4. 如图所示,在长方形ABCD中,当点P在边AD上从点A向点D移动(不与A,D两点重合)时,有些线段的长度和三角形的面积始终保持不变,而有些则发生了变化.
(1)试分别举出长度变化与不变化的线段和面积变化与不变化的三角形;
(2)在长方形ABCD中,若$AD=10\ \mathrm{cm}$,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$AP=x\ \mathrm{cm}$,分别求出线段PD的长度$y(\mathrm{cm})$,$△ PCD$的面积$S(\mathrm{cm}^2)$与$x(\mathrm{cm})$之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.

(1)PA,PB,PC,PD的长度都是变化的,AB,BC,CD,AD的长度都是不变的;$△ PAB$和$△ PCD$的面积都是变化的,$△ PBC$的面积是不变的.
(2)$y=10-x(0＜x＜10)$,$S=\frac{1}{2}×CD×PD=\frac{1}{2}×4×(10-x)=20-2x(0＜x＜10)$.

【分析】
(1) 解决第一问时，先明确点P的运动路径为AD边，和点P直接相连的线段长度会随P的位置改变而变化，长方形本身的四条边长固定，因此长度不变；判断三角形面积是否变化只需看底和高的乘积是否固定：$△ PBC$以BC为底，高等于长方形的宽AB，底和高均固定，因此面积不变，$△ PAB$、$△ PCD$的底分别为AP、PD，会随P的移动改变，高固定，因此面积变化。
(2) 解决第二问时，线段PD的长度可通过AD与AP的和差关系得到；$△ PCD$的面积用三角形面积公式，将底PD、高CD的长度代入计算即可；自变量x是AP的长度，因P不与A、D重合，因此x的取值范围为$0＜x＜10$。
【解析】
(1) 长度变化的线段：和点P相关的PA、PB、PC、PD；长度不变的线段：长方形的四条边AB、BC、CD、AD。
面积变化的三角形：底随P移动改变的$△ PAB$、$△ PCD$；面积不变的三角形：底和高均固定的$△ PBC$。
(2) 已知$AD=10\ \mathrm{cm}$，$AP=x\ \mathrm{cm}$，根据线段和差关系：
$PD=AD-AP$，即$y=10-x$，因P不与A、D重合，故自变量取值范围为$0＜x＜10$。
$△ PCD$中，$CD=AB=4\ \mathrm{cm}$，$∠ D$为直角，因此PD为底、CD为高，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}× PD× CD=\frac{1}{2}× (10-x)×4=20-2x$，自变量取值范围同样为$0＜x＜10$。
【答案】
(1)PA,PB,PC,PD的长度都是变化的,AB,BC,CD,AD的长度都是不变的;$△ PAB$和$△ PCD$的面积都是变化的,$△ PBC$的面积是不变的.
(2)$y=10-x(0＜x＜10)$,$S=\frac{1}{2}×CD×PD=\frac{1}{2}×4×(10-x)=20-2x(0＜x＜10)$.
【知识点】
长方形的性质；三角形面积计算；函数关系式书写
【点评】
本题结合动态几何场景，既考查了对图形中变化量与不变量的识别能力，也考查了结合几何关系列函数关系式的能力，解题的关键是找准线段和差关系及三角形面积对应的底和高。
【难度系数】
0.8

5. 通过AI与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别 + 粗放操作”到“智能识别 + 精准作业”的升级，大幅度提升了效率和准确性. 某AI快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙. 现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3 000个，其分拣包裹数量y(个)与工作时间x(min)的关系如图所示.
(1)乙机器人分拣包裹的速度是个/min，12 min时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差个.
(2)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的50%，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间.
(3)请直接写出整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间.

(1)60;600
(2)$960÷12=80$(个/min),
∴ 甲机器人视觉系统识别异常前,分拣包裹的速度是80 个/min.
∴ 甲机器人视觉系统识别异常后,分拣包裹的速度是$80×50\% =40$(个/min),根据题意得$960+40(x-12)=60(x-6)$,解得$x=42$.
∴ 甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42 min.
(3)总持续时间为27.5 min.

【分析】
本题是一次函数的实际应用问题，解题思路如下：
(1) 先从图像读取乙的总工作时长（从第6min开始到第56min结束），结合总工作量计算乙的速度；再分别算出12min时甲、乙的分拣量，作差得到数量差。
(2) 先根据甲前12min的分拣量求出初始速度，再计算降速后的速度，分别表示出x min时甲、乙的分拣总量，列方程求解即可。
(3) 分阶段讨论：①乙未开始工作时，甲分拣量≤200的时间段；②乙开始工作后到甲降速前，两者数量差≤200的时间段；③甲降速后到两人数量相等前，数量差≤200的时间段；④两人数量相等后到乙超过甲200以内的时间段；⑤乙完成分拣后，甲分拣量与3000的差≤200的时间段，将各段符合条件的时长相加即可。
【解析】
(1) 乙机器人的总工作时长为$56-6=50(\mathrm{min})$，分拣速度为$3000÷50=60$（个/min）。
12min时，乙的工作时长为$12-6=6(\mathrm{min})$，分拣量为$60×6=360$（个），此时甲分拣了960个，两者相差$960-360=600$（个）。
(2) 甲降速前的分拣速度：$960÷12=80$（个/min），降速后速度为$80×50\%=40$（个/min）。
设$x$ min时两人分拣数量相同，此时甲的分拣量为$960+40(x-12)$，乙的分拣量为$60(x-6)$，列方程：
$960+40(x-12)=60(x-6)$
展开得：$960+40x-480=60x-360$
移项合并同类项得：$20x=840$
解得：$x=42$
(3) 分阶段计算符合条件的时长：
① 当$0≤ x≤6$时，乙未工作，令$80x≤200$，解得$x≤2.5$，时长为$2.5\ \mathrm{min}$；
② 当$6＜x≤12$时，甲速度80个/min，乙速度60个/min，甲的分拣量始终比乙多600个以上，无符合条件的时间；
③ 当$12＜x≤42$时，甲降速为40个/min，令$960+40(x-12)-60(x-6)≤200$，解得$x≥32$，时长为$42-32=10\ \mathrm{min}$；
④ 当$42＜x≤56$时，乙分拣量超过甲，令$60(x-6)-(960+40(x-12))≤200$，解得$x≤52$，时长为$52-42=10\ \mathrm{min}$；
⑤ 当$56＜x≤63$时（甲总工作时长为$12+(3000-960)÷40=63\ \mathrm{min}$），乙完成3000个不再工作，令$3000-[960+40(x-12)]≤200$，解得$x≥58$，时长为$63-58=5\ \mathrm{min}$。
总持续时间为$2.5+10+10+5=27.5\ \mathrm{min}$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{600}$
(2) $\boxed{42\ \mathrm{min}}$
(3) $\boxed{27.5\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合智能分拣的实际场景，考查读取函数图像信息、分段分析问题的能力，解题关键是明确不同时间段两个机器人的分拣速度、工作量表达式，分段求解时注意不要遗漏边界情况。
【难度系数】
0.6