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10.将下列多项式因式分解,结果中不含有因式$a+1$的是（
A.$a^2 -1$
B.$a^2 +a$
C.$a^2 -2a +1$
D.$(a+2)^2 -2(a+2)+1$
C
）A.$a^2 -1$
B.$a^2 +a$
C.$a^2 -2a +1$
D.$(a+2)^2 -2(a+2)+1$
答案
10.C
解析
【分析】
要判断哪个选项因式分解后不含因式$a+1$，解题思路是对每个选项分别进行因式分解，再观察分解结果中是否包含因式$a+1$，选出不包含的选项即可。因式分解优先考虑提公因式法，再考虑公式法（平方差公式、完全平方公式），遇到D选项这类带有相同整体的式子，可把整体看作一个数用公式分解，更加简便。
【解析】
我们逐个对各选项的多项式进行因式分解：
A. $a^2 -1$，利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=a,n=1$，分解得：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
B. $a^2+a$，提取公因式$a$，得：$a^2+a=a(a+1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
C. $a^2-2a+1$，利用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，令$m=a,n=1$，分解得：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，不含因式$a+1$，符合要求；
D. $(a+2)^2 -2(a+2)+1$，把$a+2$看作整体，利用完全平方公式分解得：$[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含有因式$a+1$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解基本方法的应用，解题时需熟练掌握提公因式法和公式法的适用特征，遇到形式符合公式结构的多项式，可利用整体思想简化分解过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项因式分解后不含因式$a+1$，解题思路是对每个选项分别进行因式分解，再观察分解结果中是否包含因式$a+1$，选出不包含的选项即可。因式分解优先考虑提公因式法，再考虑公式法（平方差公式、完全平方公式），遇到D选项这类带有相同整体的式子，可把整体看作一个数用公式分解，更加简便。
【解析】
我们逐个对各选项的多项式进行因式分解：
A. $a^2 -1$，利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=a,n=1$，分解得：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
B. $a^2+a$，提取公因式$a$，得：$a^2+a=a(a+1)$，含有因式$a+1$，不符合要求；
C. $a^2-2a+1$，利用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，令$m=a,n=1$，分解得：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，不含因式$a+1$，符合要求；
D. $(a+2)^2 -2(a+2)+1$，把$a+2$看作整体，利用完全平方公式分解得：$[(a+2)-1]^2=(a+1)^2$，含有因式$a+1$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解基本方法的应用，解题时需熟练掌握提公因式法和公式法的适用特征，遇到形式符合公式结构的多项式，可利用整体思想简化分解过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
11. $l_1$,$l_2$,$l_3$为同一平面内的三条直线，若$l_1$与$l_2$不平行，$l_2$与$l_3$不平行，则下列判断正确的是（
A.$l_1$与$l_3$一定不平行
B.$l_1$与$l_3$一定平行
C.$l_1$与$l_2$一定互相垂直
D.$l_1$与$l_3$可能相交或平行
D
）A.$l_1$与$l_3$一定不平行
B.$l_1$与$l_3$一定平行
C.$l_1$与$l_2$一定互相垂直
D.$l_1$与$l_3$可能相交或平行
答案
11.D
解析
【分析】
首先明确同一平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，不平行即相交。已知$l_1$与$l_2$不平行、$l_2$与$l_3$不平行，我们可以通过举反例的方式逐一排除错误选项，同时分类讨论$l_1$与$l_3$的可能位置关系，最终确定正确答案。
【解析】
同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，若两条直线不平行则必定相交。
1. 分析已知条件：$l_1$与$l_2$不平行，说明$l_1$和$l_2$相交；$l_2$与$l_3$不平行，说明$l_2$和$l_3$相交。
2. 逐一判断选项：
A选项：举反例，若$l_1// l_3$，$l_2$同时与$l_1$、$l_3$相交，满足题设条件，因此$l_1$与$l_3$可能平行，A错误；
B选项：举反例，若$l_1$、$l_2$、$l_3$两两相交（如三条直线构成三角形的三条边），也满足题设条件，此时$l_1$与$l_3$不平行，B错误；
C选项：$l_1$与$l_2$不平行仅说明二者相交，夹角可以是任意非$0°$、$180°$的角度，不一定为$90°$，不一定垂直，C错误；
D选项：结合上述两种情况，$l_1$与$l_3$既可能平行，也可能相交，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平面内直线的位置关系、平行的定义
【点评】
本题考查对平面内直线位置关系的掌握，解题的关键是学会用举反例的方法排除错误选项，避免思维定式，同时要建立分类讨论的意识，考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
首先明确同一平面内两条直线的位置关系只有平行和相交两种，不平行即相交。已知$l_1$与$l_2$不平行、$l_2$与$l_3$不平行，我们可以通过举反例的方式逐一排除错误选项，同时分类讨论$l_1$与$l_3$的可能位置关系，最终确定正确答案。
【解析】
同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，若两条直线不平行则必定相交。
1. 分析已知条件：$l_1$与$l_2$不平行，说明$l_1$和$l_2$相交；$l_2$与$l_3$不平行，说明$l_2$和$l_3$相交。
2. 逐一判断选项：
A选项：举反例，若$l_1// l_3$，$l_2$同时与$l_1$、$l_3$相交，满足题设条件，因此$l_1$与$l_3$可能平行，A错误；
B选项：举反例，若$l_1$、$l_2$、$l_3$两两相交（如三条直线构成三角形的三条边），也满足题设条件，此时$l_1$与$l_3$不平行，B错误；
C选项：$l_1$与$l_2$不平行仅说明二者相交，夹角可以是任意非$0°$、$180°$的角度，不一定为$90°$，不一定垂直，C错误；
D选项：结合上述两种情况，$l_1$与$l_3$既可能平行，也可能相交，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平面内直线的位置关系、平行的定义
【点评】
本题考查对平面内直线位置关系的掌握，解题的关键是学会用举反例的方法排除错误选项，避免思维定式，同时要建立分类讨论的意识，考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
12.某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30千克，价格为每千克$x$元；下午他又买了20千克，价格为每千克$y$元.后来他以每千克$\frac{x+y}{2}$元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（
A.$x＜y$
B.$x＞y$
C.$x≤ y$
D.$x≥ y$
B
）A.$x＜y$
B.$x＞y$
C.$x≤ y$
D.$x≥ y$
答案
12.B
解析
【分析】
要判断商贩赔钱的原因，首先明确赔钱的本质是购买黄瓜的总成本大于卖出黄瓜的总收入。我们可以先分别表示出总成本和总收入，再根据“总成本＞总收入”列出不等式，求解不等式就能得到x和y的大小关系。
【解析】
首先计算商贩买黄瓜的总成本：
上午买30千克花费30x元，下午买20千克花费20y元，总成本为$(30x + 20y)$元。
再计算商贩卖黄瓜的总收入：
一共买了$30+20=50$千克，每千克售价$\frac{x+y}{2}$元，总收入为$50× \frac{x+y}{2}=25(x+y)$元。
已知商贩赔了钱，说明总成本＞总收入，可列不等式：
$30x + 20y ＞ 25(x + y)$
展开右边得：$30x + 20y ＞ 25x + 25y$
移项得：$30x - 25x ＞ 25y - 20y$
合并同类项得：$5x ＞ 5y$
不等式两边同时除以5（正数，不等号方向不变），得：$x ＞ y$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；不等式的实际应用；不等式的性质
【点评】
本题结合生活中的买卖盈亏场景考查不等式的应用，解题的核心是找准盈亏对应的数量关系，将实际问题转化为数学不等式求解，整体逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
要判断商贩赔钱的原因，首先明确赔钱的本质是购买黄瓜的总成本大于卖出黄瓜的总收入。我们可以先分别表示出总成本和总收入，再根据“总成本＞总收入”列出不等式，求解不等式就能得到x和y的大小关系。
【解析】
首先计算商贩买黄瓜的总成本：
上午买30千克花费30x元，下午买20千克花费20y元，总成本为$(30x + 20y)$元。
再计算商贩卖黄瓜的总收入：
一共买了$30+20=50$千克，每千克售价$\frac{x+y}{2}$元，总收入为$50× \frac{x+y}{2}=25(x+y)$元。
已知商贩赔了钱，说明总成本＞总收入，可列不等式：
$30x + 20y ＞ 25(x + y)$
展开右边得：$30x + 20y ＞ 25x + 25y$
移项得：$30x - 25x ＞ 25y - 20y$
合并同类项得：$5x ＞ 5y$
不等式两边同时除以5（正数，不等号方向不变），得：$x ＞ y$
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
列代数式；不等式的实际应用；不等式的性质
【点评】
本题结合生活中的买卖盈亏场景考查不等式的应用，解题的核心是找准盈亏对应的数量关系，将实际问题转化为数学不等式求解，整体逻辑清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7
13.分解因式：
(1)$4m(a-b)+2n(b-a)$；
(2)$a^3 -6a^2 +9a$；
(3)$a(x-y)+b(y-x)$。
(1)$4m(a-b)+2n(b-a)$；
(2)$a^3 -6a^2 +9a$；
(3)$a(x-y)+b(y-x)$。
答案
13.(1)$2(a-b)(2m-n)$
(2)$a(a-3)^2$
(3)$(x-y)(a-b)$
(2)$a(a-3)^2$
(3)$(x-y)(a-b)$
解析
【分析】
因式分解的核心思路是先提取公因式，再看剩余部分是否可用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。解题时首先观察各项的公因式，注意若出现互为相反数的多项式因式，可通过变号转化为相同的公因式：
(1)中$(b-a)$与$(a-b)$互为相反数，可变形为$-(a-b)$，再提取公因式$2(a-b)$即可；
(2)先提取公因式$a$，剩余的二次三项式符合完全平方公式的特征，可继续分解；
(3)同理，$(y-x)$变形为$-(x-y)$，再提取公因式$(x-y)$即可。
【解析】
(1) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，可得：
$\begin{aligned}原式&=4m(a-b)-2n(a-b)\\&=2(a-b)(2m-n)\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$a$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^2-6a+9)\\&=a(a-3)^2\end{aligned}$
(3) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，可得：
$\begin{aligned}原式&=a(x-y)-b(x-y)\\&=(x-y)(a-b)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2(a-b)(2m-n)$；(2)$a(a-3)^2$；(3)$(x-y)(a-b)$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
这组题目是因式分解的常规基础题，重点考查公因式的提取方法，解题时要注意互为相反数的因式需先统一形式，提取公因式后需检查剩余部分是否能继续分解，保证最终结果满足因式分解的要求。
【难度系数】
0.75
因式分解的核心思路是先提取公因式，再看剩余部分是否可用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止。解题时首先观察各项的公因式，注意若出现互为相反数的多项式因式，可通过变号转化为相同的公因式：
(1)中$(b-a)$与$(a-b)$互为相反数，可变形为$-(a-b)$，再提取公因式$2(a-b)$即可；
(2)先提取公因式$a$，剩余的二次三项式符合完全平方公式的特征，可继续分解；
(3)同理，$(y-x)$变形为$-(x-y)$，再提取公因式$(x-y)$即可。
【解析】
(1) 先将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，可得：
$\begin{aligned}原式&=4m(a-b)-2n(a-b)\\&=2(a-b)(2m-n)\end{aligned}$
(2) 先提取公因式$a$，再用完全平方公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a(a^2-6a+9)\\&=a(a-3)^2\end{aligned}$
(3) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，可得：
$\begin{aligned}原式&=a(x-y)-b(x-y)\\&=(x-y)(a-b)\end{aligned}$
【答案】
(1)$2(a-b)(2m-n)$；(2)$a(a-3)^2$；(3)$(x-y)(a-b)$
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
这组题目是因式分解的常规基础题，重点考查公因式的提取方法，解题时要注意互为相反数的因式需先统一形式，提取公因式后需检查剩余部分是否能继续分解，保证最终结果满足因式分解的要求。
【难度系数】
0.75
14.若方程组$\begin{cases}3x+4y=2, \\ax+\dfrac{b}{2}y=5\end{cases}$与$\begin{cases}\dfrac{a}{3}x-by=4, \\2x-y=5\end{cases}$有相同的解，求$a$和$b$的值.
答案
14.$a=3,b=2$
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个解是四个方程的公共解。我们可以先把不含参数a、b的两个方程组合成新的方程组，先求出x和y的值，再将x、y的值代入含有a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a和b的值。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足方程$3x+4y=2$和$2x-y=5$，联立这两个方程得：
$\begin{cases}3x+4y=2 ①\\2x-y=5 ②\end{cases}$
由②得：$y=2x-5$ ③
把③代入①：
$3x+4(2x-5)=2$
$3x+8x-20=2$
$11x=22$
解得$x=2$
把$x=2$代入③得：$y=2×2-5=-1$
把$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$分别代入剩下的两个含a、b的方程，得到：
$\begin{cases}2a+\frac{b}{2}×(-1)=5 ④\\\frac{a}{3}×2 - b×(-1)=4 ⑤\end{cases}$
化简④：两边同乘2得$4a - b=10$ ⑥
化简⑤：两边同乘3得$2a + 3b=12$ ⑦
联立⑥⑦求解：
由⑥得$b=4a-10$，代入⑦：
$2a + 3(4a -10)=12$
$2a +12a -30=12$
$14a=42$
解得$a=3$
把$a=3$代入⑥：$4×3 -b=10$，解得$b=2$
【答案】
$a=3,b=2$
【知识点】
同解方程组，二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解
【点评】
本题核心是利用同解的性质，先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解未知参数，是二元一次方程组章节的典型应用题型，掌握同解的含义是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个解是四个方程的公共解。我们可以先把不含参数a、b的两个方程组合成新的方程组，先求出x和y的值，再将x、y的值代入含有a、b的两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出a和b的值。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足方程$3x+4y=2$和$2x-y=5$，联立这两个方程得：
$\begin{cases}3x+4y=2 ①\\2x-y=5 ②\end{cases}$
由②得：$y=2x-5$ ③
把③代入①：
$3x+4(2x-5)=2$
$3x+8x-20=2$
$11x=22$
解得$x=2$
把$x=2$代入③得：$y=2×2-5=-1$
把$\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}$分别代入剩下的两个含a、b的方程，得到：
$\begin{cases}2a+\frac{b}{2}×(-1)=5 ④\\\frac{a}{3}×2 - b×(-1)=4 ⑤\end{cases}$
化简④：两边同乘2得$4a - b=10$ ⑥
化简⑤：两边同乘3得$2a + 3b=12$ ⑦
联立⑥⑦求解：
由⑥得$b=4a-10$，代入⑦：
$2a + 3(4a -10)=12$
$2a +12a -30=12$
$14a=42$
解得$a=3$
把$a=3$代入⑥：$4×3 -b=10$，解得$b=2$
【答案】
$a=3,b=2$
【知识点】
同解方程组，二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解
【点评】
本题核心是利用同解的性质，先求解不含参数的方程组得到公共解，再代入含参数的方程求解未知参数，是二元一次方程组章节的典型应用题型，掌握同解的含义是解题的突破口。
【难度系数】
0.7
15.张老师带领全班学生到植物园参观，门票每张5元，购票的时候才发现所带的钱不足，售票员告诉他：如果参观人数50人以上(包括50人)，可以按团体票八折优惠.于是张老师购买了50张团体票，结果发现所带的钱还有剩余，那么到植物园参观的至少有多少人？
答案
15.41人
解析
【分析】
这是一元一次不等式的实际应用题，解题时先找核心不等关系：首先设参观总人数为x人，①按原价买x张门票的总费用 ＞ 张老师带的钱（原购票钱不足）；②50张团体票的总费用 ＜ 张老师带的钱（买团体票后有剩余）。联立两个关系消去总钱数就能得到关于x的不等式，结合人数是正整数的实际要求取最小整数值即可。
【解析】
解：设到植物园参观的总人数为x人。
先计算50张团体票的总费用：$5×50×80\%=200$（元）
根据题意，原价购买x张票的费用大于200元（原价购票钱不够，买200元的团体票还有剩余，说明原价x张票的费用比200元高），列不等式：
$5x＞200$
解得：$x＞40$
因为人数是正整数，所以x的最小正整数值为41。
【答案】
41人
【知识点】
一元一次不等式的应用、不等式的求解
【点评】
本题是生活中常见的优惠购票类问题，核心是准确梳理两种购票方案和所带钱数的不等关系，解题时要注意结合人数为正整数的实际条件取最终结果，注意不要弄错不等号的方向。
【难度系数】
0.7
这是一元一次不等式的实际应用题，解题时先找核心不等关系：首先设参观总人数为x人，①按原价买x张门票的总费用 ＞ 张老师带的钱（原购票钱不足）；②50张团体票的总费用 ＜ 张老师带的钱（买团体票后有剩余）。联立两个关系消去总钱数就能得到关于x的不等式，结合人数是正整数的实际要求取最小整数值即可。
【解析】
解：设到植物园参观的总人数为x人。
先计算50张团体票的总费用：$5×50×80\%=200$（元）
根据题意，原价购买x张票的费用大于200元（原价购票钱不够，买200元的团体票还有剩余，说明原价x张票的费用比200元高），列不等式：
$5x＞200$
解得：$x＞40$
因为人数是正整数，所以x的最小正整数值为41。
【答案】
41人
【知识点】
一元一次不等式的应用、不等式的求解
【点评】
本题是生活中常见的优惠购票类问题，核心是准确梳理两种购票方案和所带钱数的不等关系，解题时要注意结合人数为正整数的实际条件取最终结果，注意不要弄错不等号的方向。
【难度系数】
0.7
