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10. 已知整式$A=1+a+a^2+a^3+a^4+\dots+a^{n-1}+n$（$n$是正整数，$a≠0$）。
①当$n=2$时，$A=a+3$；
②当$a=2$，$n=64$时，$A=2^{64}+63$；
③当$a=-1$，$A=6$时，$n=5$。
其中正确的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
①当$n=2$时，$A=a+3$；
②当$a=2$，$n=64$时，$A=2^{64}+63$；
③当$a=-1$，$A=6$时，$n=5$。
其中正确的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
逐个判断三个结论：
①当n=2时，代入整式A得：$A=1+a^{2-1}+2=1+a+2=a+3$，结论正确；
②当$a=2$，$n=64$时，等比数列和$1+2+2^2+\dots+2^{63}=2^{64}-1$，因此$A=(2^{64}-1)+64=2^{64}+63$，结论正确；
③当$a=-1$时，若n为奇数，前半部分和为1，由$A=1+n=6$得$n=5$；若n为偶数，前半部分和为0，由$A=0+n=6$得$n=6$，因此$A=6$时$n=5$或$n=6$，结论错误。
综上正确的结论共2个。
①当n=2时，代入整式A得：$A=1+a^{2-1}+2=1+a+2=a+3$，结论正确；
②当$a=2$，$n=64$时，等比数列和$1+2+2^2+\dots+2^{63}=2^{64}-1$，因此$A=(2^{64}-1)+64=2^{64}+63$，结论正确；
③当$a=-1$时，若n为奇数，前半部分和为1，由$A=1+n=6$得$n=5$；若n为偶数，前半部分和为0，由$A=0+n=6$得$n=6$，因此$A=6$时$n=5$或$n=6$，结论错误。
综上正确的结论共2个。
11.已知$x=\sqrt{5}+1$，则$x^2 -2x -4=$。
答案
$\boldsymbol{0}$
解析
解：
由$x=\sqrt{5}+1$，可得$x-1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(x-1)^2=(\sqrt{5})^2$，
展开得：$x^2-2x+1=5$，
整理得：$x^2-2x=4$，
将$x^2-2x=4$代入$x^2-2x-4$，得：
原式$=4-4=0$。
最终
由$x=\sqrt{5}+1$，可得$x-1=\sqrt{5}$，
两边平方得：$(x-1)^2=(\sqrt{5})^2$，
展开得：$x^2-2x+1=5$，
整理得：$x^2-2x=4$，
将$x^2-2x=4$代入$x^2-2x-4$，得：
原式$=4-4=0$。
最终
12.已知关于x的多项式$2x^2 - 5x + k$的一个因式是$x + 3$，则实数k的值是。
答案
$\boldsymbol{-33}$
解析
解：设多项式$2x^2 - 5x + k$的另一个因式为$2x + m$，则
$2x^2 -5x +k = (x+3)(2x+m)$
将等式右边展开：
$(x+3)(2x+m) = 2x^2 + (m+6)x + 3m$
对比等式两边对应项的系数，得：
$m + 6 = -5$
解得$m=-11$。
由常数项对应相等可知$k=3m$，代入$m=-11$得：
$k=3×(-11)=-33$
$2x^2 -5x +k = (x+3)(2x+m)$
将等式右边展开：
$(x+3)(2x+m) = 2x^2 + (m+6)x + 3m$
对比等式两边对应项的系数，得：
$m + 6 = -5$
解得$m=-11$。
由常数项对应相等可知$k=3m$，代入$m=-11$得：
$k=3×(-11)=-33$
13. 根据下面的拼图过程,写出一个多项式的因式分解:。
答案
解：
计算左侧四个图形的面积之和：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
拼接后大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
因此得到因式分解：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
计算左侧四个图形的面积之和：
$x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$
拼接后大长方形的长为$x+4$，宽为$x+2$，面积为$(x+2)(x+4)$
因此得到因式分解：
$x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)$
14. 因式定理:对于多项式$f(x)$，若$f(a)=0$，则$x-a$是$f(x)$的一个因式，并且可以通过添减单项式，将其从$f(x)$中分离出来。例如，$f(x)=2x^3 -3x +1$，由于$f(1)=0$，所以$x-1$是$f(x)$的一个因式，于是$f(x)=2x^3 -2x^2 +2x^2 -2x -x +1=(x-1)×g(x)$，则$g(x)=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$\boldsymbol{2x^2+2x-1}$
解析
解：
对多项式分组提取公因式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1\\&=2x^2(x-1) + 2x(x-1) - (x-1)\\&=(x-1)(2x^2 + 2x - 1)\end{aligned}$
对比$f(x)=(x-1)× g(x)$，可得$g(x)=2x^2+2x-1$。
最终
对多项式分组提取公因式：
$\begin{aligned}f(x)&=2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 2x - x + 1\\&=2x^2(x-1) + 2x(x-1) - (x-1)\\&=(x-1)(2x^2 + 2x - 1)\end{aligned}$
对比$f(x)=(x-1)× g(x)$，可得$g(x)=2x^2+2x-1$。
最终
15. 把下列各式因式分解：
(1)$3(a+b)^2 + 6(a+b)$；
(2)$(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}$。
(1)$3(a+b)^2 + 6(a+b)$；
(2)$(x+1)(x+2) + \frac{1}{4}$。
答案
解：
(1) 原式$=3(a+b)·(a+b) + 3(a+b)·2$
$=3(a+b)(a+b+2)$
(2) 原式$=x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}$
$=x^2 + 3x + \frac{9}{4}$
$=(x + \frac{3}{2})^2$
(1) 原式$=3(a+b)·(a+b) + 3(a+b)·2$
$=3(a+b)(a+b+2)$
(2) 原式$=x^2 + 3x + 2 + \frac{1}{4}$
$=x^2 + 3x + \frac{9}{4}$
$=(x + \frac{3}{2})^2$
16.已知实数 $a,b,c,m,n$ 满足 $2m+n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。求证：$b^2 -8ac$ 为非负数。
答案
证明：
由题意可知$a≠0$，将已知两式两边同乘$a$，得：
$2am + an = b, \quad amn = c$
将$b$、$c$代入$b^2 - 8ac$，得：
$\begin{aligned}b^2 - 8ac&=[a(2m+n)]^2 - 8a· (amn)\\&=a^2(4m^2 + 4mn + n^2) - 8a^2mn\\&=4a^2m^2 + 4a^2mn + a^2n^2 - 8a^2mn\\&=4a^2m^2 - 4a^2mn + a^2n^2\\&=a^2(4m^2 -4mn +n^2)\\&=a^2(2m -n)^2\end{aligned}$
因为$a,m,n$均为实数，所以$a^2≥0$，$(2m-n)^2≥0$，
因此$a^2(2m-n)^2≥0$，即$b^2 -8ac≥0$，
故$b^2 -8ac$为非负数。
由题意可知$a≠0$，将已知两式两边同乘$a$，得：
$2am + an = b, \quad amn = c$
将$b$、$c$代入$b^2 - 8ac$，得：
$\begin{aligned}b^2 - 8ac&=[a(2m+n)]^2 - 8a· (amn)\\&=a^2(4m^2 + 4mn + n^2) - 8a^2mn\\&=4a^2m^2 + 4a^2mn + a^2n^2 - 8a^2mn\\&=4a^2m^2 - 4a^2mn + a^2n^2\\&=a^2(4m^2 -4mn +n^2)\\&=a^2(2m -n)^2\end{aligned}$
因为$a,m,n$均为实数，所以$a^2≥0$，$(2m-n)^2≥0$，
因此$a^2(2m-n)^2≥0$，即$b^2 -8ac≥0$，
故$b^2 -8ac$为非负数。
