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8.(2025·苏州吴江区期中)如图，A,B为$\odot O$上两点，$∠ AOB=90°$，C为$\odot O$上一动点(不与点A,B重合)，D为AC的中点.若$\odot O$的半径为2，则BD的最大值为 (
A.$1+\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$2\sqrt{2}$
A
)A.$1+\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$3$
D.$2\sqrt{2}$
答案
8.A
解析
【分析】
解题时首先需要确定动点D的运动轨迹：已知D是AC的中点，△AOC是等腰三角形（OA、OC均为圆O的半径），由等腰三角形三线合一可得OD⊥AC，即∠ADO恒为90°；根据圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此D的轨迹是以AO为直径的圆。接下来求BD的最大值，可转化为求定点B到该小圆上点的最大距离，即点B到小圆圆心的距离加小圆半径即可求解。
【解析】
1. 取AO的中点E，连接OD、BE：
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，又D是AC中点，
∴ OD⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠ADO=90°，
∴ 点D在以E为圆心，半径$r=\frac{1}{2}AO=1$的圆上运动。
2. 计算BE的长度：
∵ ∠AOB=90°，OB=2，$OE=\frac{1}{2}AO=1$，
∴ 在Rt△BOE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{OB^2 + OE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 求BD的最大值：
根据圆外一点到圆上点的最大距离等于该点到圆心的距离加圆的半径，可得BD的最大值为$BE + r = \sqrt{5} + 1$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题的核心是通过分析动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为熟悉的点到圆上点的距离最值问题，有效考查了转化思想的应用，以及对圆相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先需要确定动点D的运动轨迹：已知D是AC的中点，△AOC是等腰三角形（OA、OC均为圆O的半径），由等腰三角形三线合一可得OD⊥AC，即∠ADO恒为90°；根据圆周角定理推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此D的轨迹是以AO为直径的圆。接下来求BD的最大值，可转化为求定点B到该小圆上点的最大距离，即点B到小圆圆心的距离加小圆半径即可求解。
【解析】
1. 取AO的中点E，连接OD、BE：
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，又D是AC中点，
∴ OD⊥AC（等腰三角形三线合一），即∠ADO=90°，
∴ 点D在以E为圆心，半径$r=\frac{1}{2}AO=1$的圆上运动。
2. 计算BE的长度：
∵ ∠AOB=90°，OB=2，$OE=\frac{1}{2}AO=1$，
∴ 在Rt△BOE中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{OB^2 + OE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. 求BD的最大值：
根据圆外一点到圆上点的最大距离等于该点到圆心的距离加圆的半径，可得BD的最大值为$BE + r = \sqrt{5} + 1$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题的核心是通过分析动点的运动轨迹，将线段最值问题转化为熟悉的点到圆上点的距离最值问题，有效考查了转化思想的应用，以及对圆相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
9.(2025·宜兴期中)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$\odot P$与$x$轴交于$B,C$两点,与$y$轴交于点$A$,且$OB=OC=2OA=4$,则$\odot P$的直径为
10
.答案
9.10
解析
【分析】
首先从已知条件$OB=OC=2OA=4$出发，先求出各点坐标：$OA=2$，因此$A(0,-2)$，$B(4,0)$，$C(-4,0)$。根据垂径定理，弦$BC$的垂直平分线过圆心，已知$OB=OC$，所以$y$轴就是$BC$的垂直平分线，因此圆心$P$在$y$轴上，可设$P$点坐标为$(0,k)$。因为圆的半径处处相等，所以$PA=PB$，据此列方程求解即可得到圆心坐标，进而求出半径和直径。
【解析】
解：$\because OB=OC=2OA=4$，
$\therefore OA=2$，即$A(0,-2)$，$B(4,0)$，$C(-4,0)$。
$\because OB=OC$，$y$轴$⊥ BC$，
$\therefore y$轴是弦$BC$的垂直平分线，圆心$P$在$y$轴上，设$P(0,k)$，$\odot P$的半径为$r$。
$\because PA$、$PB$均为$\odot P$的半径，
$\therefore PA=PB$，
即$|k - (-2)| = \sqrt{(4-0)^2 + (0 - k)^2}$，
两边平方得：$(k+2)^2 = 16 + k^2$，
展开化简得：$4k + 4 = 16$，
解得$k=3$，
$\therefore$半径$r=|3+2|=5$，
$\therefore \odot P$的直径为$2r=10$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题解题的核心是利用垂径定理快速确定圆心在$y$轴上，再结合圆的半径相等的性质，通过列方程求解半径，属于基础类的圆的计算问题，解题时注意坐标法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先从已知条件$OB=OC=2OA=4$出发，先求出各点坐标：$OA=2$，因此$A(0,-2)$，$B(4,0)$，$C(-4,0)$。根据垂径定理，弦$BC$的垂直平分线过圆心，已知$OB=OC$，所以$y$轴就是$BC$的垂直平分线，因此圆心$P$在$y$轴上，可设$P$点坐标为$(0,k)$。因为圆的半径处处相等，所以$PA=PB$，据此列方程求解即可得到圆心坐标，进而求出半径和直径。
【解析】
解：$\because OB=OC=2OA=4$，
$\therefore OA=2$，即$A(0,-2)$，$B(4,0)$，$C(-4,0)$。
$\because OB=OC$，$y$轴$⊥ BC$，
$\therefore y$轴是弦$BC$的垂直平分线，圆心$P$在$y$轴上，设$P(0,k)$，$\odot P$的半径为$r$。
$\because PA$、$PB$均为$\odot P$的半径，
$\therefore PA=PB$，
即$|k - (-2)| = \sqrt{(4-0)^2 + (0 - k)^2}$，
两边平方得：$(k+2)^2 = 16 + k^2$，
展开化简得：$4k + 4 = 16$，
解得$k=3$，
$\therefore$半径$r=|3+2|=5$，
$\therefore \odot P$的直径为$2r=10$。
【答案】
10
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的半径相等
【点评】
本题解题的核心是利用垂径定理快速确定圆心在$y$轴上，再结合圆的半径相等的性质，通过列方程求解半径，属于基础类的圆的计算问题，解题时注意坐标法的灵活运用。
【难度系数】
0.7
10.(2025·苏州姑苏区期中)如图,CD为$\odot O$的直径,过点D的弦DE平行于半径OA.若$∠ A=25°$,则$∠ D=$
50
°.答案
10.50
解析
【分析】
解题时首先从圆的基本性质入手：圆的所有半径长度相等，因此OA=OC，可得△OAC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可求出∠C的度数；接下来要求∠D，已知DE//OA，可借助平行线的性质找与∠D相等的角，观察图形可知∠D和∠AOD是内错角，因此只需要求出∠AOD的度数即可；∠AOD是△AOC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质即可算出∠AOD，最终得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴∠C=∠A=25°
∵∠AOD是△AOC的外角
∴∠AOD=∠A+∠C=25°+25°=50°
又
∵OA//DE
∴∠D=∠AOD=50°（两直线平行，内错角相等）
【答案】
50
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，将圆的性质和三角形、平行线的知识点结合考察，解题的突破口是利用半径相等得到等腰三角形，再结合角度关系和平行线性质求解，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先从圆的基本性质入手：圆的所有半径长度相等，因此OA=OC，可得△OAC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可求出∠C的度数；接下来要求∠D，已知DE//OA，可借助平行线的性质找与∠D相等的角，观察图形可知∠D和∠AOD是内错角，因此只需要求出∠AOD的度数即可；∠AOD是△AOC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质即可算出∠AOD，最终得到∠D的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径
∴OA=OC，△OAC为等腰三角形
∴∠C=∠A=25°
∵∠AOD是△AOC的外角
∴∠AOD=∠A+∠C=25°+25°=50°
又
∵OA//DE
∴∠D=∠AOD=50°（两直线平行，内错角相等）
【答案】
50
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；平行线的性质
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，将圆的性质和三角形、平行线的知识点结合考察，解题的突破口是利用半径相等得到等腰三角形，再结合角度关系和平行线性质求解，属于常规考点。
【难度系数】
0.7
11.(2025·广西)如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D在$\odot O$上，$∠ ABC=65°$，$BC=CD$.
(1)求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
(2)求$∠ ABD$的度数.
(1)求证：$△ BOC ≌ △ DOC$；
(2)求$∠ ABD$的度数.
答案
11.(1)证明:$\because \odot O$的半径为OA,OB,OC,OD,
$\therefore OA=OB=OC=OD.$
又$\because BC=CD,\therefore △ BOC≌ △ DOC(SSS).$
(2)解:$\because OB=OC,\therefore ∠OCB=∠ABC=65°,$
$\therefore ∠BOC=180°-65°×2=50°.$
$\because △ BOC≌ △ DOC,\therefore ∠DOC=∠COB=50°,$
$\therefore ∠DOB=100°.$
$\because OD=OB,\therefore ∠ABD=∠ODB=\frac{180°-∠DOB}{2}=40°.$
$\therefore OA=OB=OC=OD.$
又$\because BC=CD,\therefore △ BOC≌ △ DOC(SSS).$
(2)解:$\because OB=OC,\therefore ∠OCB=∠ABC=65°,$
$\therefore ∠BOC=180°-65°×2=50°.$
$\because △ BOC≌ △ DOC,\therefore ∠DOC=∠COB=50°,$
$\therefore ∠DOB=100°.$
$\because OD=OB,\therefore ∠ABD=∠ODB=\frac{180°-∠DOB}{2}=40°.$
解析
【分析】
(1) 要证明△BOC≌△DOC，先梳理已知条件：已知BC=CD，两个三角形有公共边OC，再结合圆的所有半径都相等，可得OB=OD，满足三边对应相等的全等判定条件，即可用SSS定理证明全等。
(2) 求∠ABD的度数时，先利用等腰△OBC等边对等角的性质，结合已知∠ABC=65°求出∠BOC的度数；再借助第(1)问的全等结论得到∠DOC=∠BOC，进而求出∠DOB的度数；最后在等腰△DOB中，利用等边对等角和三角形内角和定理，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵⊙O的半径为OA、OB、OC、OD，
∴OB=OC=OD。
又
∵BC=CD，OC为公共边，
∴△BOC≌△DOC（SSS）。
(2) 解：
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC=65°，
由三角形内角和可得∠BOC=180°-65°×2=50°。
∵△BOC≌△DOC，
∴∠DOC=∠COB=50°，
∴∠DOB=∠DOC+∠COB=50°+50°=100°。
又
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB=(180°-∠DOB)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
(1) △BOC≌△DOC，证明成立；
(2) ∠ABD的度数为40°。
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 全等三角形的判定
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题的关键是合理利用圆半径相等的隐含条件，结合全等三角形判定和等腰三角形的性质逐步推导边角关系，整体考查的知识点较为基础，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明△BOC≌△DOC，先梳理已知条件：已知BC=CD，两个三角形有公共边OC，再结合圆的所有半径都相等，可得OB=OD，满足三边对应相等的全等判定条件，即可用SSS定理证明全等。
(2) 求∠ABD的度数时，先利用等腰△OBC等边对等角的性质，结合已知∠ABC=65°求出∠BOC的度数；再借助第(1)问的全等结论得到∠DOC=∠BOC，进而求出∠DOB的度数；最后在等腰△DOB中，利用等边对等角和三角形内角和定理，即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵⊙O的半径为OA、OB、OC、OD，
∴OB=OC=OD。
又
∵BC=CD，OC为公共边，
∴△BOC≌△DOC（SSS）。
(2) 解：
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC=65°，
由三角形内角和可得∠BOC=180°-65°×2=50°。
∵△BOC≌△DOC，
∴∠DOC=∠COB=50°，
∴∠DOB=∠DOC+∠COB=50°+50°=100°。
又
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB=(180°-∠DOB)÷2=(180°-100°)÷2=40°。
【答案】
(1) △BOC≌△DOC，证明成立；
(2) ∠ABD的度数为40°。
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 全等三角形的判定
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题的关键是合理利用圆半径相等的隐含条件，结合全等三角形判定和等腰三角形的性质逐步推导边角关系，整体考查的知识点较为基础，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
12.如图，点B，E在半圆O上，四边形OABC，四边形ODEF均为矩形.若AB=3，BC=4，求DF的长.
答案
12.解:如答图,连接 OB,OE.
$\because$ 四边形 OABC 是矩形,$\therefore ∠CBA=90°,OB=AC.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3,BC=4,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$
$\therefore OE=OB=5.$
$\because$ 四边形 ODEF 为矩形,$\therefore DF=OE=5.$
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：点B、E在半圆上，因此连接OB、OE，二者均为半圆的半径，长度相等。再结合矩形的性质：矩形的对角线相等，可得左侧矩形OABC中OB=AC，右侧矩形ODEF中DF=OE。已知AB、BC的长度，可通过勾股定理先求出AC的长度，再通过OB=OE这一中间等量关系，即可得到DF的长度。
【解析】
如答图，连接OB，OE。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ ∠CBA=90°，矩形的对角线相等，即OB=AC。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ OB、OE均为半圆O的半径，
∴ OE=OB=AC=5。
又
∵ 四边形ODEF为矩形，矩形对角线相等，
∴ DF=OE=5。
【答案】
如答图,连接 OB,OE.
$\because$ 四边形 OABC 是矩形,$\therefore ∠CBA=90°,OB=AC.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3,BC=4,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$
$\therefore OE=OB=5.$
$\because$ 四边形 ODEF 为矩形,$\therefore DF=OE=5.$
【知识点】
圆的半径相等，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题关键是通过连接半径作为中间量，利用矩形对角线相等的性质完成等量转换，将未知线段和已知边长建立关联，是圆与矩形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：点B、E在半圆上，因此连接OB、OE，二者均为半圆的半径，长度相等。再结合矩形的性质：矩形的对角线相等，可得左侧矩形OABC中OB=AC，右侧矩形ODEF中DF=OE。已知AB、BC的长度，可通过勾股定理先求出AC的长度，再通过OB=OE这一中间等量关系，即可得到DF的长度。
【解析】
如答图，连接OB，OE。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ ∠CBA=90°，矩形的对角线相等，即OB=AC。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ OB、OE均为半圆O的半径，
∴ OE=OB=AC=5。
又
∵ 四边形ODEF为矩形，矩形对角线相等，
∴ DF=OE=5。
【答案】
如答图,连接 OB,OE.
$\because$ 四边形 OABC 是矩形,$\therefore ∠CBA=90°,OB=AC.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3,BC=4,$
$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,$
$\therefore OE=OB=5.$
$\because$ 四边形 ODEF 为矩形,$\therefore DF=OE=5.$
【知识点】
圆的半径相等，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题侧重考查基础几何性质的应用，解题关键是通过连接半径作为中间量，利用矩形对角线相等的性质完成等量转换，将未知线段和已知边长建立关联，是圆与矩形结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
