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7 如图，$a// b$，直线$l$与直线$a$，$b$分别交于$B$，$A$两点，分别以点$A$，$B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点$E$，$F$，作直线$EF$，分别交直线$a$，$b$于点$C$，$D$，连接$AC$。若$∠ CDA=34°$，则$∠ CAB$的度数为$\underline{\hspace{1cm}}$。
（第7题）
（第7题）答案
7. $56°$
8 [2024 常州改编]如图，B，E，C，F 是直线 l 上的四点，AC，DE 相交于点 G，AB=DF，AC=DE，BE=FC.
（1）求证：△GEC 是等腰三角形；
（2）连接 AD，试判断 AD 与 l 的位置关系，并说明理由.
（1）求证：△GEC 是等腰三角形；
（2）连接 AD，试判断 AD 与 l 的位置关系，并说明理由.
答案
8. （1）$\because BE = FC, \therefore BE + EC = FC + EC$, 即 $BC = EF$. 在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中, $\begin{cases} AB=DF,\\ AC=DE,\\ BC=FE, \end{cases}$ $\therefore △ ABC ≌ △ DFE (\mathrm{SSS})$, $\therefore ∠ACB = ∠DEF$, 即 $∠GCE = ∠GEC, \therefore GE = GC$, 即 $△ GEC$ 是等腰三角形
（2）AD 与 l 的位置关系是 $AD // l$ 理由: $\because △ GEC$ 的内角和为 $180°, ∠GCE = ∠GEC, \therefore ∠GEC = \frac{1}{2}(180°-∠EGC)$. $\because AC = DE, GE = GC, \therefore AG = DG$, $\therefore ∠GAD = ∠GDA$. $\because △ GAD$ 的内角和为 $180°, \therefore ∠GDA = \frac{1}{2}(180°-∠AGD)$. $\because ∠EGC = ∠AGD, \therefore ∠GEC = ∠GDA, \therefore AD // l$.
（2）AD 与 l 的位置关系是 $AD // l$ 理由: $\because △ GEC$ 的内角和为 $180°, ∠GCE = ∠GEC, \therefore ∠GEC = \frac{1}{2}(180°-∠EGC)$. $\because AC = DE, GE = GC, \therefore AG = DG$, $\therefore ∠GAD = ∠GDA$. $\because △ GAD$ 的内角和为 $180°, \therefore ∠GDA = \frac{1}{2}(180°-∠AGD)$. $\because ∠EGC = ∠AGD, \therefore ∠GEC = ∠GDA, \therefore AD // l$.
9 如图①,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 为边 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,M 为 BD 的中点,CM 的延长线交 AB 于点 F,连接 EM.
(1) 求证:CM=EM;
(2) 若∠A=50°,则∠EMF 的度数为
(3) 如图②,连接 CE,若△DAE≌△CEM,N 为 CM 的中点,连接 AN,求证:AN//EM.
(1) 求证:CM=EM;
(2) 若∠A=50°,则∠EMF 的度数为
100°
;(3) 如图②,连接 CE,若△DAE≌△CEM,N 为 CM 的中点,连接 AN,求证:AN//EM.
答案
9. （1）求证: $\because DE ⊥ AB, \therefore ∠DEB = 90°. \because M$ 为 BD 的中点, $\therefore DM = MB, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ DEB$ 中, $EM = \frac{1}{2}DB. \because ∠ACB = 90°, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ DCB$ 中, $CM = \frac{1}{2}DB, \therefore CM = EM$
（2）$100°$ 【解析】 $\because DE ⊥ AB, \therefore ∠AED = 90°. \because ∠A = 50°, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $∠ADE = 40°, \therefore ∠CDE = 140°. \because M$ 为 BD 的中点, $\therefore DM = \frac{1}{2}DB$. 由(1), 得 $EM = \frac{1}{2}DB, CM = \frac{1}{2}DB, \therefore EM = DM, CM = DM, \therefore ∠MDE = ∠MED, ∠MCD = ∠MDC, \therefore ∠MED + ∠MCD = ∠MDE + ∠MDC = ∠CDE = 140°. \because$ 四边形 DEMC 的内角和为 $360°, \therefore ∠CME = 360° - 2 × 140° = 80°, \therefore ∠EMF = 180° - ∠CME = 100°$.
（3）连接 AM. $\because △ DAE ≌ △ CEM, CM = EM, \therefore AE = EM = CM = DE = DM, ∠DEA = ∠CME = 90°, \therefore △ ADE$ 是等腰直角三角形, $△ DEM$ 是等边三角形, $\therefore ∠DEM = ∠DME = 60°, \therefore ∠FEM = 30°. \because AE = EM, \therefore$ 易得 $∠EAM = ∠EMA = 15°, \therefore ∠AMC = ∠CME - ∠EMA = 75°. \because ∠CME = 90°, ∠DME = 60°, \therefore ∠DMC = 30°. \because CM = DM, \therefore ∠MCD = ∠MDC = \frac{1}{2} × (180° - 30°) = 75°, \therefore ∠AMC = ∠MCD, \therefore AC = AM. \because N$ 为 CM 的中点, $\therefore AN ⊥ CM, \therefore ∠ANM = 90°, \therefore ∠ANM + ∠CME = 180°, \therefore AN // EM$
（2）$100°$ 【解析】 $\because DE ⊥ AB, \therefore ∠AED = 90°. \because ∠A = 50°, \therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AED$ 中, $∠ADE = 40°, \therefore ∠CDE = 140°. \because M$ 为 BD 的中点, $\therefore DM = \frac{1}{2}DB$. 由(1), 得 $EM = \frac{1}{2}DB, CM = \frac{1}{2}DB, \therefore EM = DM, CM = DM, \therefore ∠MDE = ∠MED, ∠MCD = ∠MDC, \therefore ∠MED + ∠MCD = ∠MDE + ∠MDC = ∠CDE = 140°. \because$ 四边形 DEMC 的内角和为 $360°, \therefore ∠CME = 360° - 2 × 140° = 80°, \therefore ∠EMF = 180° - ∠CME = 100°$.
（3）连接 AM. $\because △ DAE ≌ △ CEM, CM = EM, \therefore AE = EM = CM = DE = DM, ∠DEA = ∠CME = 90°, \therefore △ ADE$ 是等腰直角三角形, $△ DEM$ 是等边三角形, $\therefore ∠DEM = ∠DME = 60°, \therefore ∠FEM = 30°. \because AE = EM, \therefore$ 易得 $∠EAM = ∠EMA = 15°, \therefore ∠AMC = ∠CME - ∠EMA = 75°. \because ∠CME = 90°, ∠DME = 60°, \therefore ∠DMC = 30°. \because CM = DM, \therefore ∠MCD = ∠MDC = \frac{1}{2} × (180° - 30°) = 75°, \therefore ∠AMC = ∠MCD, \therefore AC = AM. \because N$ 为 CM 的中点, $\therefore AN ⊥ CM, \therefore ∠ANM = 90°, \therefore ∠ANM + ∠CME = 180°, \therefore AN // EM$
