15.在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,点 $ A $ 的坐标为 $ (8,5) $,$ \odot A $ 与 $ x $ 轴相切,点 $ P $ 在 $ y $ 轴上,$ PB $ 与 $ \odot A $ 相切于点 $ B $.若 $ ∠ APB = 30° $,则点 $ P $ 的坐标为 ______.

15.$(0,11)$或$(0,-1)$

16.已知直线$l_{1}// l_{2}$，$l_{1}$，$l_{2}$之间的距离是5 cm，圆心$O$到直线$l_{1}$的距离是2 cm，如果$\odot O$与直线$l_{1}$，$l_{2}$有三个公共点，那么$\odot O$的半径为$\underline{\hspace{5cm}}$cm.

16.3或7

17.(2025·金坛区期中)在平面直角坐标系中,以点$(3,-4)$为圆心,$r$为半径的圆与坐标轴有且只有3个公共点,则$r$的值为________.

17.4或5

18.(2025·盐城模拟)如图,$\odot O$的半径$OA=3$,B是$\odot O$上的动点(不与点A重合),过点B作$\odot O$的切线BC,且$BC=OA$,连接OC,AC.当$△ OAC$是直角三角形时,其斜边长为________.

18.$3\sqrt{3}$或$3\sqrt{2}$

19. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$AB ⊥ AC$,$AB=6$,$BC=10$,点 $P$ 在对角线 $AC$ 上运动(点 $P$ 不与点 $A$ 重合),以点 $P$ 为圆心,$PA$ 的长为半径作$\odot P$.
(1)当$\odot P$与边 $CD$ 相切时,$AP=$ ______;
(2)当$\odot P$与边 $BC$ 相切时,求 $AP$ 的长;
(3)随着 $AP$ 的变化,$\odot P$ 与平行四边形 $ABCD$ 的边的公共点的个数也在变化.请根据 $AP$ 的取值范围探索$\odot P$ 与平行四边形 $ABCD$ 的边的公共点的个数.

19.(1)4
(2)解:如答图①所示,当$\odot P$与边BC相切时,设切点为E,连接PE.
$\therefore AP=PE,PE⊥ BC.$
$\because AB⊥ AC,\therefore BA$是$\odot P$的切线,
$\therefore BE=AB=6,\therefore CE=BC-BE=4.$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=6,BC=10$,则$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8.$
设$AP=PE=x$,则$CP=AC-AP=8-x.$
在$\mathrm{Rt}△ PEC$中,由勾股定理,得$CP^2=CE^2+PE^2$,
$\therefore (8-x)^2=4^2+x^2$,解得$x=3,\therefore AP=3.$
(3)解:由(2)可知,当$AP=3$时,$\odot P$与$BC$相切,此时$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3.
如答图②所示,当$0＜AP＜3$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2.
由(1)可知当$AP=4$时,$\odot P$与$CD$相切,此时$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4.
如答图③所示,当$3＜AP＜4$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4.
如答图④所示,当$\odot P$恰好经过点D时,此时$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3.
连接$DP$,设$AP=PD=y$,则$CP=AC-AP=8-y.$
在平行四边形$ABCD$中,$AB// CD$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BAC=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ PDC$中,由勾股定理,得$DP^2=CP^2+CD^2$,
$\therefore y^2=(8-y)^2+6^2$,
解得$y=\frac{25}{4}.$
如答图⑤所示,当$4＜AP＜\frac{25}{4}$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4.
如答图⑥所示,当$\frac{25}{4}＜AP≤ 8$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2.
综上所述,
当$0＜AP＜3$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2;
当$AP=3$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3;
当$3＜AP＜\frac{25}{4}$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为4;
当$AP=\frac{25}{4}$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为3;
当$\frac{25}{4}＜AP≤ 8$时,$\odot P$与平行四边形$ABCD$的边的公共点的个数为2.

20.如图,将半径为 4 的圆形纸片沿半径 OA,OB 截成 1:5 两部分,用所得的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的底面圆半径为
()

A.2
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{2}{3}$或$\frac{10}{3}$
D.$\frac{1}{3}$或$\frac{5}{3}$

20.C

21.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=20$,$BC=15$,绕$\mathrm{Rt}△ ABC$的一边所在直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体的表面积为$\underline{\hspace{5em}}$.

21.$600π$或$900π$或$420π$