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9.计算$(\dfrac{1}{a}+1)÷(\dfrac{1}{a^2}-1)· a$的结果是（
A.$\dfrac{a^2}{a-1}$
B.$\dfrac{a^2}{1-a}$
C.$\dfrac{1}{a-1}$
D.$\dfrac{1}{1-a}$
B
）.A.$\dfrac{a^2}{a-1}$
B.$\dfrac{a^2}{1-a}$
C.$\dfrac{1}{a-1}$
D.$\dfrac{1}{1-a}$
答案
9.B
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式混合运算的顺序：先计算括号内的加减法，再将除法转化为乘法，按照从左到右的顺序计算，过程中对多项式因式分解后约分即可得到结果，计算时需注意符号的处理。
【解析】
解：先计算括号内的通分运算：
$\dfrac{1}{a}+1=\dfrac{1+a}{a}$，$\dfrac{1}{a^2}-1=\dfrac{1-a^2}{a^2}$
将除法转化为乘法，同时对$1-a^2$用平方差公式因式分解为$(1-a)(1+a)$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1+a}{a}÷\dfrac{1-a^2}{a^2}· a\\&=\dfrac{1+a}{a}×\dfrac{a^2}{(1-a)(1+a)}× a\\&=\dfrac{\cancel{(1+a)}}{\cancel{a}}×\dfrac{a^\cancel{2}}{(1-a)\cancel{(1+a)}}× a\\&=\dfrac{a^2}{1-a}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，解题时要注意运算顺序，先算括号内的加减运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解后约分即可得到结果，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.7
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循分式混合运算的顺序：先计算括号内的加减法，再将除法转化为乘法，按照从左到右的顺序计算，过程中对多项式因式分解后约分即可得到结果，计算时需注意符号的处理。
【解析】
解：先计算括号内的通分运算：
$\dfrac{1}{a}+1=\dfrac{1+a}{a}$，$\dfrac{1}{a^2}-1=\dfrac{1-a^2}{a^2}$
将除法转化为乘法，同时对$1-a^2$用平方差公式因式分解为$(1-a)(1+a)$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{1+a}{a}÷\dfrac{1-a^2}{a^2}· a\\&=\dfrac{1+a}{a}×\dfrac{a^2}{(1-a)(1+a)}× a\\&=\dfrac{\cancel{(1+a)}}{\cancel{a}}×\dfrac{a^\cancel{2}}{(1-a)\cancel{(1+a)}}× a\\&=\dfrac{a^2}{1-a}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分
【点评】
本题考查分式的乘除混合运算，解题时要注意运算顺序，先算括号内的加减运算，再将除法转化为乘法，通过因式分解后约分即可得到结果，计算过程中要注意符号的处理，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.7
10.计算$(\dfrac{2-x}{x})^2 ÷ \dfrac{x^2 -4}{x^2 +2x}$的结果是(
A.$\dfrac{x-2}{x}$
B.$\dfrac{x+2}{x}$
C.$x-2$
D.$x+2$
A
).A.$\dfrac{x-2}{x}$
B.$\dfrac{x+2}{x}$
C.$x-2$
D.$x+2$
答案
10.A
解析
【分析】
解这道分式运算题需遵循分式混合运算的思路：先计算乘方，再把除法转化为乘法运算，随后对分子、分母中的多项式进行因式分解，最后约去公因式得到最简结果。解题过程中要注意平方项的符号特性：$(2-x)^2=(x-2)^2$，避免符号出错。
【解析】
步骤1：先计算乘方，将除法转换为乘法
原式$=\dfrac{(2-x)^2}{x^2} × \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}$
步骤2：对分子、分母的多项式因式分解
由平方的性质得$(2-x)^2=(x-2)^2$，提公因式得$x^2+2x=x(x+2)$，由平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入原式得：
原式$=\dfrac{(x-2)^2}{x^2} × \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
步骤3：约去分子分母的公因式
分子分母的公因式为$x$、$(x+2)$、$(x-2)$（隐含$x≠0且x≠\pm2$，保证分式有意义），约分后得：
原式$=\dfrac{x-2}{x}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式乘除的运算规则，正确对多项式因式分解是准确约分的前提，计算时要注意平方项的符号转换，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解这道分式运算题需遵循分式混合运算的思路：先计算乘方，再把除法转化为乘法运算，随后对分子、分母中的多项式进行因式分解，最后约去公因式得到最简结果。解题过程中要注意平方项的符号特性：$(2-x)^2=(x-2)^2$，避免符号出错。
【解析】
步骤1：先计算乘方，将除法转换为乘法
原式$=\dfrac{(2-x)^2}{x^2} × \dfrac{x^2 + 2x}{x^2 - 4}$
步骤2：对分子、分母的多项式因式分解
由平方的性质得$(2-x)^2=(x-2)^2$，提公因式得$x^2+2x=x(x+2)$，由平方差公式得$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入原式得：
原式$=\dfrac{(x-2)^2}{x^2} × \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}$
步骤3：约去分子分母的公因式
分子分母的公因式为$x$、$(x+2)$、$(x-2)$（隐含$x≠0且x≠\pm2$，保证分式有意义），约分后得：
原式$=\dfrac{x-2}{x}$
因此选A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心考查分式乘除的运算规则，正确对多项式因式分解是准确约分的前提，计算时要注意平方项的符号转换，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11.若$a^2 + 2a -1 =0$，则式子$(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a-2}$的值是
1
。答案
11.1
解析
【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题时无需直接求出a的取值，可先对所求代数式进行化简：先对括号内的分式通分，再结合因式分解对分子变形，之后通过约分化为最简形式，最后结合已知条件整体代入计算即可，能大幅简化运算量。
【解析】
先化简代数式$(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a-2}$：
1. 对括号内通分：
$a - \frac{4}{a} = \frac{a^2 - 4}{a}$
2. 利用平方差公式对分子因式分解：
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$，因此括号内可改写为$\frac{(a-2)(a+2)}{a}$
3. 代入原式计算乘法，约分：
$\frac{(a-2)(a+2)}{a} · \frac{a^2}{a-2} = a(a+2) = a^2 + 2a$
4. 结合已知条件代入：
已知$a^2 + 2a -1 =0$，可得$a^2 + 2a =1$，因此原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算的综合应用，核心解题技巧是先化简再整体代入，可规避直接求解a的繁琐计算，熟练掌握分式通分、约分以及因式分解的方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
本题属于分式化简求值类题目，解题时无需直接求出a的取值，可先对所求代数式进行化简：先对括号内的分式通分，再结合因式分解对分子变形，之后通过约分化为最简形式，最后结合已知条件整体代入计算即可，能大幅简化运算量。
【解析】
先化简代数式$(a - \frac{4}{a}) · \frac{a^2}{a-2}$：
1. 对括号内通分：
$a - \frac{4}{a} = \frac{a^2 - 4}{a}$
2. 利用平方差公式对分子因式分解：
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$，因此括号内可改写为$\frac{(a-2)(a+2)}{a}$
3. 代入原式计算乘法，约分：
$\frac{(a-2)(a+2)}{a} · \frac{a^2}{a-2} = a(a+2) = a^2 + 2a$
4. 结合已知条件代入：
已知$a^2 + 2a -1 =0$，可得$a^2 + 2a =1$，因此原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式运算的综合应用，核心解题技巧是先化简再整体代入，可规避直接求解a的繁琐计算，熟练掌握分式通分、约分以及因式分解的方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.7
12.甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)\ \mathrm{m}$，乙工程队每天修$(a - 2)^2\ \mathrm{m}$（其中$a＞2$），则甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
答案
12.甲工程队修 900 m 所用时间为$\frac{900}{a^2-4}$天，乙工程队修 600 m 所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天，
由题意可得：$\frac{900}{a^2-4}÷\frac{600}{(a-2)^2}=\frac{900}{(a+2)(a-2)}·\frac{(a-2)^2}{600}=\frac{3a-6}{2a+4}$，
∴甲工程队修 900 m 所用时间是乙工程队修 600 m 所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
由题意可得：$\frac{900}{a^2-4}÷\frac{600}{(a-2)^2}=\frac{900}{(a+2)(a-2)}·\frac{(a-2)^2}{600}=\frac{3a-6}{2a+4}$，
∴甲工程队修 900 m 所用时间是乙工程队修 600 m 所用时间的$\frac{3a-6}{2a+4}$倍。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题步骤如下：第一步，根据上述公式分别求出甲工程队修900m的时间、乙工程队修600m的时间；第二步，求甲所用时间是乙的多少倍，用甲的时间除以乙的时间即可；第三步，进行分式除法运算时，先将除法转化为乘法，再对分子分母中的多项式因式分解，最后约分化简得到结果。
【解析】
首先计算甲工程队修900m所用的时间：
根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得甲的时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天；
再计算乙工程队修600m所用的时间：
同理可得乙的时间为$\frac{600}{(a - 2)^2}$天；
求甲所用时间是乙的多少倍，即计算两个时间的商：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^2} &= \frac{900}{a^2 - 4} · \frac{(a - 2)^2}{600} \\&= \frac{900}{(a + 2)(a - 2)} · \frac{(a - 2)^2}{600} \\&= \frac{3(a - 2)}{2(a + 2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3a - 6}{2a + 4}$倍
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式运算在实际工程问题中的应用，解题核心是准确利用工程问题的公式表示出工作时间，再按照分式乘除的运算法则计算，运算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。解题步骤如下：第一步，根据上述公式分别求出甲工程队修900m的时间、乙工程队修600m的时间；第二步，求甲所用时间是乙的多少倍，用甲的时间除以乙的时间即可；第三步，进行分式除法运算时，先将除法转化为乘法，再对分子分母中的多项式因式分解，最后约分化简得到结果。
【解析】
首先计算甲工程队修900m所用的时间：
根据工作时间=工作总量÷工作效率，可得甲的时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天；
再计算乙工程队修600m所用的时间：
同理可得乙的时间为$\frac{600}{(a - 2)^2}$天；
求甲所用时间是乙的多少倍，即计算两个时间的商：
$\begin{aligned}\frac{900}{a^2 - 4} ÷ \frac{600}{(a - 2)^2} &= \frac{900}{a^2 - 4} · \frac{(a - 2)^2}{600} \\&= \frac{900}{(a + 2)(a - 2)} · \frac{(a - 2)^2}{600} \\&= \frac{3(a - 2)}{2(a + 2)} \\&= \frac{3a - 6}{2a + 4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3a - 6}{2a + 4}$倍
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、工程问题数量关系
【点评】
本题是分式运算在实际工程问题中的应用，解题核心是准确利用工程问题的公式表示出工作时间，再按照分式乘除的运算法则计算，运算时先对多项式因式分解再约分，可有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
13.如果一个分式的平方等于$\frac{9}{16y^2}$，那么原分式可能是什么？请写出所有可能的分式。
答案
13.$±\frac{3}{4y}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用平方运算的逆运算（开平方）来思考：已知一个数的平方等于某个非负数，那么这个数就是该非负数的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。因此我们只需要对给出的$\frac{9}{16y^2}$开平方，分别计算分子、分母的算术平方根，再添加正负号，同时保证得到的结果是有意义的分式即可。
【解析】
设原分式为$A$，根据题意可得：
$A^2=\frac{9}{16y^2}$
由分式有意义的条件可知$y≠0$，因此$\frac{9}{16y^2}＞0$，$A$是$\frac{9}{16y^2}$的平方根，即：
$A=\pm\sqrt{\frac{9}{16y^2}}$
对根号内的分式分别开方计算：
$\sqrt{\frac{9}{16y^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16y^2}}=\frac{3}{4|y|}$
结合前置的正负号可得$\pm\frac{3}{4|y|}$等价于$\pm\frac{3}{4y}$（正负号已包含$y$的符号对结果的影响，且$y≠0$时分式有意义）。
因此原分式可能为$\frac{3}{4y}$或$-\frac{3}{4y}$。
【答案】
$\pm\frac{3}{4y}$
【知识点】
平方根的性质；分式的乘方；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时容易漏写负的分式导致丢分，需要牢记正数的平方根有两个且互为相反数，同时要确保最终所得分式的分母不为0。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以利用平方运算的逆运算（开平方）来思考：已知一个数的平方等于某个非负数，那么这个数就是该非负数的平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数。因此我们只需要对给出的$\frac{9}{16y^2}$开平方，分别计算分子、分母的算术平方根，再添加正负号，同时保证得到的结果是有意义的分式即可。
【解析】
设原分式为$A$，根据题意可得：
$A^2=\frac{9}{16y^2}$
由分式有意义的条件可知$y≠0$，因此$\frac{9}{16y^2}＞0$，$A$是$\frac{9}{16y^2}$的平方根，即：
$A=\pm\sqrt{\frac{9}{16y^2}}$
对根号内的分式分别开方计算：
$\sqrt{\frac{9}{16y^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16y^2}}=\frac{3}{4|y|}$
结合前置的正负号可得$\pm\frac{3}{4|y|}$等价于$\pm\frac{3}{4y}$（正负号已包含$y$的符号对结果的影响，且$y≠0$时分式有意义）。
因此原分式可能为$\frac{3}{4y}$或$-\frac{3}{4y}$。
【答案】
$\pm\frac{3}{4y}$
【知识点】
平方根的性质；分式的乘方；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时容易漏写负的分式导致丢分，需要牢记正数的平方根有两个且互为相反数，同时要确保最终所得分式的分母不为0。
【难度系数】
0.7
14.如图,甲图中阴影部分面积为$S_1$,乙图中阴影部分面积为$S_2$,设$y=\frac{S_1}{S_2}(a＞2b＞0)$,则(
A.$y＞2$
B.$1＜y＜2$
C.$\frac{2}{3}＜y＜1$
D.$0＜y＜\frac{2}{3}$
D
).A.$y＞2$
B.$1＜y＜2$
C.$\frac{2}{3}＜y＜1$
D.$0＜y＜\frac{2}{3}$
答案
14.D
解析
【分析】
解题时首先需要分别计算甲、乙两图的阴影面积$S_1$和$S_2$，再代入$y=\frac{S_1}{S_2}$化简表达式，最后结合已知条件$a＞2b＞0$推导$y$的取值范围。第一步先观察甲图阴影由两个等面积的矩形组成，分别计算面积相加得$S_1$；第二步乙图阴影为大正方形挖去小正方形，用平方差公式计算$S_2$；第三步化简分式后，利用$a$和$b$的大小关系放缩得到$y$的范围。
【解析】
1. 计算$S_1$：
甲图中上方阴影矩形的长为$a-b$，宽为$b$，面积为$b(a-b)$；下方阴影矩形的宽为$b$，高为$a-b$，面积为$b(a-b)$。
因此$S_1 = b(a-b) + b(a-b) = 2b(a-b)$。
2. 计算$S_2$：
乙图中阴影面积等于边长为$a$的正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，由平方差公式得：
$S_2 = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
3. 化简$y$并求取值范围：
$y = \frac{S_1}{S_2} = \frac{2b(a-b)}{(a+b)(a-b)}$，由于$a＞2b＞0$，故$a-b ≠ 0$，约分得$y = \frac{2b}{a+b}$。
由$a＞2b$可得$a+b ＞ 2b + b = 3b$，且$a$、$b$均为正数，因此$\frac{2b}{a+b} ＜ \frac{2b}{3b} = \frac{2}{3}$，同时$\frac{2b}{a+b} ＞ 0$，即$0 ＜ y ＜ \frac{2}{3}$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
面积计算，分式化简，平方差公式
【点评】
本题结合几何图形考查了分式运算和代数式取值范围的判断，解题关键是准确计算阴影部分面积，再结合已知条件对分式进行合理放缩，整体逻辑清晰，需要注意约分时要确认分母不为0。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要分别计算甲、乙两图的阴影面积$S_1$和$S_2$，再代入$y=\frac{S_1}{S_2}$化简表达式，最后结合已知条件$a＞2b＞0$推导$y$的取值范围。第一步先观察甲图阴影由两个等面积的矩形组成，分别计算面积相加得$S_1$；第二步乙图阴影为大正方形挖去小正方形，用平方差公式计算$S_2$；第三步化简分式后，利用$a$和$b$的大小关系放缩得到$y$的范围。
【解析】
1. 计算$S_1$：
甲图中上方阴影矩形的长为$a-b$，宽为$b$，面积为$b(a-b)$；下方阴影矩形的宽为$b$，高为$a-b$，面积为$b(a-b)$。
因此$S_1 = b(a-b) + b(a-b) = 2b(a-b)$。
2. 计算$S_2$：
乙图中阴影面积等于边长为$a$的正方形面积减去边长为$b$的正方形面积，由平方差公式得：
$S_2 = a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
3. 化简$y$并求取值范围：
$y = \frac{S_1}{S_2} = \frac{2b(a-b)}{(a+b)(a-b)}$，由于$a＞2b＞0$，故$a-b ≠ 0$，约分得$y = \frac{2b}{a+b}$。
由$a＞2b$可得$a+b ＞ 2b + b = 3b$，且$a$、$b$均为正数，因此$\frac{2b}{a+b} ＜ \frac{2b}{3b} = \frac{2}{3}$，同时$\frac{2b}{a+b} ＞ 0$，即$0 ＜ y ＜ \frac{2}{3}$。
综上答案选D。
【答案】
D
【知识点】
面积计算，分式化简，平方差公式
【点评】
本题结合几何图形考查了分式运算和代数式取值范围的判断，解题关键是准确计算阴影部分面积，再结合已知条件对分式进行合理放缩，整体逻辑清晰，需要注意约分时要确认分母不为0。
【难度系数】
0.7
