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10.如果一次函数$y_1=-\frac{b}{2}x-4$和$y_2=\frac{1}{a}x+\frac{1}{2}$的图象平行，那么一次函数$y=abx+1$的图象所经过的象限为
第一、第二、第四象限
。答案
10.第一、第二、第四象限
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数图象平行的性质：两个一次函数$y=k_1x+c_1$、$y=k_2x+c_2$图象平行的充要条件是$k_1=k_2$且$c_1≠ c_2$。首先根据该性质求出$ab$的取值，再代入函数$y=abx+1$中，根据一次函数的一次项系数和常数项的正负，即可判断函数图象经过的象限。
【解析】
∵ 一次函数$y_1=-\frac{b}{2}x-4$和$y_2=\frac{1}{a}x+\frac{1}{2}$的图象平行
∴ 两个函数的一次项系数相等，且常数项不相等
即 $-\frac{b}{2}=\frac{1}{a}$，且$-4≠\frac{1}{2}$（显然成立，排除两直线重合的情况）
对$-\frac{b}{2}=\frac{1}{a}$交叉相乘得：$-ab=2$，即$ab=-2$
将$ab=-2$代入一次函数$y=abx+1$，可得函数解析式为$y=-2x+1$
在$y=-2x+1$中，一次项系数$-2＜0$，说明图象从左上向右下倾斜；常数项$1＞0$，说明图象与y轴交于正半轴，因此该函数图象经过第一、第二、第四象限。
【答案】
第一、第二、第四象限
【知识点】
1. 一次函数平行的性质
2. 一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握两直线平行的条件，以及一次函数系数与图象经过象限的对应规律，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆一次函数图象平行的性质：两个一次函数$y=k_1x+c_1$、$y=k_2x+c_2$图象平行的充要条件是$k_1=k_2$且$c_1≠ c_2$。首先根据该性质求出$ab$的取值，再代入函数$y=abx+1$中，根据一次函数的一次项系数和常数项的正负，即可判断函数图象经过的象限。
【解析】
∵ 一次函数$y_1=-\frac{b}{2}x-4$和$y_2=\frac{1}{a}x+\frac{1}{2}$的图象平行
∴ 两个函数的一次项系数相等，且常数项不相等
即 $-\frac{b}{2}=\frac{1}{a}$，且$-4≠\frac{1}{2}$（显然成立，排除两直线重合的情况）
对$-\frac{b}{2}=\frac{1}{a}$交叉相乘得：$-ab=2$，即$ab=-2$
将$ab=-2$代入一次函数$y=abx+1$，可得函数解析式为$y=-2x+1$
在$y=-2x+1$中，一次项系数$-2＜0$，说明图象从左上向右下倾斜；常数项$1＞0$，说明图象与y轴交于正半轴，因此该函数图象经过第一、第二、第四象限。
【答案】
第一、第二、第四象限
【知识点】
1. 一次函数平行的性质
2. 一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握两直线平行的条件，以及一次函数系数与图象经过象限的对应规律，是一次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.在一次远足活动中,某班学生分成两组,第一组由甲地匀速步行到乙地后以同样的速度原路返回,第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后以同样的速度原路返回,两组同时出发.设步行的时间为$t$(h),两组离乙地的距离分别为$s_1$(km)和$s_2$(km),图2中的折线分别表示$s_1$,$s_2$与$t$之间的函数关系.
(1)甲、乙两地之间的距离为
(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间;
(3)求图2中线段AB所表示的$s_2$与$t$之间的函数解析式,并写出自变量$t$的取值范围.
(1)甲、乙两地之间的距离为
8
km,乙、丙两地之间的距离为2
km;(2)求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间;
(3)求图2中线段AB所表示的$s_2$与$t$之间的函数解析式,并写出自变量$t$的取值范围.
答案
11.(1)8 2
(2)0.8 h 0.2 h
(3)$s_2=10t-8(0.8≤ t≤1)$
(2)0.8 h 0.2 h
(3)$s_2=10t-8(0.8≤ t≤1)$
解析
【分析】
1. 第(1)问可直接从图像提取信息：t=0时两组都在甲地，此时离乙地的距离就是甲乙两地的距离；第二组到达丙地时离乙地的距离达到最大值，该值就是乙丙两地的距离。
2. 第(2)问先计算第二组的总行程，结合总时间求出步行速度，再根据“时间=路程÷速度”分别计算甲到乙、乙到丙的时间。
3. 第(3)问先确定线段AB两个端点的坐标，再用待定系数法求一次函数解析式，根据端点的时间值确定自变量的取值范围。
【解析】
(1) 当t=0时，s=8km，即甲乙两地距离为8km；第二组到达丙地时离乙地距离为2km，即乙丙两地距离为2km。
(2) 第二组全程总路程为$8+2+2+8=20\mathrm{km}$，总时间为2h，因此步行速度为$20÷2=10\mathrm{km/h}$。
第二组从甲地到乙地的时间：$8÷10=0.8\mathrm{h}$；
从乙地到丙地的时间：$2÷10=0.2\mathrm{h}$。
(3) 由(2)可知，第二组到达乙地的时间为0.8h，此时离乙地距离为0，即A点坐标为$(0.8,0)$；到达丙地的时间为$0.8+0.2=1\mathrm{h}$，此时离乙地距离为2km，即B点坐标为$(1,2)$。
设线段AB的解析式为$s_2=kt+b(k≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}0.8k+b=0 \\k+b=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10 \\b=-8 \end{cases}$
因此线段AB的函数解析式为$s_2=10t-8$，自变量t的取值范围是$0.8≤ t≤1$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；$\boxed{2}$
(2) 首次到达乙地用时$\boxed{0.8\ \mathrm{h}}$，乙地到丙地用时$\boxed{0.2\ \mathrm{h}}$
(3) $\boxed{s_2=10t-8(0.8≤ t≤1)}$
【知识点】
一次函数应用，行程问题，图像信息提取
【点评】
本题结合实际出行场景考查一次函数的应用，核心是读懂函数图像中特殊点的实际意义，结合行程公式和待定系数法即可求解，侧重考查读图能力和基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问可直接从图像提取信息：t=0时两组都在甲地，此时离乙地的距离就是甲乙两地的距离；第二组到达丙地时离乙地的距离达到最大值，该值就是乙丙两地的距离。
2. 第(2)问先计算第二组的总行程，结合总时间求出步行速度，再根据“时间=路程÷速度”分别计算甲到乙、乙到丙的时间。
3. 第(3)问先确定线段AB两个端点的坐标，再用待定系数法求一次函数解析式，根据端点的时间值确定自变量的取值范围。
【解析】
(1) 当t=0时，s=8km，即甲乙两地距离为8km；第二组到达丙地时离乙地距离为2km，即乙丙两地距离为2km。
(2) 第二组全程总路程为$8+2+2+8=20\mathrm{km}$，总时间为2h，因此步行速度为$20÷2=10\mathrm{km/h}$。
第二组从甲地到乙地的时间：$8÷10=0.8\mathrm{h}$；
从乙地到丙地的时间：$2÷10=0.2\mathrm{h}$。
(3) 由(2)可知，第二组到达乙地的时间为0.8h，此时离乙地距离为0，即A点坐标为$(0.8,0)$；到达丙地的时间为$0.8+0.2=1\mathrm{h}$，此时离乙地距离为2km，即B点坐标为$(1,2)$。
设线段AB的解析式为$s_2=kt+b(k≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}0.8k+b=0 \\k+b=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10 \\b=-8 \end{cases}$
因此线段AB的函数解析式为$s_2=10t-8$，自变量t的取值范围是$0.8≤ t≤1$。
【答案】
(1) $\boxed{8}$；$\boxed{2}$
(2) 首次到达乙地用时$\boxed{0.8\ \mathrm{h}}$，乙地到丙地用时$\boxed{0.2\ \mathrm{h}}$
(3) $\boxed{s_2=10t-8(0.8≤ t≤1)}$
【知识点】
一次函数应用，行程问题，图像信息提取
【点评】
本题结合实际出行场景考查一次函数的应用，核心是读懂函数图像中特殊点的实际意义，结合行程公式和待定系数法即可求解，侧重考查读图能力和基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的函数$y=(3k+1)x-(k-1)$.
(1)若该函数为正比例函数,求$k$的值;
(2)若点$(\dfrac{1}{2},0)$在该函数的图象上,求$k$的值.
(1)若该函数为正比例函数,求$k$的值;
(2)若点$(\dfrac{1}{2},0)$在该函数的图象上,求$k$的值.
答案
12.(1)1
(2)-3
(2)-3
解析
【分析】
(1) 解决第一问需结合正比例函数的定义思考：正比例函数形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），需要同时满足“一次项系数不为0、常数项为0”两个条件，据此列方程和不等式求解即可。
(2) 解决第二问要用到函数图象的基本性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式，将已知点的坐标代入函数式，解一元一次方程即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 已知函数$y=(3k+1)x-(k-1)$是正比例函数，根据正比例函数定义可得：
$\begin{cases}-(k-1)=0 \\3k+1≠ 0\end{cases}$
解$-(k-1)=0$，得$k=1$。
将$k=1$代入$3k+1$验证：$3×1+1=4≠0$，符合要求，因此$k=1$。
(2) 因为点$(\dfrac{1}{2},0)$在该函数图象上，将$x=\dfrac{1}{2}$，$y=0$代入函数解析式得：
$0=(3k+1)×\dfrac{1}{2} - (k-1)$
等式两边同时乘2消去分母：$0=3k+1 - 2(k-1)$
展开括号：$0=3k+1 -2k +2$
合并同类项得：$0=k+3$
解得：$k=-3$
【答案】
(1)$1$；(2)$-3$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查函数基本定义的应用和代入计算能力，解题时要注意正比例函数一次项系数不为0的隐含条件，计算过程中注意符号运算，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问需结合正比例函数的定义思考：正比例函数形式为$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$），需要同时满足“一次项系数不为0、常数项为0”两个条件，据此列方程和不等式求解即可。
(2) 解决第二问要用到函数图象的基本性质：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数的解析式，将已知点的坐标代入函数式，解一元一次方程即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 已知函数$y=(3k+1)x-(k-1)$是正比例函数，根据正比例函数定义可得：
$\begin{cases}-(k-1)=0 \\3k+1≠ 0\end{cases}$
解$-(k-1)=0$，得$k=1$。
将$k=1$代入$3k+1$验证：$3×1+1=4≠0$，符合要求，因此$k=1$。
(2) 因为点$(\dfrac{1}{2},0)$在该函数图象上，将$x=\dfrac{1}{2}$，$y=0$代入函数解析式得：
$0=(3k+1)×\dfrac{1}{2} - (k-1)$
等式两边同时乘2消去分母：$0=3k+1 - 2(k-1)$
展开括号：$0=3k+1 -2k +2$
合并同类项得：$0=k+3$
解得：$k=-3$
【答案】
(1)$1$；(2)$-3$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，重点考查函数基本定义的应用和代入计算能力，解题时要注意正比例函数一次项系数不为0的隐含条件，计算过程中注意符号运算，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.8
13. 对于两个一次函数 $ y=k_1x+b_1(k_1≠0) $，$ y=k_2x+b_2(k_2≠0) $，我们称一次函数 $ y=|k_1−k_2|x+b_1b_2 $ 为这两个函数的复合函数.
(1)求一次函数 $ y=4x+1 $ 与 $ y=−x−3 $ 的复合函数；
(2)若一次函数 $ y=kx−1 $ 与 $ y=−2x+b $ 的复合函数为 $ y=3x+4 $，求k和b的值；
(3)已知一次函数 $ y=x+m+2 $ 与 $ y=nx−1(n≠0) $ 的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，写出常数m，n满足的条件.
(1)求一次函数 $ y=4x+1 $ 与 $ y=−x−3 $ 的复合函数；
(2)若一次函数 $ y=kx−1 $ 与 $ y=−2x+b $ 的复合函数为 $ y=3x+4 $，求k和b的值；
(3)已知一次函数 $ y=x+m+2 $ 与 $ y=nx−1(n≠0) $ 的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，写出常数m，n满足的条件.
答案
13.(1)$y=5x-3$
(2)$k=1或-5,b=-4$
(3)$m＞-2,n≠1$
(2)$k=1或-5,b=-4$
(3)$m＞-2,n≠1$
解析
【分析】
这是一道结合新定义的一次函数综合题，解题核心是先准确理解“复合函数”的定义，再结合一次函数相关性质分步求解：
1. 第(1)问直接对照定义，提取两个一次函数的k、b值，代入复合函数公式计算即可；
2. 第(2)问先根据定义写出复合函数表达式，再和已知复合函数的系数对应相等，注意绝对值方程需分两种情况讨论，避免漏解；
3. 第(3)问先写出复合函数表达式，再结合一次函数图象过第一、三、四象限的性质：一次项系数大于0，常数项小于0，列不等式求解即可。
【解析】
(1) 对于$y=4x+1$，$k_1=4$，$b_1=1$；对于$y=-x-3$，$k_2=-1$，$b_2=-3$。
根据复合函数定义：
$|k_1-k_2|=|4-(-3)|=5$，$b_1b_2=1×(-3)=-3$
因此复合函数为$y=5x-3$。
(2) 对于$y=kx-1$，$k_1=k$，$b_1=-1$；对于$y=-2x+b$，$k_2=-2$，$b_2=b$。
根据定义得复合函数的一次项系数为$|k-(-2)|=|k+2|$，常数项为$(-1)× b=-b$。
已知复合函数为$y=3x+4$，对应系数相等可得：
$\begin{cases}|k+2|=3\\-b=4\end{cases}$
解$|k+2|=3$：$k+2=3$或$k+2=-3$，得$k=1$或$k=-5$；
解$-b=4$得$b=-4$。
因此$k=1$或$-5$，$b=-4$。
(3) 对于$y=x+m+2$，$k_1=1$，$b_1=m+2$；对于$y=nx-1$，$k_2=n$，$b_2=-1$。
根据定义得复合函数为$y=|1-n|x+(m+2)×(-1)=|1-n|x-m-2$。
一次函数图象过第一、三、四象限，需满足：
① 一次项系数大于0：$|1-n|＞0$，即$n≠1$；
② 常数项小于0：$-m-2＜0$，解得$m＞-2$。
因此$m、n$满足的条件为$m＞-2$，$n≠1$。
【答案】
(1)$y=5x-3$
(2)$k=1或-5,b=-4$
(3)$m＞-2,n≠1$
【知识点】
新定义运算，一次函数的性质，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义类基础综合题，核心是准确理解新定义的运算规则，再结合绝对值性质、一次函数图象与系数的关系逐步求解，解题时注意绝对值方程存在两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合新定义的一次函数综合题，解题核心是先准确理解“复合函数”的定义，再结合一次函数相关性质分步求解：
1. 第(1)问直接对照定义，提取两个一次函数的k、b值，代入复合函数公式计算即可；
2. 第(2)问先根据定义写出复合函数表达式，再和已知复合函数的系数对应相等，注意绝对值方程需分两种情况讨论，避免漏解；
3. 第(3)问先写出复合函数表达式，再结合一次函数图象过第一、三、四象限的性质：一次项系数大于0，常数项小于0，列不等式求解即可。
【解析】
(1) 对于$y=4x+1$，$k_1=4$，$b_1=1$；对于$y=-x-3$，$k_2=-1$，$b_2=-3$。
根据复合函数定义：
$|k_1-k_2|=|4-(-3)|=5$，$b_1b_2=1×(-3)=-3$
因此复合函数为$y=5x-3$。
(2) 对于$y=kx-1$，$k_1=k$，$b_1=-1$；对于$y=-2x+b$，$k_2=-2$，$b_2=b$。
根据定义得复合函数的一次项系数为$|k-(-2)|=|k+2|$，常数项为$(-1)× b=-b$。
已知复合函数为$y=3x+4$，对应系数相等可得：
$\begin{cases}|k+2|=3\\-b=4\end{cases}$
解$|k+2|=3$：$k+2=3$或$k+2=-3$，得$k=1$或$k=-5$；
解$-b=4$得$b=-4$。
因此$k=1$或$-5$，$b=-4$。
(3) 对于$y=x+m+2$，$k_1=1$，$b_1=m+2$；对于$y=nx-1$，$k_2=n$，$b_2=-1$。
根据定义得复合函数为$y=|1-n|x+(m+2)×(-1)=|1-n|x-m-2$。
一次函数图象过第一、三、四象限，需满足：
① 一次项系数大于0：$|1-n|＞0$，即$n≠1$；
② 常数项小于0：$-m-2＜0$，解得$m＞-2$。
因此$m、n$满足的条件为$m＞-2$，$n≠1$。
【答案】
(1)$y=5x-3$
(2)$k=1或-5,b=-4$
(3)$m＞-2,n≠1$
【知识点】
新定义运算，一次函数的性质，绝对值方程求解
【点评】
本题属于新定义类基础综合题，核心是准确理解新定义的运算规则，再结合绝对值性质、一次函数图象与系数的关系逐步求解，解题时注意绝对值方程存在两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.7
