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9. 在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.
(1) 如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F.
① 求证:△ABD是等边三角形；
② 求证:BF⊥AD，AF=DF；
③ 求BE的长；
(2) 在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，求出BE+CE的值.
(1) 如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F.
① 求证:△ABD是等边三角形；
② 求证:BF⊥AD，AF=DF；
③ 求BE的长；
(2) 在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，求出BE+CE的值.
答案
(1) ① 证明:$\because △ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ADE$,$\therefore AB=AD$,$∠BAD=60°$,$\therefore △ABD$是等边三角形. ② 证明:由①得$△ABD$是等边三角形,$\therefore AB=BD$.$\because △ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ADE$,$\therefore AC=AE$,$BC=DE$. 又$\because AC=BC$,$\therefore AE=DE$,$\therefore$点B,E在AD的中垂线上,$\therefore BE⊥AD$.$\because$点F在BE的延长线上,$\therefore BF⊥AD$,$AF=DF$. ③ 由②知$BF⊥AD$,$AF=DF$,$\therefore AF=DF=3$.$\because AE=AC=5$,$\therefore EF=4$.$\because$在等边三角形ABD中,$BF=3\sqrt{3}$,$\therefore BE=BF-EF=3\sqrt{3}-4$. (2) 如图,$\because ∠DAG=∠ACB$,$∠DAE=∠BAC$,$\therefore ∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°$. 又$∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°$,$\therefore ∠BAE=∠ABC$.$\because AC=BC=AE$,$\therefore ∠BAC=∠ABC$,$\therefore ∠BAE=∠BAC$,$\therefore AB⊥CE$,且$CH=HE=\frac{1}{2}CE$.$\because AC=BC$,$\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=3$,则$CE=2CH=8$,$BE=5$,$\therefore BE+CE=13$.解析
【分析】
(1)①要证明△ABD是等边三角形，可结合旋转性质得到AB=AD且旋转角∠BAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证；
②要证BF⊥AD且AF=DF，只需证明BE是AD的垂直平分线：由①得AB=BD，再由旋转性质得AC=AE、BC=DE，结合AC=BC可推得AE=DE，因此点B、E都在AD的垂直平分线上，即可得证；
③求BE的长可分别求BF和EF的长度再作差：先由等边三角形性质求BF的长，再用勾股定理求EF的长，二者相减即可得到BE；
(2)先通过角度等量代换推导出∠BAE=∠BAC，结合AC=BC=AE可得AB垂直平分CE，利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出CE的长度，再根据垂直平分线的性质得BE=BC=5，即可求出BE+CE的和，注意结合“DG与AE无公共点”的条件确认图形位置。
【解析】
(1)①证明：$\because △ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ADE$，$\therefore AB=AD$，$∠BAD=60°$，$\therefore △ABD$是等边三角形。
②证明：由①得$△ABD$是等边三角形，$\therefore AB=BD$。$\because △ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ADE$，$\therefore AC=AE$，$BC=DE$。又$\because AC=BC$，$\therefore AE=DE$，$\therefore$点B,E在AD的中垂线上，$\therefore BE⊥AD$。$\because$点F在BE的延长线上，$\therefore BF⊥AD$，$AF=DF$。
③解：由②知$BF⊥AD$，$AF=DF$，$\therefore AF=DF=\frac{1}{2}AB=3$。$\because AE=AC=5$，在$Rt△AEF$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。$\because$在等边三角形ABD中，$BF=AB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，$\therefore BE=BF-EF=3\sqrt{3}-4$。
(2)解：$\because ∠DAG=∠ACB$，$∠DAE=∠BAC$，又$\because ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°$，$∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°$，$\therefore ∠BAE=∠ABC$。$\because AC=BC$，$\therefore ∠BAC=∠ABC$，$\therefore ∠BAE=∠BAC$。又$\because AC=AE=5$，$\therefore AB⊥CE$，且$CH=HE=\frac{1}{2}CE$（等腰三角形三线合一）。$\because AC=BC$，$AB⊥CE$，$\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=3$。在$Rt△ACH$中，$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，$\therefore CE=2CH=8$。$\because AB$垂直平分$CE$，$\therefore BE=BC=5$，$\therefore BE+CE=5+8=13$。
【答案】
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了图形旋转的性质、特殊三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形、等边三角形的相关定理逐步推导，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)①要证明△ABD是等边三角形，可结合旋转性质得到AB=AD且旋转角∠BAD=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”即可得证；
②要证BF⊥AD且AF=DF，只需证明BE是AD的垂直平分线：由①得AB=BD，再由旋转性质得AC=AE、BC=DE，结合AC=BC可推得AE=DE，因此点B、E都在AD的垂直平分线上，即可得证；
③求BE的长可分别求BF和EF的长度再作差：先由等边三角形性质求BF的长，再用勾股定理求EF的长，二者相减即可得到BE；
(2)先通过角度等量代换推导出∠BAE=∠BAC，结合AC=BC=AE可得AB垂直平分CE，利用等腰三角形三线合一和勾股定理求出CE的长度，再根据垂直平分线的性质得BE=BC=5，即可求出BE+CE的和，注意结合“DG与AE无公共点”的条件确认图形位置。
【解析】
(1)①证明：$\because △ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ADE$，$\therefore AB=AD$，$∠BAD=60°$，$\therefore △ABD$是等边三角形。
②证明：由①得$△ABD$是等边三角形，$\therefore AB=BD$。$\because △ABC$绕点A顺时针旋转$60°$得到$△ADE$，$\therefore AC=AE$，$BC=DE$。又$\because AC=BC$，$\therefore AE=DE$，$\therefore$点B,E在AD的中垂线上，$\therefore BE⊥AD$。$\because$点F在BE的延长线上，$\therefore BF⊥AD$，$AF=DF$。
③解：由②知$BF⊥AD$，$AF=DF$，$\therefore AF=DF=\frac{1}{2}AB=3$。$\because AE=AC=5$，在$Rt△AEF$中，由勾股定理得$EF=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。$\because$在等边三角形ABD中，$BF=AB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，$\therefore BE=BF-EF=3\sqrt{3}-4$。
(2)解：$\because ∠DAG=∠ACB$，$∠DAE=∠BAC$，又$\because ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°$，$∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°$，$\therefore ∠BAE=∠ABC$。$\because AC=BC$，$\therefore ∠BAC=∠ABC$，$\therefore ∠BAE=∠BAC$。又$\because AC=AE=5$，$\therefore AB⊥CE$，且$CH=HE=\frac{1}{2}CE$（等腰三角形三线合一）。$\because AC=BC$，$AB⊥CE$，$\therefore AH=BH=\frac{1}{2}AB=3$。在$Rt△ACH$中，$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，$\therefore CE=2CH=8$。$\because AB$垂直平分$CE$，$\therefore BE=BC=5$，$\therefore BE+CE=5+8=13$。
【答案】
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了图形旋转的性质、特殊三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，结合等腰三角形、等边三角形的相关定理逐步推导，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图，已知点O为正方形ABCD的中心，分别延长OA，OD到点F，E，使$OF=2OA$，$OE=2OD$，连接EF.将$△ EOF$绕点O逆时针旋转角$α$得到$△ E_1OF_1$，连接$AE_1$，$BF_1$，OB.
（1）探究$AE_1$与$BF_1$的数量关系，并给予证明；
（2）当$α=30°$时，求证：$△ AOE_1$为直角三角形.
（1）探究$AE_1$与$BF_1$的数量关系，并给予证明；
（2）当$α=30°$时，求证：$△ AOE_1$为直角三角形.
答案
(1) $AE_1=BF_1$ 证$△E_1AO≌△F_1BO$即可得出结论. (2) 取$OE_1$的中点G,连接AG,证$∠GAE_1=∠AE_1G=30°$,即可得出结论.
解析
【分析】
（1）要探究$AE_1$与$BF_1$的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用正方形的性质得到$OA=OB$、$∠ AOB=90°$，再结合旋转的性质得到$OE_1=OF_1$、$∠ E_1OF_1=90°$，进而推出夹角$∠ E_1OA=∠ F_1OB$，满足SAS全等判定条件，即可得到结论。
（2）当$α=30°$时，要证$△ AOE_1$为直角三角形，结合已知$OE_1=2OA$，可通过取$OE_1$中点构造辅助线，先证明$△ AOG$是等边三角形，再利用等腰三角形的性质推导$∠ OAE_1=90°$即可得证。
【解析】
（1）$AE_1=BF_1$，证明如下：
$\because$ O是正方形ABCD的中心，
$\therefore OA=OB$，$∠ AOB=90°$。
由旋转的性质可知：$OE_1=OF_1$，$∠ E_1OF_1=∠ EOF=∠ AOD=90°$，
$\therefore ∠ E_1OF_1 - ∠ AOF_1 = ∠ AOB - ∠ AOF_1$，即$∠ E_1OA=∠ F_1OB$。
在$△ E_1AO$和$△ F_1BO$中：
$\begin{cases}OE_1=OF_1 \\∠ E_1OA=∠ F_1OB \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ E_1AO ≌ △ F_1BO \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE_1=BF_1$。
（2）证明：取$OE_1$的中点G，连接AG。
$\because$ O是正方形ABCD的中心，$\therefore OA=OD$，
$\because OE=2OD$，旋转后$OE_1=OE$，
$\therefore OE_1=2OA$，
$\because$ G是$OE_1$的中点，$\therefore OG=GE_1=\frac{1}{2}OE_1=OA$。
$\because$ 旋转角$α=30°$，$\therefore ∠ E_1OD=30°$，
又$\because ∠ AOD=90°$，$\therefore ∠ AOE_1=90°-30°=60°$，
$\therefore △ AOG$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AG=OG=GE_1$，$∠ OAG=60°$，
$\therefore △ AGE_1$是等腰三角形，$∠ GAE_1=∠ GE_1A$。
$\because ∠ AGE=180°-∠ AGO=180°-60°=120°$，
$\therefore ∠ GAE_1=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
$\therefore ∠ OAE_1=∠ OAG + ∠ GAE_1=60°+30°=90°$，
$\therefore △ AOE_1$为直角三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AE_1=BF_1}$，证明见解析；（2）证明见解析。
【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合常见题型，将正方形、旋转与三角形的判定性质结合考查，解题的关键是合理利用旋转的性质得到相等的边和角，构造全等三角形或特殊三角形推导结论。
【难度系数】
0.65
（1）要探究$AE_1$与$BF_1$的数量关系，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用正方形的性质得到$OA=OB$、$∠ AOB=90°$，再结合旋转的性质得到$OE_1=OF_1$、$∠ E_1OF_1=90°$，进而推出夹角$∠ E_1OA=∠ F_1OB$，满足SAS全等判定条件，即可得到结论。
（2）当$α=30°$时，要证$△ AOE_1$为直角三角形，结合已知$OE_1=2OA$，可通过取$OE_1$中点构造辅助线，先证明$△ AOG$是等边三角形，再利用等腰三角形的性质推导$∠ OAE_1=90°$即可得证。
【解析】
（1）$AE_1=BF_1$，证明如下：
$\because$ O是正方形ABCD的中心，
$\therefore OA=OB$，$∠ AOB=90°$。
由旋转的性质可知：$OE_1=OF_1$，$∠ E_1OF_1=∠ EOF=∠ AOD=90°$，
$\therefore ∠ E_1OF_1 - ∠ AOF_1 = ∠ AOB - ∠ AOF_1$，即$∠ E_1OA=∠ F_1OB$。
在$△ E_1AO$和$△ F_1BO$中：
$\begin{cases}OE_1=OF_1 \\∠ E_1OA=∠ F_1OB \\OA=OB\end{cases}$
$\therefore △ E_1AO ≌ △ F_1BO \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore AE_1=BF_1$。
（2）证明：取$OE_1$的中点G，连接AG。
$\because$ O是正方形ABCD的中心，$\therefore OA=OD$，
$\because OE=2OD$，旋转后$OE_1=OE$，
$\therefore OE_1=2OA$，
$\because$ G是$OE_1$的中点，$\therefore OG=GE_1=\frac{1}{2}OE_1=OA$。
$\because$ 旋转角$α=30°$，$\therefore ∠ E_1OD=30°$，
又$\because ∠ AOD=90°$，$\therefore ∠ AOE_1=90°-30°=60°$，
$\therefore △ AOG$是等边三角形（有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形），
$\therefore AG=OG=GE_1$，$∠ OAG=60°$，
$\therefore △ AGE_1$是等腰三角形，$∠ GAE_1=∠ GE_1A$。
$\because ∠ AGE=180°-∠ AGO=180°-60°=120°$，
$\therefore ∠ GAE_1=\frac{1}{2}×(180°-120°)=30°$，
$\therefore ∠ OAE_1=∠ OAG + ∠ GAE_1=60°+30°=90°$，
$\therefore △ AOE_1$为直角三角形。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AE_1=BF_1}$，证明见解析；（2）证明见解析。
【知识点】
正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合常见题型，将正方形、旋转与三角形的判定性质结合考查，解题的关键是合理利用旋转的性质得到相等的边和角，构造全等三角形或特殊三角形推导结论。
【难度系数】
0.65
