【例题】如图,“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅,小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上. 小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30°,测得条幅端点B的俯角为45°. 小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45°,测得条幅端点B的俯角为30°. 若设楼层高度CD为3米,请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长.(结果精确到个位,参考数据$\sqrt{3}\approx1.732$)

【思路点拨】通过作垂线把问题转化为解直角三角形的题.
【解答】______
【学法点睛】弄清仰角、俯角和方位角的概念.
(1)如图①,$\alpha$是仰角,$\beta$是俯角. 由仰角、俯角为三角形的锐角构造直角三角形,再通过解直角三角形而达到解决问题的目的.

(2)如图②,除上面八个方向外还有：南偏西$x^{\circ}$、北偏西$x^{\circ}$、南偏东$x^{\circ}$、北偏东$x^{\circ}$等方位. 解题时可以添加辅助线(通常作三角形的高)转化为直角三角形.

过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，设两楼水平距离DE=CF=x米，AE=a米，BE=b米。
∵CD=3米，∴EF=CD=3米，CF=DE=x米。
在Rt△ADE中，∠ADE=30°，tan30°=AE/DE，即a/x=1/√3，∴a=x/√3。
在Rt△AFC中，∠ACF=45°，tan45°=AF/CF，AF=AE+EF=a+3，即(a+3)/x=1，∴a=x-3。
联立得x/√3=x-3，解得x=3√3/(√3-1)=3√3(√3+1)/2=(9+3√3)/2。
在Rt△BDE中，∠BDE=45°，tan45°=BE/DE，即b/x=1，∴b=x。
AB=AE+BE=a+b=(x-3)+x=2x-3=2*(9+3√3)/2 -3=6+3√3≈6+5.196=11.196≈11米。
答：条幅AB的长约为11米。

1. 如图①,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离AB是()
A.250 m
B.$250\sqrt{3}$ m
C.$\frac{500\sqrt{3}}{3}$ m
D.$250\sqrt{2}$ m

由题意知$\angle AOB = 30^{\circ}$，$OA = 500m$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB = OA\sin\angle AOB = 500×\sin30^{\circ}= 500×\frac{1}{2}= 250(m)$。
所以答案选A。

2. 如图②,某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB,已知观测点C到旗杆的距离(CE的长度)为8 m,测得旗杆顶的仰角$\angle ECA$为30°,旗杆底部的俯角$\angle ECB$为45°,那么,旗杆AB的高度是()

A.$(8\sqrt{2}+8\sqrt{3})$ m
B.$(8+8\sqrt{3})$ m
C.$(8\sqrt{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3})$ m
D.$(8+\frac{8\sqrt{3}}{3})$ m

在$Rt\bigtriangleup ACE$中，$\angle ECA = 30^{\circ}$，$CE = 8m$，
由$\tan\angle ECA = \frac{AE}{CE}$，
得$AE = CE × \tan\angle ECA = 8 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}(m)$。
在$Rt\bigtriangleup BCE$中，$\angle ECB = 45^{\circ}$，$CE = 8m$，
由$\tan\angle ECB = \frac{BE}{CE}$，
得$BE = CE × \tan\angle ECB = 8 × 1 = 8(m)$。
$\therefore AB = AE + BE = \frac{8\sqrt{3}}{3} + 8 = (8 + \frac{8\sqrt{3}}{3})(m)$。
故选D。