典型例题
如图 21.3 - 1，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，$DF⊥ BC$，垂足为$F$，点$G$在$DE$的延长线上，$DG = FC$。

(1) 求证：四边形$DFCG$是矩形；
(2) 若$∠ B = 45°$，$DF = 3$，$DG = 5$，求$BC$和$AC$的长。
【思路分析】(1) 证明$DE$是$△ ABC$的中位线，得$DE// BC$，再证明四边形$DFCG$是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
(2) 证明$△ BDF$是等腰直角三角形，得$BF = DF = 3$，则$BC = BF + FC = 8$，再由三角形的中位线定理求出$DE = 4$，然后由矩形的性质得$CG = DF = 3$，$∠ G = 90°$，则$EG = DG - DE = 1$，进而由勾股定理求出$CE$的长，即可得出结果。
【解答】(1)$\because D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线 。$\therefore DE// BC$。$\because DG = FC$，$\therefore$ 四边形$DFCG$是平行四边形 。又$\because DF⊥ BC$，$\therefore ∠ DFC = 90°$ 。$\therefore □ DFCG$是矩形 。
(2)$\because DF⊥ BC$，$\therefore ∠ DFB = 90°$ 。$\because ∠ B = 45°$，$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形 。$\therefore BF = DF = 3$ 。$\because DG = FC = 5$，$\therefore BC = BF + FC = 3 + 5 = 8$ 。
由(1)可知，$DE$是$△ ABC$的中位线，四边形$DFCG$是矩形，$\therefore DE = \dfrac{1}{2}BC = 4$，$CG = FD = 3$，$∠ G = 90°$ 。$\therefore EG = DG - DE = 5 - 4 = 1$ 。$\therefore CE = \sqrt{CG^{2} + EG^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$ 。$\because E$为$AC$的中点，$\therefore AC = 2CE = 2\sqrt{10}$ 。

(1) 证明：
∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE// BC$。
∵ $DG = FC$，
∴ 四边形$DFCG$是平行四边形。
又∵ $DF⊥ BC$，
∴ $∠ DFC = 90°$，
∴ $\mathrm{□}DFCG$是矩形。
(2) 解：
∵ $DF⊥ BC$，
∴ $∠ DFB = 90°$。
∵ $∠ B = 45°$，
∴ $△ BDF$是等腰直角三角形，
∴ $BF = DF = 3$。
∵ $DG = FC = 5$，
∴ $BC = BF + FC = 3 + 5 = 8$。
由(1)知，$DE$是$△ ABC$的中位线，四边形$DFCG$是矩形，
∴ $DE = \dfrac{1}{2}BC = 4$，$CG = FD = 3$，$∠ G = 90°$，
∴ $EG = DG - DE = 5 - 4 = 1$，
∴ $CE = \sqrt{CG^{2} + EG^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$。
∵ E为AC的中点，
∴ $AC = 2CE = 2\sqrt{10}$。