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5 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=DC,求∠C的大小.(用两种方法)
答案
解:方法一(截长法):在 DC 上截取 $DE=BD$,连接 AE.
因为 $AD⊥ BC$,所以$∠ ADB=∠ ADE=90°$.
在$△ ABD$ 和$△ AED$ 中,$\begin{cases}AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE,\\DB=DE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ AED$(SAS),
所以 $AB=AE,∠ B=∠ AEB$.
又 $AB+BD=CD,DE=BD$,所以 $AB+DE=CD$.
因为 $CD=DE+EC$,所以 $AB=EC$,所以 $AE=EC$.
设$∠ EAC=∠ C=x$.
因为$∠ AEB$ 为$△ AEC$ 的外角,
所以$∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2x$,
所以$∠ B=2x,∠ BAE=180°-2x-2x=180°-4x$.
因为$∠ BAC=120°$,所以$∠ BAE+∠ EAC=120°$,
即 $180°-4x+x=120°$,解得 $x=20°$,则$∠ C=20°$.
方法二(补短法):延长 DB 至点 F,使 $BF=AB$,连接 AF,
则 $AB+BD=DF=CD$,
所以 $AF=AC,∠ C=∠ F=\dfrac{1}{2}∠ ABC$.
设$∠ C=∠ F=∠ FAB=y$,则$∠ ABC=2y$,
所以 $2y+y=180°-120°$,解得 $y=20°$,所以$∠ C=20°$.
因为 $AD⊥ BC$,所以$∠ ADB=∠ ADE=90°$.
在$△ ABD$ 和$△ AED$ 中,$\begin{cases}AD=AD,\\∠ ADB=∠ ADE,\\DB=DE,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ AED$(SAS),
所以 $AB=AE,∠ B=∠ AEB$.
又 $AB+BD=CD,DE=BD$,所以 $AB+DE=CD$.
因为 $CD=DE+EC$,所以 $AB=EC$,所以 $AE=EC$.
设$∠ EAC=∠ C=x$.
因为$∠ AEB$ 为$△ AEC$ 的外角,
所以$∠ AEB=∠ EAC+∠ C=2x$,
所以$∠ B=2x,∠ BAE=180°-2x-2x=180°-4x$.
因为$∠ BAC=120°$,所以$∠ BAE+∠ EAC=120°$,
即 $180°-4x+x=120°$,解得 $x=20°$,则$∠ C=20°$.
方法二(补短法):延长 DB 至点 F,使 $BF=AB$,连接 AF,
则 $AB+BD=DF=CD$,
所以 $AF=AC,∠ C=∠ F=\dfrac{1}{2}∠ ABC$.
设$∠ C=∠ F=∠ FAB=y$,则$∠ ABC=2y$,
所以 $2y+y=180°-120°$,解得 $y=20°$,所以$∠ C=20°$.
解析
【分析】
本题给出线段和$AB+BD=DC$与$AD⊥BC$的垂直条件，求角的度数，解题核心是利用“截长补短”的辅助线方法将线段和的条件转化为等线段关系，再结合全等三角形、等腰三角形的性质以及三角形内角和、外角性质，设未知数列方程求解。两种思路如下：①截长法：在较长的$DC$上截取$DE=BD$，构造全等三角形得到$AB=AE$，推导出$AE=EC$得到等腰三角形，结合角的关系计算；②补短法：延长$DB$到$F$使$BF=AB$，将$AB+BD$转化为$DF=DC$，得到等腰$△ AFC$，再结合等腰和外角性质列方程求解。
【解析】
方法一（截长法）
在$DC$上截取$DE=BD$，连接$AE$。
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADE=90°$。
在$△ABD$和$△AED$中：
$\begin{cases}AD=AD \\∠ADB=∠ADE \\DB=DE\end{cases}$
∴$△ABD≌△AED$（SAS），
∴$AB=AE$，$∠B=∠AEB$。
∵$AB+BD=DC$，$DE=BD$，
∴$AB+DE=DC$，
又
∵$DC=DE+EC$，
∴$AB=EC$，即$AE=EC$。
设$∠EAC=∠C=x$，
∵$∠AEB$是$△AEC$的外角，
∴$∠AEB=∠EAC+∠C=2x$，
∴$∠B=2x$，在$△ABE$中，$∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-4x$。
∵$∠BAC=120°$，即$∠BAE+∠EAC=120°$，
代入得：$180°-4x+x=120°$，
解得$x=20°$。
方法二（补短法）
延长$DB$至点$F$，使$BF=AB$，连接$AF$。
∴$AB+BD=BF+BD=DF$，
∵$AB+BD=DC$，
∴$DF=DC$，
又
∵$AD⊥BC$，
∴$AD$是$FC$的垂直平分线，
∴$AF=AC$，
∴$∠F=∠C$。
∵$BF=AB$，
∴$∠F=∠FAB$，
∴$∠ABC=∠F+∠FAB=2∠F=2∠C$。
设$∠C=y$，则$∠ABC=2y$，
在$△ABC$中，$∠ABC+∠C+∠BAC=180°$，
代入得：$2y+y+120°=180°$，
解得$y=20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
1. 截长补短辅助线构造
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是构造全等、等腰三角形的典型题型，解题关键是针对线段和差的条件选择合适的截长补短辅助线，将零散的线段、角的条件关联起来，结合三角形内角和、外角性质建立方程求解，能有效锻炼几何辅助线构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题给出线段和$AB+BD=DC$与$AD⊥BC$的垂直条件，求角的度数，解题核心是利用“截长补短”的辅助线方法将线段和的条件转化为等线段关系，再结合全等三角形、等腰三角形的性质以及三角形内角和、外角性质，设未知数列方程求解。两种思路如下：①截长法：在较长的$DC$上截取$DE=BD$，构造全等三角形得到$AB=AE$，推导出$AE=EC$得到等腰三角形，结合角的关系计算；②补短法：延长$DB$到$F$使$BF=AB$，将$AB+BD$转化为$DF=DC$，得到等腰$△ AFC$，再结合等腰和外角性质列方程求解。
【解析】
方法一（截长法）
在$DC$上截取$DE=BD$，连接$AE$。
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADE=90°$。
在$△ABD$和$△AED$中：
$\begin{cases}AD=AD \\∠ADB=∠ADE \\DB=DE\end{cases}$
∴$△ABD≌△AED$（SAS），
∴$AB=AE$，$∠B=∠AEB$。
∵$AB+BD=DC$，$DE=BD$，
∴$AB+DE=DC$，
又
∵$DC=DE+EC$，
∴$AB=EC$，即$AE=EC$。
设$∠EAC=∠C=x$，
∵$∠AEB$是$△AEC$的外角，
∴$∠AEB=∠EAC+∠C=2x$，
∴$∠B=2x$，在$△ABE$中，$∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-4x$。
∵$∠BAC=120°$，即$∠BAE+∠EAC=120°$，
代入得：$180°-4x+x=120°$，
解得$x=20°$。
方法二（补短法）
延长$DB$至点$F$，使$BF=AB$，连接$AF$。
∴$AB+BD=BF+BD=DF$，
∵$AB+BD=DC$，
∴$DF=DC$，
又
∵$AD⊥BC$，
∴$AD$是$FC$的垂直平分线，
∴$AF=AC$，
∴$∠F=∠C$。
∵$BF=AB$，
∴$∠F=∠FAB$，
∴$∠ABC=∠F+∠FAB=2∠F=2∠C$。
设$∠C=y$，则$∠ABC=2y$，
在$△ABC$中，$∠ABC+∠C+∠BAC=180°$，
代入得：$2y+y+120°=180°$，
解得$y=20°$。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
1. 截长补短辅助线构造
2. 全等三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是构造全等、等腰三角形的典型题型，解题关键是针对线段和差的条件选择合适的截长补短辅助线，将零散的线段、角的条件关联起来，结合三角形内角和、外角性质建立方程求解，能有效锻炼几何辅助线构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6 如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB=CD+BC.(用两种方法)
答案
证明:方法一(截长法):在 AB 上截取 $BE=BC$,连接 DE.
因为 BD 平分$∠ ABC$ 交 AC 于点 D,
所以$∠ CBD=∠ EBD$.
在$△ CBD$ 和$△ EBD$ 中,$\begin{cases}BC=BE,\\∠ CBD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ CBD≌△ EBD$(SAS),所以 $CD=ED,∠ C=∠ BED$.
因为$∠ C=2∠ A$,所以$∠ BED=2∠ A$.
因为$∠ BED=∠ A+∠ ADE$,所以$∠ A=∠ ADE$,
所以 $AE=DE$,即 $AE=CD$.
因为 $AB=AE+BE$,所以 $AB=CD+BC$.
方法二(补短法):延长 BC 至点 F,使 $CF=CD$,连接 DF,
则$∠ F=∠ CDF$.
因为$∠ ACB=∠ F+∠ CDF$,所以$∠ ACB=2∠ F$.
因为$∠ ACB=2∠ A$,所以$∠ A=∠ F$.
在$△ ABD$ 和$△ FBD$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ F,\\∠ ABD=∠ FBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ FBD$(AAS),所以 $AB=FB$.
因为 $BF=BC+CF$,所以 $BF=BC+CD$,
即 $AB=BC+CD$.
因为 BD 平分$∠ ABC$ 交 AC 于点 D,
所以$∠ CBD=∠ EBD$.
在$△ CBD$ 和$△ EBD$ 中,$\begin{cases}BC=BE,\\∠ CBD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ CBD≌△ EBD$(SAS),所以 $CD=ED,∠ C=∠ BED$.
因为$∠ C=2∠ A$,所以$∠ BED=2∠ A$.
因为$∠ BED=∠ A+∠ ADE$,所以$∠ A=∠ ADE$,
所以 $AE=DE$,即 $AE=CD$.
因为 $AB=AE+BE$,所以 $AB=CD+BC$.
方法二(补短法):延长 BC 至点 F,使 $CF=CD$,连接 DF,
则$∠ F=∠ CDF$.
因为$∠ ACB=∠ F+∠ CDF$,所以$∠ ACB=2∠ F$.
因为$∠ ACB=2∠ A$,所以$∠ A=∠ F$.
在$△ ABD$ 和$△ FBD$ 中,$\begin{cases}∠ A=∠ F,\\∠ ABD=∠ FBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ FBD$(AAS),所以 $AB=FB$.
因为 $BF=BC+CF$,所以 $BF=BC+CD$,
即 $AB=BC+CD$.
解析
【分析】
要证明线段的和差关系$AB=CD+BC$，通常采用“截长补短”的辅助线构造方法：
1. 截长法：在较长线段$AB$上截取一段等于$BC$，结合$BD$是角平分线的条件构造全等三角形，将$CD$转化为等长线段，再利用$∠ C=2∠ A$的倍数关系推导等腰三角形，证明剩余线段长等于$CD$即可。
2. 补短法：在较短线段$BC$的延长线上补出一段等于$CD$，利用三角形外角性质得到角的倍数关系，结合已知$∠ C=2∠ A$推导等角，再构造全等三角形，证明延长后的总线段长度等于$AB$即可。
【解析】
方法一（截长法）
在$AB$上截取$BE=BC$，连接$DE$。
因为$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，所以$∠ CBD=∠ EBD$。
在$△ CBD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}BC=BE,\\∠ CBD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ CBD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$，因此$CD=ED$，$∠ C=∠ BED$。
因为$∠ C=2∠ A$，所以$∠ BED=2∠ A$。
又因为$∠ BED=∠ A+∠ ADE$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），所以$∠ A=∠ ADE$，因此$AE=DE$，即$AE=CD$。
因为$AB=AE+BE$，所以$AB=CD+BC$。
方法二（补短法）
延长$BC$至点$F$，使$CF=CD$，连接$DF$，则$∠ F=∠ CDF$（等边对等角）。
因为$∠ ACB=∠ F+∠ CDF$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），所以$∠ ACB=2∠ F$。
因为$∠ ACB=2∠ A$，所以$∠ A=∠ F$。
在$△ ABD$和$△ FBD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ F,\\∠ ABD=∠ FBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ FBD(\mathrm{AAS})$，因此$AB=FB$。
因为$BF=BC+CF$，且$CF=CD$，所以$BF=BC+CD$，即$AB=BC+CD$。
【答案】
$AB=CD+BC$，得证。
【知识点】
截长补短辅助线构造；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是线段和差证明的经典题型，核心考查截长补短的辅助线构造思路，将线段和差问题转化为线段相等的证明问题，解题时需结合已知的角平分线、角的倍数关系，灵活运用全等三角形和等腰三角形的性质推导等角、等线段。
【难度系数】
0.6
要证明线段的和差关系$AB=CD+BC$，通常采用“截长补短”的辅助线构造方法：
1. 截长法：在较长线段$AB$上截取一段等于$BC$，结合$BD$是角平分线的条件构造全等三角形，将$CD$转化为等长线段，再利用$∠ C=2∠ A$的倍数关系推导等腰三角形，证明剩余线段长等于$CD$即可。
2. 补短法：在较短线段$BC$的延长线上补出一段等于$CD$，利用三角形外角性质得到角的倍数关系，结合已知$∠ C=2∠ A$推导等角，再构造全等三角形，证明延长后的总线段长度等于$AB$即可。
【解析】
方法一（截长法）
在$AB$上截取$BE=BC$，连接$DE$。
因为$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，所以$∠ CBD=∠ EBD$。
在$△ CBD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}BC=BE,\\∠ CBD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ CBD≌△ EBD(\mathrm{SAS})$，因此$CD=ED$，$∠ C=∠ BED$。
因为$∠ C=2∠ A$，所以$∠ BED=2∠ A$。
又因为$∠ BED=∠ A+∠ ADE$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），所以$∠ A=∠ ADE$，因此$AE=DE$，即$AE=CD$。
因为$AB=AE+BE$，所以$AB=CD+BC$。
方法二（补短法）
延长$BC$至点$F$，使$CF=CD$，连接$DF$，则$∠ F=∠ CDF$（等边对等角）。
因为$∠ ACB=∠ F+∠ CDF$（三角形外角等于不相邻两个内角的和），所以$∠ ACB=2∠ F$。
因为$∠ ACB=2∠ A$，所以$∠ A=∠ F$。
在$△ ABD$和$△ FBD$中：
$\begin{cases}∠ A=∠ F,\\∠ ABD=∠ FBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ FBD(\mathrm{AAS})$，因此$AB=FB$。
因为$BF=BC+CF$，且$CF=CD$，所以$BF=BC+CD$，即$AB=BC+CD$。
【答案】
$AB=CD+BC$，得证。
【知识点】
截长补短辅助线构造；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是线段和差证明的经典题型，核心考查截长补短的辅助线构造思路，将线段和差问题转化为线段相等的证明问题，解题时需结合已知的角平分线、角的倍数关系，灵活运用全等三角形和等腰三角形的性质推导等角、等线段。
【难度系数】
0.6
7 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=108°$,$AB=AC$,$BD$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$D$,求证:$BC=CD+AB$.(用两种方法)
答案
证明:方法一(截长法):在 BC 上截取点 E 使 $BE=BA$,连接 DE.
因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ EBD$.
在$△ ABD$ 和$△ EBD$ 中,$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ EBD$(SAS),
所以$∠ BAC=∠ BED=108°$,所以$∠ DEC=72°$.
因为 $AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC=36°$,
所以$∠ CDE=72°$,所以$∠ CDE=∠ CED=72°$,
即 $CD=CE$,所以 $BC=EC+BE=CD+AB$.
方法二(补短法):延长 BA 至点 F,使 $BF=BC$,连接 DF.
因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ FBD=∠ CBD$.
在$△ FBD$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases}FB=CB,\\∠ FBD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ FBD≌△ CBD$(SAS),
所以 $DF=DC,∠ F=∠ C$.
因为$∠ BAC=108°,AB=AC$,
所以$∠ ABC=∠ C=∠ F=36°,∠ FAD=72°$,
所以$∠ FDA=∠ FAD=72°$,
即 $FA=FD$,所以 $CD=DF=AF$,
所以 $BC=BF=AF+AB=CD+AB$.
因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ ABD=∠ EBD$.
在$△ ABD$ 和$△ EBD$ 中,$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ ABD≌△ EBD$(SAS),
所以$∠ BAC=∠ BED=108°$,所以$∠ DEC=72°$.
因为 $AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC=36°$,
所以$∠ CDE=72°$,所以$∠ CDE=∠ CED=72°$,
即 $CD=CE$,所以 $BC=EC+BE=CD+AB$.
方法二(补短法):延长 BA 至点 F,使 $BF=BC$,连接 DF.
因为 BD 平分$∠ ABC$,所以$∠ FBD=∠ CBD$.
在$△ FBD$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases}FB=CB,\\∠ FBD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
所以$△ FBD≌△ CBD$(SAS),
所以 $DF=DC,∠ F=∠ C$.
因为$∠ BAC=108°,AB=AC$,
所以$∠ ABC=∠ C=∠ F=36°,∠ FAD=72°$,
所以$∠ FDA=∠ FAD=72°$,
即 $FA=FD$,所以 $CD=DF=AF$,
所以 $BC=BF=AF+AB=CD+AB$.
解析
【分析】
要证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长补短”的辅助线思路：第一种是截长法，在较长的线段BC上截取一段等于AB，证明剩下的线段长度等于CD；第二种是补短法，延长较短线段BA，使延长后的总长度等于BC，证明延长部分的长度等于CD。结合已知条件AB=AC、∠BAC=108°，可先求出△ABC的底角为36°，再利用BD是角平分线得到等角，通过构造全等三角形，结合等腰三角形“等角对等边”的性质即可完成证明。
【解析】
方法一（截长法）：
在BC上截取点E使$BE=BA$，连接DE。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠EBD$。
在$△ABD$ 和$△EBD$ 中，$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ EBD$(SAS)，
∴$∠ BAC=∠ BED=108°$，
∴$∠ DEC=180°-108°=72°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ C=∠ ABC=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ CDE=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ CDE=∠ CED=72°$，
∴$CD=CE$，
∴$BC=EC+BE=CD+AB$。
方法二（补短法）：
延长BA至点F，使$BF=BC$，连接DF。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ FBD=∠ CBD$。
在$△FBD$ 和$△CBD$ 中，$\begin{cases}FB=CB,\\∠ FBD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴$△FBD≌△CBD$(SAS)，
∴$DF=DC,∠F=∠C$。
∵$∠ BAC=108°,AB=AC$，
∴$∠ ABC=∠ C=∠ F=36°,∠ FAD=180°-108°=72°$，
∴$∠ FDA=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ FDA=∠ FAD=72°$，
∴$FA=FD$，
∴$CD=DF=AF$，
∴$BC=BF=AF+AB=CD+AB$。
【答案】
$BC=CD+AB$，得证。
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形性质；截长补短证线段和差
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，核心考查截长补短的辅助线构造方法，结合全等三角形、等腰三角形的性质推导结论，对锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造思维有很大帮助。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长补短”的辅助线思路：第一种是截长法，在较长的线段BC上截取一段等于AB，证明剩下的线段长度等于CD；第二种是补短法，延长较短线段BA，使延长后的总长度等于BC，证明延长部分的长度等于CD。结合已知条件AB=AC、∠BAC=108°，可先求出△ABC的底角为36°，再利用BD是角平分线得到等角，通过构造全等三角形，结合等腰三角形“等角对等边”的性质即可完成证明。
【解析】
方法一（截长法）：
在BC上截取点E使$BE=BA$，连接DE。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ABD=∠EBD$。
在$△ABD$ 和$△EBD$ 中，$\begin{cases}AB=EB,\\∠ ABD=∠ EBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴$△ ABD≌△ EBD$(SAS)，
∴$∠ BAC=∠ BED=108°$，
∴$∠ DEC=180°-108°=72°$。
∵$AB=AC$，
∴$∠ C=∠ ABC=\frac{180°-108°}{2}=36°$，
∴$∠ CDE=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ CDE=∠ CED=72°$，
∴$CD=CE$，
∴$BC=EC+BE=CD+AB$。
方法二（补短法）：
延长BA至点F，使$BF=BC$，连接DF。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠ FBD=∠ CBD$。
在$△FBD$ 和$△CBD$ 中，$\begin{cases}FB=CB,\\∠ FBD=∠ CBD,\\BD=BD,\end{cases}$
∴$△FBD≌△CBD$(SAS)，
∴$DF=DC,∠F=∠C$。
∵$∠ BAC=108°,AB=AC$，
∴$∠ ABC=∠ C=∠ F=36°,∠ FAD=180°-108°=72°$，
∴$∠ FDA=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ FDA=∠ FAD=72°$，
∴$FA=FD$，
∴$CD=DF=AF$，
∴$BC=BF=AF+AB=CD+AB$。
【答案】
$BC=CD+AB$，得证。
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形性质；截长补短证线段和差
【点评】
本题是线段和差证明的典型习题，核心考查截长补短的辅助线构造方法，结合全等三角形、等腰三角形的性质推导结论，对锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造思维有很大帮助。
【难度系数】
0.6
