一、选择题
1. 当 $4q ＞ p^{2}$ 时，方程 $x^{2}-px + q = 0$ 的根的情况是().
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定有没有实数根

1. C

对于方程 $x^{2}-px + q = 0$，判别式$\Delta = p^{2}-4q$。已知$4q＞p^{2}$，则$p^{2}-4q＜0$，即$\Delta＜0$，所以方程没有实数根。
C

2. 若 $x_{1}$，$x_{2}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a ≠ 0)$ 的两根，则下列结果正确的是().

A.$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$
B.$x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{c}{a}$
C.$x_{1}+x_{2}=\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$
D.$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{c}{a}$

2. A

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。解题时，首先要回忆韦达定理的核心内容：对于标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若它的两个根为$x_1$和$x_2$，那么两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。接下来只需将该结论与选项逐一对比，即可筛选出正确答案。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根$x_1$、$x_2$，有：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
将上述结论与选项对比，只有选项A完全符合，其余选项的系数符号均错误。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题是对韦达定理的直接考查，属于基础题型，无需复杂计算，只要牢记韦达定理的公式，就能快速选出正确答案，是检验学生基础知识点掌握情况的典型题目。
【难度系数】
0.9

3. 用公式法解方程 $3x^{2}+4 = 12x$，下列代入公式正确的是().

A.$x=\frac{12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{12}$
 B.$x=\frac{-12\pm\sqrt{12^{2}-3×4}}{2}$

C.$x=\frac{12\pm\sqrt{12^{2}+3×4}}{2}$
D.$x=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$

3. D

解：将方程$3x^{2}+4 = 12x$化为一般形式：$3x^{2}-12x + 4=0$，其中$a = 3$，$b=-12$，$c = 4$。
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^{2}-4×3×4}}{2×3}$
D

二、填空题
4. 一元二次方程 $y^{2}-2 = -4y$ 的负根是.

4. $-2-\sqrt{6}$

【分析】
要解决这个问题，首先需将一元二次方程整理为标准形式，再通过合适的方法求解方程的根，最后筛选出负根。具体思路：
1. 移项把原方程转化为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，明确各项系数；
2. 选用配方法或求根公式法计算方程的两个根；
3. 根据根的正负性，确定符合要求的负根。
【解析】
1. 整理方程为标准形式
原方程$y^2 - 2 = -4y$移项，可得：
$y^2 + 4y - 2 = 0$
2. 用配方法求解方程
对$y^2 + 4y - 2 = 0$进行配方：
$y^2 + 4y = 2$
两边同时加上一次项系数一半的平方（即$4$）：
$y^2 + 4y + 4 = 2 + 4$
整理得完全平方形式：
$(y + 2)^2 = 6$
3. 开方求根
对等式两边开平方：
$y + 2 = ±\sqrt{6}$
解得方程的两个根：
$y_1 = -2 + \sqrt{6}$，$y_2 = -2 - \sqrt{6}$
4. 筛选负根
因为$\sqrt{6}≈2.45$，所以$-2 + \sqrt{6}≈0.45＞0$（正根），$-2 - \sqrt{6}＜0$（负根），即方程的负根为$-2 - \sqrt{6}$。
【答案】
$-2-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程的解法，根的正负判断
【点评】
本题考查一元二次方程的求解与根的筛选，解题关键是先将方程化为标准形式，再选择合适方法求解，计算时需注意准确性，避免开方、化简过程出错，同时要仔细区分正负根。
【难度系数】
0.6

5. 已知 $a$ 是方程 $x^{2}-x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $a - a^{2}$ 的值为.

5. $-1$

解：因为$a$是方程$x^{2}-x - 1 = 0$的一个根，所以$a^{2}-a - 1 = 0$，移项可得$a^{2}-a=1$，两边同时乘以$-1$，得$a - a^{2}=-1$。
$-1$

6. 关于 $x$ 的两个方程 $x^{2}-x - 2 = 0$ 与 $\frac{1}{x + 1}=\frac{2}{x + a}$ 有一个根相同，则 $a$ 的值为.

6. 4

解：解方程$x^{2}-x - 2 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-1$。
对于方程$\frac{1}{x + 1}=\frac{2}{x + a}$，分母不能为$0$，即$x≠ -1$且$x≠ -a$，所以相同的根只能是$x = 2$。
将$x = 2$代入$\frac{1}{x + 1}=\frac{2}{x + a}$，得$\frac{1}{2 + 1}=\frac{2}{2 + a}$，即$\frac{1}{3}=\frac{2}{2 + a}$，交叉相乘得$2 + a = 6$，解得$a = 4$。
4

三、解答题
7. 已知 $x = -2$ 是关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+mx - 4 = 0$ 的一个根，求 $m$ 的值及方程的另一根.

7. $m=2$，另一根为 1

把$x = -2$代入方程$2x^{2}+mx - 4 = 0$，得$2×(-2)^{2}+m×(-2)-4=0$，即$2×4 - 2m - 4 = 0$，$8 - 2m - 4 = 0$，$4 - 2m = 0$，解得$m = 2$。
原方程为$2x^{2}+2x - 4 = 0$，化简为$x^{2}+x - 2 = 0$，因式分解得$(x + 2)(x - 1)=0$，所以方程的另一根为$x = 1$。
$m=2$，另一根为$1$