。
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{4ac - b^2}{4a}$。
在抛物线$y = -x^2 + 4x$中，$a=-1$，$b = 4$，$c = 0$。
因为$a=-1\lt0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
根据顶点横坐标公式$x = -\frac{b}{2a}$，可得$x = -\frac{4}{2×(-1)} = 2$。
将$x = 2$代入抛物线方程$y = -x^2 + 4x$中，可得$y = -2^2 + 4×2=-4 + 8 = 4$。
所以水喷出的最大高度是$4m$。
【答案】：A。
3. 若二次函数$y = ax^2+bx + c$的x与y的部分对应值如下表所示：
当$x = 1$时,y的值为(
A.5
B.-3
C.-13
D.-27
当$x = 1$时,y的值为(
D
).A.5
B.-3
C.-13
D.-27
答案
【解析】：
本题可先根据二次函数的对称性确定其对称轴，再利用二次函数的对称性求出$x = 1$时$y$的值。
步骤一：确定二次函数的对称轴
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其图象是一条抛物线，且抛物线是轴对称图形。
观察表格可知，当$x = - 4$和$x = - 2$时，$y$的值都为$3$，即这两点关于对称轴对称。
根据对称轴公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$（其中$x_1$、$x_2$为关于对称轴对称的两点的横坐标），可得对称轴为$x = \frac{-4 + (-2)}{2}=\frac{-6}{2}=-3$。
步骤二：利用二次函数的对称性求$x = 1$时$y$的值
因为二次函数的图象关于对称轴对称，所以点$(x_1,y_1)$关于对称轴$x = - 3$对称的点$(x_2,y_2)$满足$\frac{x_1 + x_2}{2}=-3$，且$y_1 = y_2$。
设$x = 1$时对应的对称点的横坐标为$x_0$，则$\frac{1 + x_0}{2}=-3$，
等式两边同时乘以$2$可得：$1 + x_0 = - 6$，
移项可得：$x_0 = - 6 - 1=-7$。
由表格可知，当$x = - 7$时，$y = - 27$，根据二次函数的对称性可知，当$x = 1$时，$y$的值与$x = - 7$时$y$的值相等，即$y = - 27$。
【答案】：D
本题可先根据二次函数的对称性确定其对称轴，再利用二次函数的对称性求出$x = 1$时$y$的值。
步骤一：确定二次函数的对称轴
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其图象是一条抛物线，且抛物线是轴对称图形。
观察表格可知，当$x = - 4$和$x = - 2$时，$y$的值都为$3$，即这两点关于对称轴对称。
根据对称轴公式$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$（其中$x_1$、$x_2$为关于对称轴对称的两点的横坐标），可得对称轴为$x = \frac{-4 + (-2)}{2}=\frac{-6}{2}=-3$。
步骤二：利用二次函数的对称性求$x = 1$时$y$的值
因为二次函数的图象关于对称轴对称，所以点$(x_1,y_1)$关于对称轴$x = - 3$对称的点$(x_2,y_2)$满足$\frac{x_1 + x_2}{2}=-3$，且$y_1 = y_2$。
设$x = 1$时对应的对称点的横坐标为$x_0$，则$\frac{1 + x_0}{2}=-3$，
等式两边同时乘以$2$可得：$1 + x_0 = - 6$，
移项可得：$x_0 = - 6 - 1=-7$。
由表格可知，当$x = - 7$时，$y = - 27$，根据二次函数的对称性可知，当$x = 1$时，$y$的值与$x = - 7$时$y$的值相等，即$y = - 27$。
【答案】：D
4. 将抛物线$y = x^2$向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是(
A.$y= (x - 3)^2 + 4$
B.$y= (x + 3)^2 + 4$
C.$y= (x + 3)^2-4$
D.$y= (x - 3)^2-4$
A
).A.$y= (x - 3)^2 + 4$
B.$y= (x + 3)^2 + 4$
C.$y= (x + 3)^2-4$
D.$y= (x - 3)^2-4$
答案
解：抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。
将抛物线$y = x^2$向右平移3个单位长度，得$y=(x - 3)^2$；
再向上平移4个单位长度，得$y=(x - 3)^2 + 4$。
答案：A
将抛物线$y = x^2$向右平移3个单位长度，得$y=(x - 3)^2$；
再向上平移4个单位长度，得$y=(x - 3)^2 + 4$。
答案：A
5. 已知抛物线$y = ax^2+ax - 1的顶点在直线y = 2$上,则a的值是(
A.-12或0
B.12
C.0
D.-12
D
).A.-12或0
B.12
C.0
D.-12
答案
【解析】：
首先，需要找到抛物线的顶点坐标。对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})$。在本题中，$b = a$，$c = -1$，$a$是题目所求。
所以，顶点坐标为$(-\frac{a}{2a}, -1-\frac{a^2}{4a}) = (-\frac{1}{2}, -1-\frac{a}{4})$，也可以写成$\left(-\frac{1}{2}, \frac{-4-a}{4}\right)$。
接下来，将这个顶点坐标代入直线$y = 2$中，即：
$\frac{-4-a}{4} = 2$
解这个方程，得到：
$-4-a = 8$
$a = -12$
另外，由于抛物线的一般形式中$a \neq 0$，所以$a = 0$的解是不符合题意的，需要舍去。
【答案】：
D. $-12$
首先，需要找到抛物线的顶点坐标。对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})$。在本题中，$b = a$，$c = -1$，$a$是题目所求。
所以，顶点坐标为$(-\frac{a}{2a}, -1-\frac{a^2}{4a}) = (-\frac{1}{2}, -1-\frac{a}{4})$，也可以写成$\left(-\frac{1}{2}, \frac{-4-a}{4}\right)$。
接下来，将这个顶点坐标代入直线$y = 2$中，即：
$\frac{-4-a}{4} = 2$
解这个方程，得到：
$-4-a = 8$
$a = -12$
另外，由于抛物线的一般形式中$a \neq 0$，所以$a = 0$的解是不符合题意的，需要舍去。
【答案】：
D. $-12$
6. 已知二次函数$y = 2(x - 1)^2 + k$的图象上有三个点A(-2,$y_1$),B(1,$y_2$),C(2,$y_3$),则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为(
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
B
).A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
解：二次函数$y=2(x - 1)^2 + k$的对称轴为直线$x=1$，且$a=2＞0$，抛物线开口向上。
点A(-2,$y_1$)到对称轴的距离为$|-2 - 1|=3$；
点B(1,$y_2$)到对称轴的距离为$|1 - 1|=0$；
点C(2,$y_3$)到对称轴的距离为$|2 - 1|=1$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
答案：B
点A(-2,$y_1$)到对称轴的距离为$|-2 - 1|=3$；
点B(1,$y_2$)到对称轴的距离为$|1 - 1|=0$；
点C(2,$y_3$)到对称轴的距离为$|2 - 1|=1$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大，所以$y_1＞y_3＞y_2$。
答案：B
7. 已知抛物线$y = x^2 + 2x - 1$向右平移2个单位后与x轴的一个交点为(m,0),则代数式$m^2 - 2m + 2024$的值为(
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
D
).A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案
解：抛物线$y=x^2 + 2x - 1$配方得$y=(x+1)^2 - 2$，向右平移2个单位后解析式为$y=(x+1 - 2)^2 - 2=(x - 1)^2 - 2$，即$y=x^2 - 2x - 1$。
因为平移后抛物线与x轴交点为$(m,0)$，所以$m^2 - 2m - 1 = 0$，即$m^2 - 2m = 1$。
则$m^2 - 2m + 2024 = 1 + 2024 = 2025$。
答案：D
因为平移后抛物线与x轴交点为$(m,0)$，所以$m^2 - 2m - 1 = 0$，即$m^2 - 2m = 1$。
则$m^2 - 2m + 2024 = 1 + 2024 = 2025$。
答案：D
