问题情境
玉璧、玉环为我国的传统玉器,通常为正中带圆孔的扁圆形器物,据《尔雅·释器》记载:“肉倍好谓之璧,好倍肉谓之瑗,肉好若一谓之环.”如图1,“肉”指边(阴影部分),“好”指孔,其比例关系如图所示.以考古发现来看,这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系
问题解决
若图1中两个大圆的直径相等,求璧与环的“肉”的面积之比
问题探究
图3为某玉环(图2)从正面看得到的平面图形.现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合“肉好若一”.
作法:如图4.
①在外圆上任取两点A,B,连接AB;
②延长BA,过点A作射线BA的垂线交外圆于点C;
③连接BC,交内圆于E,F两点,分别以点E和点F为圆心,以大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧交于G,H两点,作直线GH交BC于点O,以点O为圆心,EF的长为半径作圆(虚线).


请你完成下面的证明.
证明:由作法②得$CA ⊥ BA$,$\therefore ∠ BAC=90°$,
$\therefore$弦BC是外圆的直径()(填推理依据).
由作法③得GH为BC的.
$\because$由作法③得到的圆(虚线)与外圆不重合,
$\therefore$该玉环的比例关系“肉好若一”(填“符合”或“不符合”)

问题解决:由题图1可知,璧的外圆半径为(2+2+2)÷2=3,内圆的半径为2÷2=1,
∴璧的"肉"的面积为π×(3²-1²)=8π,
由题图1可知,环的外圆半径为(1.5+3+1.5)÷2=3,内圆半径为3÷2=1.5,
∴环的"肉"的面积为π×(3²-1.5²)=6.75π,
∴璧与环的"肉"的面积之比为8π:6.75π=32:27.
问题探究:90°的圆周角所对的弦为直径;垂直平分线;不符合.

【分析】
本题分为两个模块，解题思路如下：
1. 问题解决：“肉”的面积本质是外圆减内圆的圆环面积，已知两个大圆直径相等，我们先根据图示比例分别计算璧、环的外圆半径和内圆半径，再代入圆环面积公式$S=π(R^2-r^2)$分别求出两者“肉”的面积，最后作比化简即可得到结果。
2. 问题探究：第一空考查圆周角定理的推论，结合90°圆周角的特征即可写出推理依据；第二空根据尺规作图的操作特征，可判断所作直线为线段的垂直平分线；第三空结合“肉好若一”的定义，若符合比例要求，所作虚线圆应与外圆重合，当前不重合即可判断不符合要求。
【解析】
问题解决
由题图可知两个大圆直径相等：
璧的外圆直径为$2+2+2=6$，故外圆半径$R_1=6÷2=3$；内圆（好）直径为2，故内圆半径$r_1=2÷2=1$。
璧的“肉”的面积：$S_1=π(R_1^2-r_1^2)=π×(3^2-1^2)=8π$
环的外圆直径为$1.5+3+1.5=6$，故外圆半径$R_2=6÷2=3$；内圆（好）直径为3，故内圆半径$r_2=3÷2=1.5$。
环的“肉”的面积：$S_2=π(R_2^2-r_2^2)=π×(3^2-1.5^2)=6.75π$
两者面积比：$S_1:S_2=8π:6.75π=32:27$
问题探究
1. 由圆周角定理的推论可知，90°的圆周角所对的弦为直径，因此∠BAC=90°时，弦BC是外圆直径。
2. 由作法③的操作：分别以E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧，两弧交于G、H，可知GH是EF的垂直平分线。
3. 若该玉环符合“肉好若一”的比例，则以O为圆心EF长为半径作的圆应与外圆重合，当前两圆不重合，因此不符合该比例。
【答案】
问题解决：$\boldsymbol{32:27}$
问题探究：90°的圆周角所对的弦为直径；垂直平分线；不符合
【知识点】
圆环面积计算，圆周角定理，尺规作垂直平分线
【点评】
本题结合传统玉器文化背景考查圆的相关知识，既覆盖了基础公式的应用，也检验了对尺规作图操作、几何定理的理解与实际运用能力，将文化常识与数学知识结合，能有效锻炼学生解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75