1. [河南竞赛] 已知 $ a＞0, b＞a+c $，判断关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根的情况，并给出必要的说明。

①当 $ c≥0 $ 时，$\because a＞0,b＞a+c$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac＞(a+c)^2-4ac=a^2+c^2-2ac=(a-c)^2≥0$，即 $\Delta＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
②当 $ c＜0 $ 时，$\because a＞0,\therefore ac＜0$，
$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
综上所述，方程有两个不相等的实数根。

2. [2026 昆明期末] 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 +1 =0$.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围;
(2)若$x=3$是方程的一个根,求证:$k^4 -2k^2 +1 =20k^2 -48$.

(1) $\because$ 方程有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+1)＞0$，即 $4k-3＞0$，
解得 $k＞\frac{3}{4}$。
(2) $\because x=3$ 是方程的一个根，
$\therefore 3^2-3(2k+1)+k^2+1=0$，则 $k^2-6k=-7,k^2=6k-7$，
$\therefore k^4-2k^2+1=(k^2-1)^2=(6k-8)^2=36k^2-96k+64=36(6k-7)-96k+64=216k-252-96k+64=120k-188$，$20k^2-48=20(6k-7)-48=120k-140-48=120k-188$，
$\therefore k^4-2k^2+1=20k^2-48$。

3.关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2mx + 2m - 1 = 0$.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个根为$x_1,x_2$,且$(x_1 - 2)(x_2 - 2)=10$,求$m$的值;
(3)若方程有一个根不小于5,求$m$的取值范围.

(1) $\because \Delta=(2m)^2-4(2m-1)=4m^2-8m+4=(2m-2)^2≥0$，$\therefore$ 方程总有两个实数根。
(2) $\because x_1,x_2$ 是方程 $x^2+2mx+2m-1=0$ 的两根，
$\therefore x_1+x_2=-2m,x_1x_2=2m-1$，
$\therefore (x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=2m-1-2(-2m)+4=6m+3=10$，解得 $m=\frac{7}{6}$。
(3) $\because x^2+2mx+2m-1=0$，即 $(x+1)(x+2m-1)=0$，
$\therefore x_1=-1,x_2=-2m+1$，
$\because$ 方程有一个根不小于5，
$\therefore -2m+1≥5,\therefore m≤-2$。

4. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (3m + 1)x + ( \frac{3}{2}m )^2 + \frac{1}{2} = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ m $ 的取值范围；
(2) 若 $ m $ 为(1)中符合条件的最小正整数，设此时对应的一元二次方程的两个实数根分别为 $ a, b $，求代数式 $ \frac{1}{4}a^3 + \frac{1}{4}a^2b - 4a $ 的值.

(1) 根据题意，得 $\Delta=[-(3m+1)]^2-4[(\frac{3}{2}m)^2+\frac{1}{2}]=6m-1＞0$，解得 $m＞\frac{1}{6}$。
(2) $\because m$ 为(1)中符合条件的最小正整数，
$\therefore m=1$。
$\therefore$ 对应的一元二次方程为 $x^2-4x+\frac{11}{4}=0$。
$\because$ 该一元二次方程的两个实数根分别为 $a,b$，
$\therefore a+b=4,a^2-4a+\frac{11}{4}=0$。
$\therefore a^2-4a=-\frac{11}{4}$。
$\therefore \frac{1}{4}a^3+\frac{1}{4}a^2b-4a=\frac{1}{4}a^2(a+b)-4a=\frac{1}{4}a^2×4-4a=a^2-4a=-\frac{11}{4}$。

5. 新视角 新定义题 若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。例如：一元二次方程$x^2-9x+18=0$的两个根是3和6，则方程$x^2-9x+18=0$是“倍根方程”。
(1)若关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+k=0$是“倍根方程”，求$k$的值；
(2)若关于$x$的一元二次方程$nx^2-(3n+3m)x+8m=0(n≠0)$是“倍根方程”，求该方程的根。

(1)设这个方程的两个根分别为 $α$ 和 $2α$，则 $α+2α=-\frac{-6}{1}=6$，解得 $α=2$，即这个方程的一个根为2。
将 $x=2$ 代入方程 $x^2-6x+k=0$，得 $4-12+k=0$，解得 $k=8$。
(2)设这个方程的两个根分别为 $β$ 和 $2β$，
由题意得 $\begin{cases}β+2β=\frac{3n+3m}{n},①\\β·2β=\frac{8m}{n},②\end{cases}$
整理得 $(m-n)^2=0,\therefore m=n$。
将 $m=n$ 代入①，得 $β+2β=\frac{3n+3n}{n}=6$，解得 $β=2$。
$\therefore 2β=2×2=4$。$\therefore$ 该方程的根为 $x_1=2,x_2=4$。