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1.「2025江苏徐州模拟」如图，在平面直角坐标系中放置一个边长为2的等边$△ ABC$，A与O重合，将$△ ABC$沿x轴的正方向无滑动地在x轴上滚动，每次翻转$120°$，经过2025次翻滚后，点B的对应点坐标为
(4 051,$\sqrt{3}$)
。答案
1.答案 $(4 051,\sqrt{3})$
解析 第1次翻滚后点B的对应点坐标为(4,0)；
第2次翻滚后点B的对应点坐标为(4,0)；
第3次翻滚后点B的对应点坐标为(7,$\sqrt{3}$)；
第4次翻滚后点B的对应点坐标为(10,0)；
第5次翻滚后点B的对应点坐标为(10,0)；
第6次翻滚后点B的对应点坐标为(13,$\sqrt{3}$)；……
∴ 当n为3的正整数倍时,经过n次翻滚后,点B的对应点坐标为$(2n+1,\sqrt{3})$。
∵ 2 025÷3=675,
∴ 经过2 025次翻滚后,点B的对应点的坐标为$(2×2 025+1,\sqrt{3})$,即$(4 051,\sqrt{3})$。
解析 第1次翻滚后点B的对应点坐标为(4,0)；
第2次翻滚后点B的对应点坐标为(4,0)；
第3次翻滚后点B的对应点坐标为(7,$\sqrt{3}$)；
第4次翻滚后点B的对应点坐标为(10,0)；
第5次翻滚后点B的对应点坐标为(10,0)；
第6次翻滚后点B的对应点坐标为(13,$\sqrt{3}$)；……
∴ 当n为3的正整数倍时,经过n次翻滚后,点B的对应点坐标为$(2n+1,\sqrt{3})$。
∵ 2 025÷3=675,
∴ 经过2 025次翻滚后,点B的对应点的坐标为$(2×2 025+1,\sqrt{3})$,即$(4 051,\sqrt{3})$。
2.如图,一只电子蚂蚁P在平面直角坐标系$xOy$中按箭头所示路径运动,即$P_1(1,2),P_2(3,1),P_3(4,3),P_4(6,2),P_5(7,4),P_6(9,3),···$按照这样的运动规律,$P_{100}$的坐标为 (
A.$(150,50)$
B.$(150,49)$
C.$(149,50)$
D.$(151,50)$
A
)A.$(150,50)$
B.$(150,49)$
C.$(149,50)$
D.$(151,50)$
答案
2.A 设第n个点为$P_n$,$\because P_1(1,2),P_2(3,1),P_3(4,3)$,$P_4(6,2),P_5(7,4),P_6(9,3),···$
∴ 当n为偶数时,$P_n$的坐标为$(\frac{3}{2}n,\frac{1}{2}n)$,
∴ 当n=100时,$P_{100}$的坐标为$(150,50)$。
∴ 当n为偶数时,$P_n$的坐标为$(\frac{3}{2}n,\frac{1}{2}n)$,
∴ 当n=100时,$P_{100}$的坐标为$(150,50)$。
3.「2025江苏宿迁泗阳月考」一个点从点O出发,在第一象限及x轴正半轴、y轴正半轴上运动,且每秒移动一个单位,运动方向如图中箭头所示:(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…,则第63秒时,这个点所在位置的坐标是 (
A.(7,0)
B.(0,7)
C.(7,7)
D.(6,0)
A
)A.(7,0)
B.(0,7)
C.(7,7)
D.(6,0)
答案
3.A 第3秒时运动到点(1,0),第8秒时运动到点(0,2),第15秒时运动到点(3,0),第24秒时运动到点(0,4),第35秒时运动到点(5,0),第48秒时运动到点(0,6),第63秒时运动到点(7,0),第63秒时,点所在位置的坐标是(7,0)。
4.「2026江苏南京建邺期中」如图,在平面直角坐标系中,点$ A_1 $的坐标为$(1,0)$,线段$ A_1A_2=1 $,$ A_2A_1 ⊥ OA_1 $垂足为$ A_1 $;线段$ A_2A_3=1 $,$ A_3A_2 ⊥ A_1A_2 $垂足为$ A_2 $;线段$ A_3A_4=1 $,$ A_4A_3 ⊥ A_2A_3 $,垂足为$ A_3 $;……,按此规律,点$ A_{2025} $的坐标为
(1 013,1 012)
.答案
4.答案 $(1\ 013,1\ 012)$
解析 由题意得点$A_1$的坐标为$(1,0)$,
点$A_2$的坐标为$(1,1)$,点$A_3$的坐标为$(2,1)$,
点$A_4$的坐标为$(2,2)$,点$A_5$的坐标为$(3,2)$,
……
∴ 点$A_{2n}$的坐标为$(n,n)$,点$A_{2n+1}$的坐标为$(n+1,n)$,
∵ $2\ 025=2×1\ 012+1$,
∴ 点$A_{2\ 025}$的坐标为$(1\ 013,1\ 012)$。
解析 由题意得点$A_1$的坐标为$(1,0)$,
点$A_2$的坐标为$(1,1)$,点$A_3$的坐标为$(2,1)$,
点$A_4$的坐标为$(2,2)$,点$A_5$的坐标为$(3,2)$,
……
∴ 点$A_{2n}$的坐标为$(n,n)$,点$A_{2n+1}$的坐标为$(n+1,n)$,
∵ $2\ 025=2×1\ 012+1$,
∴ 点$A_{2\ 025}$的坐标为$(1\ 013,1\ 012)$。
5.如图1,风力发电机有三个相同的叶片,每两个叶片之间的夹角为$120°$.以旋转中心$O$为原点,水平方向为$x$轴,竖直方向为$y$轴建立平面直角坐标系,如图2,恰好其中一个叶片尖点$A$的坐标为$(10,10)$.若叶片每秒绕点$O$顺时针旋转$90°$,则第2025秒时叶片尖点$A$的对应点坐标为（
A.$(10,10)$
B.$(-10,10)$
C.$(10,-10)$
D.$(-10,-10)$
C
）A.$(10,10)$
B.$(-10,10)$
C.$(10,-10)$
D.$(-10,-10)$
答案
5.C $\because A(10,10)$,叶片每秒绕原点O顺时针旋转$90°$,
∴ 第1,2,3,4秒时,点A的对应点的坐标分别为$A_1(10,-10)$,$A_2(-10,-10)$,$A_3(-10,10)$,$A_4(10,10)$,
∴ 点A的坐标以4秒为一个周期进行循环,
∵ $2\ 025÷4=506······1$,
∴ 第2 025秒时,叶片尖点A的对应点坐标与$A_1$的坐标相同,为$(10,-10)$.故选C。
∴ 第1,2,3,4秒时,点A的对应点的坐标分别为$A_1(10,-10)$,$A_2(-10,-10)$,$A_3(-10,10)$,$A_4(10,10)$,
∴ 点A的坐标以4秒为一个周期进行循环,
∵ $2\ 025÷4=506······1$,
∴ 第2 025秒时,叶片尖点A的对应点坐标与$A_1$的坐标相同,为$(10,-10)$.故选C。
6.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA₁B₁,第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂,第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃,……,已知A(1,3),A₁(2,3),A₂(4,3),A₃(8,3),B(2,0),B₁(4,0),B₂(8,0),B₃(16,0).观察每次变换前、后的三角形,按照变换规律,点Aₙ的坐标是
$(2^n,3)$
.答案
6.答案 $(2^n,3)$
