登录
8. 在可以不同年的条件下，下列说法正确的是(
A.400 个人中至少有 2 个人生日相同
B.300 个人中至少有 2 个人生日相同
C.300 个人中一定没有 2 个人生日相同
D.300 个人中一定有 2 个人生日相同
A
)A.400 个人中至少有 2 个人生日相同
B.300 个人中至少有 2 个人生日相同
C.300 个人中一定没有 2 个人生日相同
D.300 个人中一定有 2 个人生日相同
答案
8.A
9. 对于实数 $x$，$y$，定义运算“$*$”，规定 $x * y = ax^{2} + by$，其中 $a$，$b$ 为常数，如 $1 * 2 = 5$，$2 * 1 = 6$，则 $2 * 3 =$(
A.8
B.4
C.3
D.10
D
)A.8
B.4
C.3
D.10
答案
9.D
解析
根据题意，得
$\begin{cases}a · 1^2 + b · 2 = 5 \\a · 2^2 + b · 1 = 6\end{cases}$
即
$\begin{cases}a + 2b = 5 \\4a + b = 6\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = 1 \\b = 2\end{cases}$
所以 $x * y = x^2 + 2y$，则 $2 * 3 = 2^2 + 2 × 3 = 4 + 6 = 10$
10
$\begin{cases}a · 1^2 + b · 2 = 5 \\a · 2^2 + b · 1 = 6\end{cases}$
即
$\begin{cases}a + 2b = 5 \\4a + b = 6\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = 1 \\b = 2\end{cases}$
所以 $x * y = x^2 + 2y$，则 $2 * 3 = 2^2 + 2 × 3 = 4 + 6 = 10$
10
10. 如图，给出下列条件：①$∠ B + ∠ BCD = 180^{\circ}$；②$∠ 1 = ∠ 2$；③$∠ 3 = ∠ 4$；④$∠ B = ∠ 5$。其中，能判定 $AB// CD$ 的条件有(
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
)A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
10.C
解析
解：①
∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）；
②
∵∠1=∠2，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），不能判定AB//CD；
③
∵∠3=∠4，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）；
④
∵∠B=∠5，
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
能判定AB//CD的条件有①③④，共3个。
C
∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行）；
②
∵∠1=∠2，
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），不能判定AB//CD；
③
∵∠3=∠4，
∴AB//CD（内错角相等，两直线平行）；
④
∵∠B=∠5，
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
能判定AB//CD的条件有①③④，共3个。
C
11. 若方程组 $\begin{cases}2x - y = 6,\\x + 3y = 10\end{cases}$ 的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为 ______ 。
答案
11.10
解析
解方程组$\begin{cases}2x - y = 6 \\ x + 3y = 10\end{cases}$，
由$2x - y = 6$得$y = 2x - 6$，
代入$x + 3y = 10$，得$x + 3(2x - 6) = 10$，
$x + 6x - 18 = 10$，$7x = 28$，$x = 4$，
则$y = 2×4 - 6 = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 2\end{cases}$，即等腰三角形两边长为4和2。
情况一：腰长为4，底边长为2，
因为$4 + 2 ＞ 4$，$4 + 4 ＞ 2$，符合三角形三边关系，
周长为$4 + 4 + 2 = 10$。
情况二：腰长为2，底边长为4，
因为$2 + 2 = 4$，不符合三角形三边关系，舍去。
综上，等腰三角形的周长为10。
10
由$2x - y = 6$得$y = 2x - 6$，
代入$x + 3y = 10$，得$x + 3(2x - 6) = 10$，
$x + 6x - 18 = 10$，$7x = 28$，$x = 4$，
则$y = 2×4 - 6 = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 4 \\ y = 2\end{cases}$，即等腰三角形两边长为4和2。
情况一：腰长为4，底边长为2，
因为$4 + 2 ＞ 4$，$4 + 4 ＞ 2$，符合三角形三边关系，
周长为$4 + 4 + 2 = 10$。
情况二：腰长为2，底边长为4，
因为$2 + 2 = 4$，不符合三角形三边关系，舍去。
综上，等腰三角形的周长为10。
10
12. 一个不透明的袋子中装有 4 个只有颜色不同的小球，其中 1 个白球、3 个红球。在袋子中再放入 $m$ 个白球和 $m$ 个红球($m ＞ 1$)，搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出一个小球是白球的概率为 $\dfrac{2}{5}$，则 $m$ 的值为
3
。答案
12.3
解析
袋子中原有1个白球、3个红球，放入$m$个白球和$m$个红球后，白球总数为$(1 + m)$个，红球总数为$(3 + m)$个，球的总个数为$1 + 3 + m + m=4 + 2m$个。
由摸出白球的概率为$\dfrac{2}{5}$，可得$\dfrac{1 + m}{4 + 2m}=\dfrac{2}{5}$。
交叉相乘得：$5(1 + m)=2(4 + 2m)$
去括号：$5 + 5m=8 + 4m$
移项：$5m - 4m=8 - 5$
解得：$m = 3$
经检验，$m = 3$是原方程的解，且$m＞1$，符合题意。
$3$
由摸出白球的概率为$\dfrac{2}{5}$，可得$\dfrac{1 + m}{4 + 2m}=\dfrac{2}{5}$。
交叉相乘得：$5(1 + m)=2(4 + 2m)$
去括号：$5 + 5m=8 + 4m$
移项：$5m - 4m=8 - 5$
解得：$m = 3$
经检验，$m = 3$是原方程的解，且$m＞1$，符合题意。
$3$
13. 甲、乙两人分别以一定的速度练习跑步。如果乙先跑 16 m，那么甲 8 s 可追上乙；如果乙先跑 2 s，那么甲 4 s 可追上乙。求甲、乙两人的速度。设甲每秒跑 $x$ m，乙每秒跑 $y$ m，列方程组得。
答案
13.$\{\begin{array}{l} 8y+16=8x,\\ (2+4)y=4x\end{array} $
14. 如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条长方形纸带折叠了两次，折痕分别为 $AB$，$CD$。若 $CD// BF$，且 $CE⊥ DF$，则 $∠ ABF$ 的大小为
$67.5^{\circ }$
。答案
14.$67.5^{\circ }$
15. 如图，将一副三角板的直角顶点 $C$ 叠放在一起，其中 $∠ A = 60^{\circ}$，$∠ D = 30^{\circ}$，$∠ B = ∠ E = 45^{\circ}$。若 $0 ＜ ∠ ACE ＜ 180^{\circ}$ 且点 $E$ 在直线 $AC$ 的上方，则 $∠ ACE$ 的度数为
$120^{\circ }$或$30^{\circ }$
时，三角板 $BCE$ 的直角边与边 $AD$ 平行。答案
15.$120^{\circ }$或$30^{\circ }$
三、解答题（共 60 分）
16. （8 分）解方程组：
（1）$\begin{cases}3x - 4y = 4,\\x + 4y = -12\end{cases}$
（2）$\begin{cases}2x - 4(y - \dfrac{1}{4}) = 3,\\\dfrac{x + 3}{5} - \dfrac{2y + 3}{3} = \dfrac{1}{15}\end{cases}$
16. （8 分）解方程组：
（1）$\begin{cases}3x - 4y = 4,\\x + 4y = -12\end{cases}$
（2）$\begin{cases}2x - 4(y - \dfrac{1}{4}) = 3,\\\dfrac{x + 3}{5} - \dfrac{2y + 3}{3} = \dfrac{1}{15}\end{cases}$
答案
16.(1)$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=-\frac {5}{2}\end{array} $(2)$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=-1\end{array} $
解析
（1）解：$\begin{cases}3x - 4y = 4,①\\x + 4y = -12,②\end{cases}$
①+②得：$4x=-8$，解得$x=-2$。
将$x=-2$代入②得：$-2 + 4y=-12$，$4y=-10$，解得$y=-\dfrac{5}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-2,\\y=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$
（2）解：原方程组整理得$\begin{cases}2x - 4y = 2,③\\3x - 10y = 7,④\end{cases}$
③×3得：$6x - 12y = 6,⑤$
④×2得：$6x - 20y = 14,⑥$
⑤-⑥得：$8y=-8$，解得$y=-1$。
将$y=-1$代入③得：$2x - 4×(-1)=2$，$2x + 4=2$，$2x=-2$，解得$x=-1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=-1\end{cases}$
①+②得：$4x=-8$，解得$x=-2$。
将$x=-2$代入②得：$-2 + 4y=-12$，$4y=-10$，解得$y=-\dfrac{5}{2}$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-2,\\y=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$
（2）解：原方程组整理得$\begin{cases}2x - 4y = 2,③\\3x - 10y = 7,④\end{cases}$
③×3得：$6x - 12y = 6,⑤$
④×2得：$6x - 20y = 14,⑥$
⑤-⑥得：$8y=-8$，解得$y=-1$。
将$y=-1$代入③得：$2x - 4×(-1)=2$，$2x + 4=2$，$2x=-2$，解得$x=-1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=-1\end{cases}$
