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9 (2025 南通崇川月考)如图，AB=10，C，D分别是线段AB上两点(CD＞AC，CD＞BD)，用圆规在线段CD上分别截取CE=AC，DF=BD，若点E与点F恰好重合，则CD的长度为 (
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9.C
10（2026苏州姑苏期末）如图，点C在线段AB上，D，E分别为AC，AB的中点，若CB=5 cm，则DE的长为
2.5
cm.答案
10.2.5
11 易错题（2026宿迁沭阳期末）如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为12 cm，若$AP:PB=1:3$，则这根绳子原来的长度为
16 cm或32 cm
。答案
11.16 cm或32 cm
12 如图,已知C是线段AB上的一点,且$AC:BC=3:2$,D是线段AB的中点,且$DC=6$,求AD的长.
答案
12. 设 $AC=3x$,则 $BC=2x,AB=AC+BC=5x$.
因为 D 为线段 AB 的中点,
所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5x}{2}$,
所以 $DC=BD-BC=\frac{5x}{2}-2x=\frac{x}{2}=6$,
解得 $x=12$,
所以 $AD=\frac{5}{2}x=30$.
因为 D 为线段 AB 的中点,
所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5x}{2}$,
所以 $DC=BD-BC=\frac{5x}{2}-2x=\frac{x}{2}=6$,
解得 $x=12$,
所以 $AD=\frac{5}{2}x=30$.
13（2026泰州期末）定义:若点A,B,C在同一直线上,则$d_{λ BC}=\frac{AB}{AC}$,例如$AB=6,AC=3$,则$d_{λ BC}=2,d_{λ CB}=\frac{1}{2}$,如图,已知线段$AB=12\ \mathrm{cm}$.
(1) 如图
,若O是线段AB的中点,则$d_{λ OB}=$
(2) $P,Q$是直线$AB$上的两个动点,点$P$从点$A$出发向右运动,点$Q$从点$B$出发向左运动.若点$P$的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
①当$t=3$时,求$d_{λ QB}-d_{λ PB}$的值;
②当$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$时,试求出可能的$t$的值.
(1) 如图
,若O是线段AB的中点,则$d_{λ OB}=$$\frac{1}{2}$
;(2) $P,Q$是直线$AB$上的两个动点,点$P$从点$A$出发向右运动,点$Q$从点$B$出发向左运动.若点$P$的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$,点$Q$的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$,设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
①当$t=3$时,求$d_{λ QB}-d_{λ PB}$的值;
②当$d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$时,试求出可能的$t$的值.
答案
13. 解:(1) $\frac{1}{2}$
(2) ①当 $t=3$ 时,$AQ=12-2× 3=6$,$AP=3$,
所以 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{AQ}{AB}-\frac{AP}{AB}=\frac{6}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
②当点 Q 在点 A 右侧时,$t＜6$ 且 $AQ=12-2t$,$AP=t$,
所以 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{12-2t}{12}-\frac{t}{12}=\frac{12-3t}{12}$.
因为 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$,
所以 $\frac{12-3t}{12}=\frac{1}{3}$,
解得 $t=\frac{8}{3}$;
当点 Q 在点 A 左侧时,$t＞6$ 且 $AQ=2t-12$,$AP=t$,
所以 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{2t-12}{12}-\frac{t}{12}=\frac{t-12}{12}$.
因为 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$,
所以 $\frac{t-12}{12}=\frac{1}{3}$,
解得 $t=16$.
综上,$t$ 的值为 $\frac{8}{3}$ 或 $16$.
(2) ①当 $t=3$ 时,$AQ=12-2× 3=6$,$AP=3$,
所以 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{AQ}{AB}-\frac{AP}{AB}=\frac{6}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
②当点 Q 在点 A 右侧时,$t＜6$ 且 $AQ=12-2t$,$AP=t$,
所以 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{12-2t}{12}-\frac{t}{12}=\frac{12-3t}{12}$.
因为 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$,
所以 $\frac{12-3t}{12}=\frac{1}{3}$,
解得 $t=\frac{8}{3}$;
当点 Q 在点 A 左侧时,$t＞6$ 且 $AQ=2t-12$,$AP=t$,
所以 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{2t-12}{12}-\frac{t}{12}=\frac{t-12}{12}$.
因为 $d_{λ QB}-d_{λ PB}=\frac{1}{3}$,
所以 $\frac{t-12}{12}=\frac{1}{3}$,
解得 $t=16$.
综上,$t$ 的值为 $\frac{8}{3}$ 或 $16$.
