7. 如图,已知 P 是$△ ABC$三条角平分线的交点,$PD ⊥ AB$于点 D,若$PD=5$,$△ ABC$的周长为 20,则$△ ABC$的面积为______.

50

8. 如图，在$△ ABC$中，$BD$是$∠ ABC$的平分线，$DE ⊥ AB$于点$E$，$S_{△ ABC}=12.5$，$AB=6$，$BC=4$，则$DE$的长为______．

2.5

9. 如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$的中点,$DE ⊥ BC$交$∠ BAC$的平分线于点$E$,$EF ⊥ AB$交$AB$于点$F$,$EG ⊥ AC$交$AC$的延长线于点$G$,试求$BF$与$CG$的大小关系,并证明你的结论.

证明：连接$EB$、$EC。$
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，$EF\perp AB，$$EG\perp AC，$
所以$EF = EG。$ 因为$ED\perp BC，$$D$是$BC$的中点，所以$EB = EC。$ 在$Rt\triangle EFB$和$Rt\triangle EGC$中， $\begin{cases}EB = EC\\EF = EG\end{cases}，$
所以$Rt\triangle EFB\cong Rt\triangle EGC(HL)，$
所以$BF = CG。$

10. 如图，AD 是$△ ABC$的角平分线，$DF ⊥ AB$，垂足为 F，$DE = DG$，$△ ADG$和$△ AED$的面积分别为 50 和 39，求$△ EDF$的面积.

解：过点$D$作$DN\perp AC$于点$N，$并在$AC$上截取$AM = AE，$连接$DM。$
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle EAD=\angle MAD。$ 又因为$AD = AD，$$AE = AM，$
所以$\triangle AED\cong\triangle AMD(SAS)，$ 所以$DM = DE，$$S_{\triangle AMD}=S_{\triangle AED}=39，$
所以$S_{\triangle MDG}=S_{\triangle ADG}-S_{\triangle AMD}=50 - 39 = 11。$ 因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DF\perp AB，$$DN\perp AC，$
所以$DF = DN。$ 在$Rt\triangle EDF$和$Rt\triangle MDN$中， $\begin{cases}DE = DM\\DF = DN\end{cases}，$
所以$Rt\triangle EFD\cong Rt\triangle MND(HL)，$所以$S_{\triangle EFD}=S_{\triangle MND}。$ 同理可得$S_{\triangle EFD}=S_{\triangle GND}，$
所以$S_{\triangle MND}=S_{\triangle GND}=\frac{1}{2}S_{\triangle MDG}=\frac{1}{2}\times11 = 5.5。$

11. 研究三角形的角平分线：
(1)尺规作图:如图1,作∠B 的平分线,不写作法,只保留作图痕迹.
(2)如图 2,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P,若∠A=60°,则∠BPC 的度数是________.
(3)如图 3,作△ABC 外角∠MBC、∠NCB 的平分线交于点 Q,试探索∠Q、∠A 之间的数量关系.

$120^{\circ}$ ; (1) 解：如图所示：
(3) 解：$\angle Q = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A。$理由如下： 由题图3可知，$\angle MBC+\angle NCB=\angle ACB+\angle A+\angle ABC+\angle A=(\angle ACB+\angle A+\angle ABC)+\angle A = 180^{\circ}+\angle A。$ 因为$Q$是$\angle MBC$和$\angle NCB$的平分线的交点，所以$\angle QBC=\frac{1}{2}\angle MBC，$$\angle QCB=\frac{1}{2}\angle NCB，$ 所以$\angle QBC+\angle QCB=\frac{1}{2}\angle MBC+\frac{1}{2}\angle NCB=\frac{1}{2}(\angle MBC+\angle NCB)=\frac{1}{2}(180^{\circ}+\angle A)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A，$ 所以$\angle Q = 180^{\circ}-(\angle QBC+\angle QCB)=180^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle A)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A。$