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8. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出。该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳
184
名观众同时观看演出。（π取3.14，$\sqrt{3}$取1.73）答案
8. 184
解析
【分析】
要计算阴影区域最多可容纳的观众数，核心是先求出阴影部分（弓形AB）的面积，再乘以每平方米容纳的3名观众即可。解题思路如下：①过圆心O作AB的垂线，结合已知半径和圆心到AB的距离，求出∠AOB的度数与AB的长度；②分别计算扇形OAB和△OAB的面积，二者作差得到弓形面积；③用弓形面积乘3，结果向下取整即为最多容纳的观众数。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则OC=5米，OA=OB=10米。
在Rt△OAC中，$\cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，因此$∠ AOC=60°$，
可得$∠ AOB=2∠ AOC=120°$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$米，故$AB=2AC=10\sqrt{3}$米。
1. 计算扇形OAB的面积：
$S_{扇形OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×3.14×10^2}{360}\approx104.67$（平方米）
2. 计算△OAB的面积：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×10\sqrt{3}×5=25\sqrt{3}\approx25×1.73=43.25$（平方米）
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}\approx104.67-43.25=61.42$（平方米）
4. 计算可容纳观众数：$61.42×3\approx184.26$，人数取整数，最多可容纳184名观众。
【答案】
184
【知识点】
扇形面积计算、弓形面积计算、解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查不规则图形的面积计算，解题关键是将不规则的弓形面积转化为规则的扇形与三角形面积的差，再代入对应公式计算即可，注意最终人数需取整数，不能采用“四舍五入”，只能向下取整。
【难度系数】
0.7
要计算阴影区域最多可容纳的观众数，核心是先求出阴影部分（弓形AB）的面积，再乘以每平方米容纳的3名观众即可。解题思路如下：①过圆心O作AB的垂线，结合已知半径和圆心到AB的距离，求出∠AOB的度数与AB的长度；②分别计算扇形OAB和△OAB的面积，二者作差得到弓形面积；③用弓形面积乘3，结果向下取整即为最多容纳的观众数。
【解析】
解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，则OC=5米，OA=OB=10米。
在Rt△OAC中，$\cos∠ AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，因此$∠ AOC=60°$，
可得$∠ AOB=2∠ AOC=120°$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$米，故$AB=2AC=10\sqrt{3}$米。
1. 计算扇形OAB的面积：
$S_{扇形OAB}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{120×3.14×10^2}{360}\approx104.67$（平方米）
2. 计算△OAB的面积：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×10\sqrt{3}×5=25\sqrt{3}\approx25×1.73=43.25$（平方米）
3. 计算阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{扇形OAB}-S_{△ OAB}\approx104.67-43.25=61.42$（平方米）
4. 计算可容纳观众数：$61.42×3\approx184.26$，人数取整数，最多可容纳184名观众。
【答案】
184
【知识点】
扇形面积计算、弓形面积计算、解直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查不规则图形的面积计算，解题关键是将不规则的弓形面积转化为规则的扇形与三角形面积的差，再代入对应公式计算即可，注意最终人数需取整数，不能采用“四舍五入”，只能向下取整。
【难度系数】
0.7
9. 如图，平面直角坐标系$xOy$中，点$A$的坐标为$(8,5)$，$\odot A$与$x$轴相切，点$P$在$y$轴正半轴上，$PB$与$\odot A$相切于点$B$。若$∠ APB=30°$，则点$P$的坐标为________。
答案
9. (0,11)
解析
【分析】
要解决本题，首先利用圆与x轴相切的性质确定圆的半径，再结合切线的性质得到直角三角形，利用30°角的直角三角形的性质求出AP的长度，最后通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理计算出P点的纵坐标，即可得到P的坐标。
第一步：已知⊙A与x轴相切，点A坐标为(8,5)，可知⊙A的半径等于A点的纵坐标，即半径为5；
第二步：PB是⊙A的切线，根据切线性质可知AB⊥PB，在Rt△ABP中，∠APB=30°，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此AP=2AB=10；
第三步：过A作AC⊥y轴于C，AC长度等于A点横坐标8，在Rt△ACP中用勾股定理求出PC的长度，结合C点纵坐标即可求出P点纵坐标。
【解析】
过点A作AC⊥y轴于点C，连接AB。
1. 求⊙A的半径：
∵ ⊙A与x轴相切，点A的坐标为(8,5)，
∴ ⊙A的半径r=5，即AB=5，且AC=8（A到y轴的水平距离），点C坐标为(0,5)。
2. 求AP的长度：
∵ PB是⊙A的切线，B为切点，
∴ AB⊥PB，即∠ABP=90°。
在Rt△ABP中，∠APB=30°，
∴ AP=2AB=2×5=10。
3. 求P点纵坐标：
在Rt△ACP中，AC=8，AP=10，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{AP^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
∵ 点P在y轴正半轴，C点纵坐标为5，
∴ P点纵坐标为$5+6=11$，即P点坐标为(0,11)。
【答案】
(0,11)
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆结合的典型题型，解题关键是灵活运用切线性质和特殊直角三角形的特点构造可计算的直角三角形，通过勾股定理求解线段长度，进而得到点的坐标，解题时要注意点所在的半轴位置，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先利用圆与x轴相切的性质确定圆的半径，再结合切线的性质得到直角三角形，利用30°角的直角三角形的性质求出AP的长度，最后通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理计算出P点的纵坐标，即可得到P的坐标。
第一步：已知⊙A与x轴相切，点A坐标为(8,5)，可知⊙A的半径等于A点的纵坐标，即半径为5；
第二步：PB是⊙A的切线，根据切线性质可知AB⊥PB，在Rt△ABP中，∠APB=30°，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此AP=2AB=10；
第三步：过A作AC⊥y轴于C，AC长度等于A点横坐标8，在Rt△ACP中用勾股定理求出PC的长度，结合C点纵坐标即可求出P点纵坐标。
【解析】
过点A作AC⊥y轴于点C，连接AB。
1. 求⊙A的半径：
∵ ⊙A与x轴相切，点A的坐标为(8,5)，
∴ ⊙A的半径r=5，即AB=5，且AC=8（A到y轴的水平距离），点C坐标为(0,5)。
2. 求AP的长度：
∵ PB是⊙A的切线，B为切点，
∴ AB⊥PB，即∠ABP=90°。
在Rt△ABP中，∠APB=30°，
∴ AP=2AB=2×5=10。
3. 求P点纵坐标：
在Rt△ACP中，AC=8，AP=10，由勾股定理得：
$PC=\sqrt{AP^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
∵ 点P在y轴正半轴，C点纵坐标为5，
∴ P点纵坐标为$5+6=11$，即P点坐标为(0,11)。
【答案】
(0,11)
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆结合的典型题型，解题关键是灵活运用切线性质和特殊直角三角形的特点构造可计算的直角三角形，通过勾股定理求解线段长度，进而得到点的坐标，解题时要注意点所在的半轴位置，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
10. (2024·临夏州)如图，直线$l$与$\odot O$相切于点$D$，$AB$为$\odot O$的直径，过点$A$作$AE⊥ l$于点$E$，延长$AB$交直线$l$于点$C$. (1) 求证:$AD$平分$∠ CAE$；(2) 如果$BC=1$，$DC=3$，求$\odot O$的半径. 
第10题
第10题答案
10. (1) 连接OD,如图,
∵ 直线l与⊙O相切于点D,
∴ OD⊥CE.
∵ AE⊥CE,
∴ OD//AE,
∴ ∠ODA=∠EAD.
∵ OA=OD,
∴ ∠ODA=∠OAD,
∴ ∠OAD=∠EAD,
∴ AD平分∠CAE；
(2) 设⊙O的半径为r,则OB=OD=r,在Rt△OCD中,
∵ OD=r,CD=3,OC=r+1,
∴ r²+3²=(r+1)²,解得r=4,即⊙O的半径为4.
解析
【分析】
(1) 要证明AD平分∠CAE，只需证∠OAD=∠EAD。看到切线首先连接圆心和切点D，根据切线性质可得OD⊥l，结合AE⊥l可推出OD//AE，得到内错角∠ODA=∠EAD；再利用OA=OD的等腰三角形性质，得∠ODA=∠OAD，等量代换即可得证。
(2) 求半径可采用方程思想，设半径为r，把Rt△OCD的三边都用含r的式子表示：OD=r，OC=OB+BC=r+1，已知CD=3，直接用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接OD，如图，
∵ 直线l与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD⊥CE$，
∵ $AE⊥CE$，
∴ $OD// AE$，
∴ $∠ODA=∠EAD$，
∵ $OA=OD$，
∴ $∠ODA=∠OAD$，
∴ $∠OAD=∠EAD$，
∴ $AD$平分$∠CAE$；
(2) 设$\odot O$的半径为r，则$OB=OD=r$，
在$Rt△ OCD$中，$OD=r$，$CD=3$，$OC=OB+BC=r+1$，
由勾股定理得：$r^2+3^2=(r+1)^2$，
展开化简得：$r^2+9=r^2+2r+1$，解得$r=4$。
【答案】
(1) 证明见上述过程，AD平分$∠CAE$；
(2) $\odot O$的半径为4。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，角平分线判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考察“遇切线连圆心与切点”的常规辅助线作法，同时结合平行线性质、等腰三角形性质完成角的推导，计算部分运用方程思想结合勾股定理求解，是圆章节的高频基础考法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD平分∠CAE，只需证∠OAD=∠EAD。看到切线首先连接圆心和切点D，根据切线性质可得OD⊥l，结合AE⊥l可推出OD//AE，得到内错角∠ODA=∠EAD；再利用OA=OD的等腰三角形性质，得∠ODA=∠OAD，等量代换即可得证。
(2) 求半径可采用方程思想，设半径为r，把Rt△OCD的三边都用含r的式子表示：OD=r，OC=OB+BC=r+1，已知CD=3，直接用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接OD，如图，
∵ 直线l与$\odot O$相切于点D，
∴ $OD⊥CE$，
∵ $AE⊥CE$，
∴ $OD// AE$，
∴ $∠ODA=∠EAD$，
∵ $OA=OD$，
∴ $∠ODA=∠OAD$，
∴ $∠OAD=∠EAD$，
∴ $AD$平分$∠CAE$；
(2) 设$\odot O$的半径为r，则$OB=OD=r$，
在$Rt△ OCD$中，$OD=r$，$CD=3$，$OC=OB+BC=r+1$，
由勾股定理得：$r^2+3^2=(r+1)^2$，
展开化简得：$r^2+9=r^2+2r+1$，解得$r=4$。
【答案】
(1) 证明见上述过程，AD平分$∠CAE$；
(2) $\odot O$的半径为4。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，角平分线判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考察“遇切线连圆心与切点”的常规辅助线作法，同时结合平行线性质、等腰三角形性质完成角的推导，计算部分运用方程思想结合勾股定理求解，是圆章节的高频基础考法。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,以$AB$为直径的$\odot O$交$BC$于点$D$,$DE⊥ AC$,垂足为$E$.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ C=30°$,$CD=2\sqrt{3}$,求$\overset{\frown}{BD}$的长.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线;
(2) 若$∠ C=30°$,$CD=2\sqrt{3}$,求$\overset{\frown}{BD}$的长.
答案
11. (1) 如图,连接OD,则OD=OB,
∴ ∠ODB=∠B.
∵ AB=AC.
∴ ∠C=∠B,
∴ ∠ODB=∠C,
∴ OD//AC.
∵ DE⊥AC于点E,
∴ ∠ODE=∠CED=90°.
∵ OD是⊙O的半径,DE⊥OD,
∴ DE是⊙O的切线；
(2) 连接AD,
∵ AB是⊙O的直径,
∴ ∠ADB=90°,
∴ AD⊥BC.
∵ AB=AC,CD=2√3,
∴ BD=CD=2√3.
∵ ∠B=∠C=30°,
∴ AD=2√3×√3/3=2.
∵ OD=OA,∠AOD=2∠B=60°,
∴ △AOD是等边三角形,
∴ OD=AD=2.
∵ ∠BOD=180°−∠AOD=120°,
∴ $l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$,
∴ $\overset{\frown}{BD}$的长是$\frac{4π}{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于⊙O的半径，因此先连接OD。已知AB=AC、OB=OD，可通过等腰三角形底角相等的性质推导角的等量关系，证明OD//AC，再结合DE⊥AC的条件，即可得到DE⊥OD，从而证得DE是切线。
(2) 求$\overset{\frown}{BD}$的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角∠BOD的度数和⊙O的半径。首先连接AD，利用直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形三线合一的性质得到BD=CD，再通过含30°角的直角三角形的边长关系求出AD长度，推导得△AOD为等边三角形得到半径，最后求出圆心角∠BOD后代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OD，则OD=OB，
∴ ∠ODB=∠B。
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B，
∴ ∠ODB=∠C，
∴ OD//AC。
∵ DE⊥AC于点E，
∴ ∠ODE=∠CED=90°。
∵ OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴ DE是⊙O的切线。
(2) 解：连接AD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC。
∵ AB=AC，CD=2√3，
∴ BD=CD=2√3。
∵ ∠B=∠C=30°，
∴ AD=2√3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2。
∵ OD=OA，∠AOD=2∠B=60°，
∴ △AOD是等边三角形，
∴ OD=AD=2。
∵ ∠BOD=180°−∠AOD=120°，
∴ $l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) DE是⊙O的切线，证明如上；
(2) $\overset{\frown}{BD}$的长是$\frac{4π}{3}$。
【知识点】
切线的判定；弧长计算；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础综合题，第一问考查切线的常规判定方法，掌握“连半径、证垂直”的核心思路即可快速求解；第二问需要结合圆周角定理、等腰三角形三线合一、特殊直角三角形的性质和弧长公式逐步推导，考查学生的基础推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明DE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明DE垂直于⊙O的半径，因此先连接OD。已知AB=AC、OB=OD，可通过等腰三角形底角相等的性质推导角的等量关系，证明OD//AC，再结合DE⊥AC的条件，即可得到DE⊥OD，从而证得DE是切线。
(2) 求$\overset{\frown}{BD}$的长需用弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$，因此要先确定$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角∠BOD的度数和⊙O的半径。首先连接AD，利用直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形三线合一的性质得到BD=CD，再通过含30°角的直角三角形的边长关系求出AD长度，推导得△AOD为等边三角形得到半径，最后求出圆心角∠BOD后代入公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：如图，连接OD，则OD=OB，
∴ ∠ODB=∠B。
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B，
∴ ∠ODB=∠C，
∴ OD//AC。
∵ DE⊥AC于点E，
∴ ∠ODE=∠CED=90°。
∵ OD是⊙O的半径，DE⊥OD，
∴ DE是⊙O的切线。
(2) 解：连接AD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC。
∵ AB=AC，CD=2√3，
∴ BD=CD=2√3。
∵ ∠B=∠C=30°，
∴ AD=2√3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2。
∵ OD=OA，∠AOD=2∠B=60°，
∴ △AOD是等边三角形，
∴ OD=AD=2。
∵ ∠BOD=180°−∠AOD=120°，
∴ $l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$。
【答案】
(1) DE是⊙O的切线，证明如上；
(2) $\overset{\frown}{BD}$的长是$\frac{4π}{3}$。
【知识点】
切线的判定；弧长计算；等腰三角形性质
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础综合题，第一问考查切线的常规判定方法，掌握“连半径、证垂直”的核心思路即可快速求解；第二问需要结合圆周角定理、等腰三角形三线合一、特殊直角三角形的性质和弧长公式逐步推导，考查学生的基础推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，正方形ABCD的边长为4，$\odot O$的半径为1.若$\odot O$在正方形ABCD内平移($\odot O$可以与该正方形的边相切)，则点A到$\odot O$上的点的距离的最大值为
第12题
$3\sqrt{2}+1$
. 第12题答案
12. $3\sqrt{2}+1$
解析
【分析】
要计算点A到⊙O上的点的最大距离，首先回忆点到圆上点的距离最值规律：点到圆上各点的最大距离等于该点到圆心的距离加圆的半径，因此我们只需要先找到⊙O在正方形内平移时，圆心O到点A的最大距离，再加半径1即可。进一步分析圆心O的最远位置：当⊙O与正方形的BC、CD两条边同时相切时，圆心O距离点A最远，结合正方形边长、圆的半径和勾股定理即可计算此时AO的长度，最终得到所求最大值。
【解析】
解：根据点与圆的位置关系，点A到⊙O上点的最大距离为$AO + r$（$AO$是点A到圆心O的距离，$r=1$是⊙O的半径），因此要使该距离最大，需先最大化$AO$的长度。
当⊙O与正方形的边BC、CD均相切时，圆心O距离A点最远：
此时圆心O到BC的距离为$r=1$，到CD的距离为$r=1$，已知正方形边长为4，因此O点与A点的水平距离为$4-1=3$，竖直距离为$4-1=3$。
由勾股定理可得：$AO=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
因此点A到⊙O上的点的最大距离为$3\sqrt{2}+1$。
【答案】
$3\sqrt{2}+1$
【知识点】
点与圆的距离最值、正方形的性质、切线的性质
【点评】
本题属于几何最值类基础题，解题的核心是明确点到圆上点的最值规律，准确判断出圆心距离A最远的位置，再结合勾股定理计算，对几何直观能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要计算点A到⊙O上的点的最大距离，首先回忆点到圆上点的距离最值规律：点到圆上各点的最大距离等于该点到圆心的距离加圆的半径，因此我们只需要先找到⊙O在正方形内平移时，圆心O到点A的最大距离，再加半径1即可。进一步分析圆心O的最远位置：当⊙O与正方形的BC、CD两条边同时相切时，圆心O距离点A最远，结合正方形边长、圆的半径和勾股定理即可计算此时AO的长度，最终得到所求最大值。
【解析】
解：根据点与圆的位置关系，点A到⊙O上点的最大距离为$AO + r$（$AO$是点A到圆心O的距离，$r=1$是⊙O的半径），因此要使该距离最大，需先最大化$AO$的长度。
当⊙O与正方形的边BC、CD均相切时，圆心O距离A点最远：
此时圆心O到BC的距离为$r=1$，到CD的距离为$r=1$，已知正方形边长为4，因此O点与A点的水平距离为$4-1=3$，竖直距离为$4-1=3$。
由勾股定理可得：$AO=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$
因此点A到⊙O上的点的最大距离为$3\sqrt{2}+1$。
【答案】
$3\sqrt{2}+1$
【知识点】
点与圆的距离最值、正方形的性质、切线的性质
【点评】
本题属于几何最值类基础题，解题的核心是明确点到圆上点的最值规律，准确判断出圆心距离A最远的位置，再结合勾股定理计算，对几何直观能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
