12. 在平面直角坐标系中，抛物线$ y = ax^2 - 4ax - 1 $经过点$(2,7)$。若关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 - 4ax - 1 - t = 0 $（$ t $为实数）在$ \frac{1}{2} ＜ x ＜ 4 $的范围内有实数根，则$ t $的取值范围是______。

$-1＜t\leqslant7$

13. (2024·海门期末)已知抛物线$y=ax^2+bx+5$经过点$(1,4)$,$(2,7)$.
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）写出这个抛物线的对称轴和顶点坐标.

解:（1）将点$(1,4)，$$(2,7)$代入$y = ax^{2}+bx + 5，$得$\begin{cases}4=a + b + 5\\7 = 4a+2b + 5\end{cases}，$ 由$4=a + b + 5$可得$a + b=-1，$即$b=-1 - a，$ 将$b=-1 - a$代入$7 = 4a+2b + 5$中，$7 = 4a+2(-1 - a)+5，$ $7 = 4a-2 - 2a+5，$ $7 = 2a + 3，$ $2a=4，$解得$a = 2，$ 则$b=-1 - 2=-3，$ 所以$y = 2x^{2}-3x + 5。$ （2）因为$y = 2x^{2}-3x + 5=2\left(x-\dfrac{3}{4}\right)^{2}+\dfrac{31}{8}，$ 所以这个抛物线的对称轴为直线$x=\dfrac{3}{4}，$顶点坐标为$\left(\dfrac{3}{4},\dfrac{31}{8}\right)。$

14. 已知二次函数$y=(x-m)(x+m+4)$，其中$m$为常数.
（1）求证：不论$m$为何值，该二次函数的图象与$x$轴总有公共点；
（2）若$A(-1,a)$，$B(1,b)$是该二次函数图象上的两个点，请判断$a$，$b$的大小关系.

解:（1）因为$y=(x - m)(x + m + 4)=x^{2}+4x - m^{2}-4m，$ 在方程$x^{2}+4x - m^{2}-4m = 0$中，$\Delta = 4^{2}-4\times1\times(-m^{2}-4m)=4m^{2}+16m + 16=4(m + 2)^{2}\geqslant0，$ 所以方程$x^{2}+4x - m^{2}-4m = 0$有两个实数根， 所以不论$m$为何值，该二次函数的图象与$x$轴总有公共点。 （2）因为$y=(x - m)(x + m + 4)=x^{2}+4x - m^{2}-4m，$ 该函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{4}{2\times1}=-2，$且二次项系数$1＞0，$开口向上， 点$A(-1,a)$到对称轴$x = - 2$的距离为$\vert-1-(-2)\vert = 1，$ 点$B(1,b)$到对称轴$x = - 2$的距离为$\vert1-(-2)\vert = 3，$ 因为$1＜3，$所以$b＞a。$

15. (2023·海安期中)商场将进价为每件40元的某商品以每件50元的价格售出，平均每月能售出700件.调查表明:每件商品的售价在50元至100元范围内，售价每上涨1元，其销售量就将减少10件，设商场决定每件商品的售价为$x(50＜x＜100)$元.
(1) 该商场平均每月可售出________件商品(用含$x$的代数式表示).
(2) 当每件商品的售价定为多少元时，每月销售利润最大？
(3) 该商场决定每销售一件商品就捐赠$a(a≥1)$元利润给希望工程，通过销售记录发现，当每件商品的售价大于85元时，扣除捐款后每天的利润随$x$的增大而减小.求$a$的取值范围.

$(-10x + 1200)$ ; 解:（2）设每月销售利润为$y$元， 由题意得$y=(x - 40)(-10x + 1200)=-10x^{2}+1600x - 48000=-10(x - 80)^{2}+16000，$ 因为$-10＜0，$$50＜x＜100，$ 所以当$x = 80$时，$y$有最大值，最大值为$16000，$ 所以当每件商品的售价定为$80$元时，每月销售利润最大。 （3）根据题意，得$y=(x - 40 - a)(-10x + 1200)=-10x^{2}+(1600 + 10a)x-48000-1200a，$ 对应二次函数图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1600 + 10a}{2\times(-10)}=80+\dfrac{a}{2}，$ 因为$-10＜0，$所以当$x＞80+\dfrac{a}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小， 因为每件商品的售价大于$85$元时，扣除捐款后每天的利润随$x$的增大而减小， 所以$80+\dfrac{a}{2}\leqslant85，$ $\dfrac{a}{2}\leqslant5，$解得$a\leqslant10，$ 又因为$a\geqslant1，$所以$1\leqslant a\leqslant10。$