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一、平方根、算术平方根、立方根
【例1】下列等式①$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{8}$，②$\sqrt{(-4)^2}=\pm4$，③$-(-\sqrt{5})^2=25$，④$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$，⑤$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$中，正确的有 （）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【例1】下列等式①$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{8}$，②$\sqrt{(-4)^2}=\pm4$，③$-(-\sqrt{5})^2=25$，④$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$，⑤$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$中，正确的有 （）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
A
解析
逐个判断等式正误：
①$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}≠\dfrac{1}{8}$，错误；
②$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，算术平方根为非负数，不等于$\pm4$，错误；
③$-(-\sqrt{5})^2=-5≠25$，错误；
④$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$，正确；
⑤$\sqrt[3]{-8}=-2$，$-\sqrt[3]{8}=-2$，等式成立，正确。
综上正确的等式共2个。
①$\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{4}≠\dfrac{1}{8}$，错误；
②$\sqrt{(-4)^2}=\sqrt{16}=4$，算术平方根为非负数，不等于$\pm4$，错误；
③$-(-\sqrt{5})^2=-5≠25$，错误；
④$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$，正确；
⑤$\sqrt[3]{-8}=-2$，$-\sqrt[3]{8}=-2$，等式成立，正确。
综上正确的等式共2个。
练习1 (1)16 的平方根是，算术平方根是.(2)$\sqrt{16}$的平方根是，算术平方根是.(3)125 的立方根是.(4)－64 的立方根是.
答案
解：
(1) ∵ $(±4)^2 = 16$，
∴ 16的平方根是$\boldsymbol{±4}$，算术平方根是$\boldsymbol{4}$。
(2) ∵ $\sqrt{16}=4$，$(±2)^2 = 4$，
∴ $\sqrt{16}$的平方根是$\boldsymbol{±2}$，算术平方根是$\boldsymbol{2}$。
(3) ∵ $5^3 = 125$，
∴ 125的立方根是$\boldsymbol{5}$。
(4) ∵ $(-4)^3 = -64$，
∴ $-64$的立方根是$\boldsymbol{-4}$。
(1) ∵ $(±4)^2 = 16$，
∴ 16的平方根是$\boldsymbol{±4}$，算术平方根是$\boldsymbol{4}$。
(2) ∵ $\sqrt{16}=4$，$(±2)^2 = 4$，
∴ $\sqrt{16}$的平方根是$\boldsymbol{±2}$，算术平方根是$\boldsymbol{2}$。
(3) ∵ $5^3 = 125$，
∴ 125的立方根是$\boldsymbol{5}$。
(4) ∵ $(-4)^3 = -64$，
∴ $-64$的立方根是$\boldsymbol{-4}$。
练习2已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是64的立方根，求$\frac{5(a + b)}{a^2 + b^2} - \sqrt{2cd} + x$的值。
答案
解：
∵a，b互为相反数，
∴$a + b = 0$。
∵c，d互为倒数，
∴$cd = 1$。
∵x是64的立方根，
∴$x = \sqrt[3]{64} = 4$。
将上述值代入代数式：
$\begin{aligned}\frac{5(a + b)}{a^2 + b^2} - \sqrt{2cd} + x&=\frac{5×0}{a^2 + b^2} - \sqrt{2×1} + 4\\&=0 - \sqrt{2} + 4\\&=4 - \sqrt{2}\end{aligned}$
最终值为$4-\sqrt{2}$。
∵a，b互为相反数，
∴$a + b = 0$。
∵c，d互为倒数，
∴$cd = 1$。
∵x是64的立方根，
∴$x = \sqrt[3]{64} = 4$。
将上述值代入代数式：
$\begin{aligned}\frac{5(a + b)}{a^2 + b^2} - \sqrt{2cd} + x&=\frac{5×0}{a^2 + b^2} - \sqrt{2×1} + 4\\&=0 - \sqrt{2} + 4\\&=4 - \sqrt{2}\end{aligned}$
最终值为$4-\sqrt{2}$。
【例2】在－0.3，－5，$\sqrt{0.9}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$|-2|$，$\sqrt{\frac{9}{16}}$，$\sqrt{8}$，3.101 001 000 1…（相邻两个“1”之间依次多一个“0”），$\sqrt[3]{-8}$，$\frac{π}{2}$，0，3.122 122 21中，有理数有个，无理数有个。
答案
$\boldsymbol{7}$，$\boldsymbol{5}$。
解析
解：
先化简可运算的数：
$|-2|=2$，$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$，$\sqrt[3]{-8}=-2$。
根据有理数、无理数的定义判断：
有理数为$-0.3,-5,|-2|,\sqrt{\frac{9}{16}},\sqrt[3]{-8},0,3.12212221$，共7个；
无理数为$\sqrt{0.9},\frac{\sqrt{2}}{3},\sqrt{8},3.1010010001···(相邻两个“1”之间依次多一个“0”),\frac{π}{2}$，共5个。
先化简可运算的数：
$|-2|=2$，$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$，$\sqrt[3]{-8}=-2$。
根据有理数、无理数的定义判断：
有理数为$-0.3,-5,|-2|,\sqrt{\frac{9}{16}},\sqrt[3]{-8},0,3.12212221$，共7个；
无理数为$\sqrt{0.9},\frac{\sqrt{2}}{3},\sqrt{8},3.1010010001···(相邻两个“1”之间依次多一个“0”),\frac{π}{2}$，共5个。
练习3对于圆周率有四个表述:①圆周率是一个有理数;②圆周率是一个无理数;③圆周率是一个与圆的大小无关的常数,它等于该圆的周长与直径的比;④圆周率是一个与圆的大小有关的常数,它等于该圆的周长与半径的比.
其中表述正确的序号是 ()
A.②③
B.①③
C.①④
D.②④
其中表述正确的序号是 ()
A.②③
B.①③
C.①④
D.②④
答案
A
解析
根据无理数定义，圆周率π是无限不循环小数，属于无理数，因此①错误，②正确；根据圆周率的定义，圆周率是圆的周长与直径的比值，是与圆的大小无关的常数，因此③正确，④错误。综上正确的表述是②③。
三、实数的大小比较和估算
【例3】$a$，$b$是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示.把$a$，$-a$，$b$，$-b$按照从小到大的顺序排列，正确的是 （）
A.$-b＜-a＜a＜b$
B.$-b＜a＜-a＜b$
C.$-a＜-b＜a＜b$
D.$-b＜b＜-a＜a$
【例3】$a$，$b$是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示.把$a$，$-a$，$b$，$-b$按照从小到大的顺序排列，正确的是 （）
A.$-b＜-a＜a＜b$
B.$-b＜a＜-a＜b$
C.$-a＜-b＜a＜b$
D.$-b＜b＜-a＜a$
答案
B
解析
由数轴可得$a＜0＜b$，且$b$到原点的距离大于$a$到原点的距离，即$|b|＞|a|$，因此$-b＜0$，且满足$-b＜a＜0$，同时$0＜-a＜b$，由此得到从小到大的排列顺序为$-b ＜ a ＜ -a ＜ b$。
练习4若$\sqrt{15}$的整数部分是$x$，小数部分是$y$，则$2x+y=$
答案
$\boldsymbol{3+\sqrt{15}}$
解析
解：
因为 $ 3^2 = 9 $，$ 4^2 = 16 $，且 $ 9 ＜ 15 ＜ 16 $，
所以 $ 3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4 $，
可得$\sqrt{15}$的整数部分 $ x=3 $，
小数部分 $ y = \sqrt{15} - 3 $，
代入计算：
$ 2x + y = 2×3 + (\sqrt{15} - 3) = 3 + \sqrt{15} $
最终
因为 $ 3^2 = 9 $，$ 4^2 = 16 $，且 $ 9 ＜ 15 ＜ 16 $，
所以 $ 3 ＜ \sqrt{15} ＜ 4 $，
可得$\sqrt{15}$的整数部分 $ x=3 $，
小数部分 $ y = \sqrt{15} - 3 $，
代入计算：
$ 2x + y = 2×3 + (\sqrt{15} - 3) = 3 + \sqrt{15} $
最终
