【例1】填上适当的数或式子,使下列各式成立:
(1)$2x^{2}-6x+$$=2(x-$____$)^{2};$
(2)$\frac {1}{3}x^{2}+4x+$$=\frac {1}{3}(x+$____$)^{2}.$
【思路点拨】通过添括号变成$x^{2}\pm 2\cdot \frac {m}{2}x$的形式,配上$(\frac {m}{2})^{2}$,就可以配成完全平方式.
【解答】

(1) $\frac{9}{2}$；$\frac{3}{2}$
(2) 12；6

(1) 对于 $2x^{2}-6x+$____$=2(x-$____$)^{2}$：
首先，将 $2x^{2}-6x$ 写成 $2(x^{2}-3x)$ 的形式。
考虑 $x^{2}-3x$，为了使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$，但因为我们前面有系数2，所以实际需要加的数是 $2 × \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$。
同时，为了从 $2(x^{2}-3x+\frac{9}{2})$ 变成 $2(x-$____$)^{2}$ 的形式，括号内的数应为 $\frac{3}{2}$ 的x系数，即 $x-\frac{3}{2}$ 的平方。
所以，填空答案为：$\frac{9}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$。
(2) 对于 $\frac {1}{3}x^{2}+4x+$____$=\frac {1}{3}(x+$____$)^{2}$：
首先，将 $\frac {1}{3}x^{2}+4x$ 写成 $\frac {1}{3}(x^{2}+12x)$ 的形式。
考虑 $x^{2}+12x$，为了使其成为完全平方，需要加上 $(\frac{12}{2})^{2} = 36$，但因为我们前面有系数 $\frac{1}{3}$，所以实际需要加的数是 $\frac{1}{3} × 36 = 12$。
同时，为了从 $\frac {1}{3}(x^{2}+12x+36)$ 变成 $\frac {1}{3}(x+$____$)^{2}$ 的形式，括号内的数应为6（因为 $x+6$ 的平方是 $x^{2}+12x+36$）。
所以，填空答案为：12 和 6。

【例2】用配方法解下列方程:
(1)$2x^{2}-4x-3= 0;$
(2)$2x^{2}+1= 3x.$
【思路点拨】配方时二次项系数不为1的,把二次项系数化为1后,再用二次项系数是1的方法即可求解.
【解答】

(1) $x_{1} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$，$x_{2} = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$；
(2) $x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{1}{2}$。

(1) 对于方程 $2x^{2} - 4x - 3 = 0$：
将二次项系数化为1，得 $x^{2} - 2x - \frac{3}{2} = 0$，
移项，得 $x^{2} - 2x = \frac{3}{2}$，
配方，得 $x^{2} - 2x + 1 = \frac{3}{2} + 1$，
即 $(x - 1)^{2} = \frac{5}{2}$，
开方，得 $x - 1 = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$，
解得 $x_{1} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$，$x_{2} = \frac{2 - \sqrt{10}}{2}$。
(2) 对于方程 $2x^{2} + 1 = 3x$：
将二次项系数化为1，并移项，得 $x^{2} - \frac{3}{2}x = - \frac{1}{2}$，
配方，得 $x^{2} - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = - \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，
即 $(x - \frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{16}$，
开方，得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$，
解得 $x_{1} = 1$，$x_{2} = \frac{1}{2}$。

1. 方程$x^{2}-6x-5= 0$的左边配成完全平方式后,所得方程为()
A.$(x-6)^{2}= 41$
B.$(x-3)^{2}= 4$
C.$(x-3)^{2}= 14$
D.$(x-3)^{2}= 5$

C

原方程为$x^{2}-6x-5=0$。
首先，移项得$x^{2}-6x=5$。
为了配方，需要使左边成为一个完全平方的形式。
考虑平方差公式，对于$x^{2}-6x$，可以加上$(\frac{6}{2})^{2}=9$使其成为完全平方。
于是，方程两边同时加9，得到$x^{2}-6x+9=5+9$。
左边即为$(x-3)^{2}$，右边为14，所以配方后的方程为$(x-3)^{2}=14$。

2. 如果$x^{2}+x-2= 0$,那么代数式$x^{3}+3x^{2}-7$的值为()
A.6
B.3
C.-6
D.-3

D

首先，由题目给定的一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$，我们可以解出 $x^{2} + x = 2$，
接着，我们将要求的代数式 $x^{3} + 3x^{2} - 7$ 进行变形，以便使用 $x^{2} + x = 2$ 这一条件，
$x^{3} + 3x^{2} - 7 = x^{3} + x^{2} + 2x^{2} - 7$，
然后，我们将 $x^{3} + x^{2}$ 变形为 $x(x^{2} + x)$，得到：
$x^{3} + 3x^{2} - 7 = x(x^{2} + x) + 2x^{2} - 7$，
根据 $x^{2} + x = 2$，代入上式得：
$x^{3} + 3x^{2} - 7 = 2x + 2x^{2} - 7$，
继续利用 $x^{2} + x = 2$，我们可以将 $2x^{2}$ 替换为 $2(2 - x)$，得到：
$x^{3} + 3x^{2} - 7 = 2x + 2(2 - x) - 7$，
化简得：
$x^{3} + 3x^{2} - 7 = 2x + 4 - 2x - 7 = -3$。

3. 用配方法解方程$2x^{2}+4x+1= 0$,配方后的方程是()
A.$(2x+2)^{2}= -2$
B.$(2x+2)^{2}= -3$
C.$(x+\frac {1}{2})^{2}= \frac {1}{2}$
D.$(x+1)^{2}= \frac {1}{2}$

D

1. 首先将原方程$2x^{2}+4x + 1 = 0$，二次项系数化为$1$，方程两边同时除以$2$，得到$x^{2}+2x+\frac{1}{2}=0$。
2. 然后进行配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数是$2$，一半的平方为$1$，则$x^{2}+2x + 1=-\frac{1}{2}+1$。
3. 根据完全平方公式$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 1$，所以$(x + 1)^{2}=\frac{1}{2}$。

4. 用配方法解下列方程,配方正确的是()
A.$2y^{2}-4y-4= 0可化为(y-1)^{2}= 4$
B.$x^{2}-2x-9= 0可化为(x-1)^{2}= 8$
C.$x^{2}+8x-9= 0可化为(x+4)^{2}= 16$
D.$x^{2}-4x= 0可化为(x-2)^{2}= 4$

D

对于选项A：
原方程为$2y^{2}-4y-4=0$。
首先将二次项系数化为1，得到$y^{2}-2y-2=0$。
然后移项，得到$y^{2}-2y=2$。
配方时，等式两边同时加上1，得到$y^{2}-2y+1=3$，即$(y-1)^{2}=3$。
与选项A给出的$(y-1)^{2}=4$不符，所以A错误。
对于选项B：
原方程为$x^{2}-2x-9=0$。
移项，得到$x^{2}-2x=9$。
配方时，等式两边同时加上1，得到$x^{2}-2x+1=10$，即$(x-1)^{2}=10$。
与选项B给出的$(x-1)^{2}=8$不符，所以B错误。
对于选项C：
原方程为$x^{2}+8x-9=0$。
移项，得到$x^{2}+8x=9$。
配方时，等式两边同时加上16，得到$x^{2}+8x+16=25$，即$(x+4)^{2}=25$。
与选项C给出的$(x+4)^{2}=16$不符，所以C错误。
对于选项D：
原方程为$x^{2}-4x=0$。
配方时，等式两边同时加上4，得到$x^{2}-4x+4=4$，即$(x-2)^{2}=4$。
与选项D给出的$(x-2)^{2}=4$相符，所以D正确。

5. 一元二次方程$x^{2}-2x-1= 0$的根是.

$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$，$x_{2} = 1 - \sqrt{2}$

首先，将原方程 $x^{2} - 2x - 1 = 0$ 的常数项移到等号右边，得到 $x^{2} - 2x = 1$，
接着，为了配方，我们在等式的两边都加上1（即一次项系数的一半的平方），得到 $x^{2} - 2x + 1 = 2$，
这样，左边就是一个完全平方了，即 $(x - 1)^{2} = 2$，
然后，对方程两边同时开平方，得到 $x - 1 = \pm \sqrt{2}$，
最后，解得 $x_{1} = 1 + \sqrt{2}$，$x_{2} = 1 - \sqrt{2}$。

6. 将二次三项式$x^{2}-2x-2$进行配方的结果是.

$(x - 1)^{2} - 3$

首先，我们有二次三项式 $x^{2} - 2x - 2$。
为了进行配方，我们需要将中间项的系数的一半的平方加到式子中并同时减去，即加1再减1，保持原式的值不变。
$x^{2} - 2x - 2 = x^{2} - 2x + 1 - 1 - 2$
这样，前三项就可以写成一个完全平方的形式：
$= (x - 1)^{2} - 3$

7. 在下列空白处填上适当的数或式子,使左右两边相等:
(1)$x^{2}+6x+$()$= (x- $$)^{2};$
(2)$x^{2}-5x+\frac {25}{4}= (x- $$)^{2};$
(3)$x^{2}-3mx+$()$= (x-\frac {3}{2}m)^{2};$
(4)$y^{2}+\frac {3}{5}y+$()$= (y+ $$)^{2}.$

(1)
考虑完全平方公式：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，
对于 $x^2 + 6x$，取 $a = x$，$2ab = 6x$，则 $b = 3$，
所以 $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$，
但题目中给出的是 $(x - \underline{\hspace{1em}})^2$，因此应写为 $x^2 + 6x + 9 = (x - (-3))^2$，
所以第一个空填 $9$，第二个空填 $-3$。
(2)
对于 $x^2 - 5x$，取 $a = x$，$2ab = -5x$，则 $b = -\frac{5}{2}$，
但我们需要的是完全平方的形式，所以应取 $b = \frac{5}{2}$（因为 $(- \frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$），
所以 $x^2 - 5x + \frac{25}{4} = (x - \frac{5}{2})^2$，
第二个空填 $\frac{5}{2}$。
(3)
对于 $x^2 - 3mx$，取 $a = x$，$2ab = -3mx$，则 $b = -\frac{3}{2}m$，
但我们需要的是 $(x - \frac{3}{2}m)^2$ 的形式，所以 $b$ 应为 $\frac{3}{2}m$ 的等价形式（考虑平方后的结果），
即 $x^2 - 3mx + \frac{9}{4}m^2 = (x - \frac{3}{2}m)^2$，
所以第一个空填 $\frac{9}{4}m^2$。
(4)
对于 $y^2 + \frac{3}{5}y$，取 $a = y$，$2ab = \frac{3}{5}y$，则 $b = \frac{3}{10}$，
所以 $y^2 + \frac{3}{5}y + \frac{9}{100} = (y + \frac{3}{10})^2$，
第一个空填 $\frac{9}{100}$，第二个空填 $\frac{3}{10}$。