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14.(7分)古代有一种计时器称为“漏刻”，其计时原理是通过漏壶或箭壶中水量的均匀变化来度量时间。图甲为我国国家博物馆收藏的西汉时期的计时工具青铜漏壶。图乙为某同学设计的计时工具箭壶模型，该模型由薄壁圆柱形玻璃容器、长方体木块(不吸水)和标有刻度的箭尺构成，箭尺重力忽略不计，其底部与木块相连，向容器内均匀注水，可使箭尺和木块随水面匀速竖直上升，从而计时。已知容器高为50 cm，底面积为700 cm²；木块重1.5 N，高为5 cm。初始状态下，容器内有部分水，刚好使木块在浮力作用下与容器底部脱离接触，此时水深为3 cm；工作状态下，木块上升至上表面刚好与容器上沿相平时，一个计时周期结束。g取10 N/kg，$\rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$，不计容器底、容器壁的厚度和箭尺的重力。
(1)求初始状态下木块受到的浮力；
(2)求木块的密度；
(3)计时周期结束时，求木块底部受到的水的压强和容器内水的质量。
(1)求初始状态下木块受到的浮力；
(2)求木块的密度；
(3)计时周期结束时，求木块底部受到的水的压强和容器内水的质量。
答案
14.(1)1.5 N
(2)$0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
(3)300 Pa 33.45 kg
解析 (1)初始状态下,木块漂浮,受到的浮力$F_{浮}=G_{木}=1.5\ \mathrm{N}$
(2)初始状态下,由题知,$V_{排}=\frac{3}{5}V_{木}$
由木块漂浮可知,$F_{浮}=G_{木}$,可得$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{木}gV_{木}$
可得木块的密度$\rho_{木}=\frac{3}{5}\rho_{水}=\frac{3}{5}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3)计时周期结束时,容器内水深为$h_{水}=50\ \mathrm{cm}-2\ \mathrm{cm}=48\ \mathrm{cm}$,木块底部距水面的深度为$h_1=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$
木块底部受到的水的压强 $p_{木}=\rho_{水}gh_1=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.03\ \mathrm{m}=300\ \mathrm{Pa}$
水的体积与木块排开水的体积之和$V_{总}=Sh_{水}=700\ \mathrm{cm^2}×48\ \mathrm{cm}=33\ 600\ \mathrm{cm^3}$
由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$得木块排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1.5\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=150\ \mathrm{cm^3}$
水的体积$V_{水}=V_{总}-V_{排}=33\ 600\ \mathrm{cm^3}-150\ \mathrm{cm^3}=33\ 450\ \mathrm{cm^3}$
由$\rho=\frac{m}{V}$可知水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm^3}×33\ 450\ \mathrm{cm^3}=33\ 450\ \mathrm{g}=33.45\ \mathrm{kg}$。
(2)$0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
(3)300 Pa 33.45 kg
解析 (1)初始状态下,木块漂浮,受到的浮力$F_{浮}=G_{木}=1.5\ \mathrm{N}$
(2)初始状态下,由题知,$V_{排}=\frac{3}{5}V_{木}$
由木块漂浮可知,$F_{浮}=G_{木}$,可得$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{木}gV_{木}$
可得木块的密度$\rho_{木}=\frac{3}{5}\rho_{水}=\frac{3}{5}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(3)计时周期结束时,容器内水深为$h_{水}=50\ \mathrm{cm}-2\ \mathrm{cm}=48\ \mathrm{cm}$,木块底部距水面的深度为$h_1=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}$
木块底部受到的水的压强 $p_{木}=\rho_{水}gh_1=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.03\ \mathrm{m}=300\ \mathrm{Pa}$
水的体积与木块排开水的体积之和$V_{总}=Sh_{水}=700\ \mathrm{cm^2}×48\ \mathrm{cm}=33\ 600\ \mathrm{cm^3}$
由$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$得木块排开水的体积$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1.5\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=150\ \mathrm{cm^3}$
水的体积$V_{水}=V_{总}-V_{排}=33\ 600\ \mathrm{cm^3}-150\ \mathrm{cm^3}=33\ 450\ \mathrm{cm^3}$
由$\rho=\frac{m}{V}$可知水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm^3}×33\ 450\ \mathrm{cm^3}=33\ 450\ \mathrm{g}=33.45\ \mathrm{kg}$。
解析
【分析】
本题考查浮力、密度、液体压强的综合计算，解题思路如下：
(1) 初始状态木块漂浮，根据漂浮条件，浮力等于自身重力，直接代入木块重力即可求出浮力；
(2) 利用漂浮时浮力等于重力，结合阿基米德原理，找到排开体积与木块体积的关系，进而推导木块密度；
(3) 计时周期结束时，先确定水面高度，再根据浮力不变求出排开体积，通过容器内水和排开体积的总体积减去排开体积得到水的体积，从而计算水的质量；木块底部的压强根据液体压强公式计算，注意深度是木块底部到水面的距离。
【解析】
(1) 初始状态下，木块漂浮，根据漂浮条件，木块受到的浮力等于自身重力，即：
$F_{浮}=G_{木}=1.5\ \mathrm{N}$；
(2) 木块漂浮，故$F_{浮}=G_{木}$，由阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，重力公式$G_{木}=\rho_{木}gV_{木}$，可得：
$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{木}gV_{木}$，即$\rho_{木}=\frac{V_{排}}{V_{木}}\rho_{水}$。
初始时，水深为3cm，木块高5cm，木块漂浮时浸入水中的深度$h_{浸}=3\ \mathrm{cm}$，则排开体积$V_{排}=S_{木}h_{浸}$，木块体积$V_{木}=S_{木}h_{木}=S_{木}×5\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{V_{排}}{V_{木}}=\frac{3\ \mathrm{cm}}{5\ \mathrm{cm}}=\frac{3}{5}$，代入得：
$\rho_{木}=\frac{3}{5}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
(3) 计时周期结束时，木块上表面刚好与容器上沿相平，容器高50cm，木块高5cm，此时木块底部距容器底部的高度为$50\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=45\ \mathrm{cm}$，木块浸入水中的深度仍为初始时的3cm（浮力不变，排开体积不变），故水面高度为$45\ \mathrm{cm}+3\ \mathrm{cm}=48\ \mathrm{cm}$。
① 木块底部受到的水的压强：
$p=\rho_{水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.03\ \mathrm{m}=300\ \mathrm{Pa}$；
② 容器内水和木块排开水的总体积：
$V_{总}=S_{容器}h_{水}=700\ \mathrm{cm^2}×48\ \mathrm{cm}=33600\ \mathrm{cm^3}$；
木块排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1.5\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=150\ \mathrm{cm^3}$；
则水的体积：
$V_{水}=V_{总}-V_{排}=33600\ \mathrm{cm^3}-150\ \mathrm{cm^3}=33450\ \mathrm{cm^3}$；
水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm^3}×33450\ \mathrm{cm^3}=33450\ \mathrm{g}=33.45\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) 1.5 N；(2) $0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；(3) 木块底部受到的水的压强为300 Pa，容器内水的质量为33.45 kg。
【知识点】
浮力、密度、液体压强
【点评】
本题结合古代计时工具考查浮力、密度、压强的综合应用，关键是理解漂浮条件的应用，理清排开体积与总体积的关系，需要熟练运用相关公式，难度适中。
【难度系数】
0.4
本题考查浮力、密度、液体压强的综合计算，解题思路如下：
(1) 初始状态木块漂浮，根据漂浮条件，浮力等于自身重力，直接代入木块重力即可求出浮力；
(2) 利用漂浮时浮力等于重力，结合阿基米德原理，找到排开体积与木块体积的关系，进而推导木块密度；
(3) 计时周期结束时，先确定水面高度，再根据浮力不变求出排开体积，通过容器内水和排开体积的总体积减去排开体积得到水的体积，从而计算水的质量；木块底部的压强根据液体压强公式计算，注意深度是木块底部到水面的距离。
【解析】
(1) 初始状态下，木块漂浮，根据漂浮条件，木块受到的浮力等于自身重力，即：
$F_{浮}=G_{木}=1.5\ \mathrm{N}$；
(2) 木块漂浮，故$F_{浮}=G_{木}$，由阿基米德原理$F_{浮}=\rho_{水}gV_{排}$，重力公式$G_{木}=\rho_{木}gV_{木}$，可得：
$\rho_{水}gV_{排}=\rho_{木}gV_{木}$，即$\rho_{木}=\frac{V_{排}}{V_{木}}\rho_{水}$。
初始时，水深为3cm，木块高5cm，木块漂浮时浸入水中的深度$h_{浸}=3\ \mathrm{cm}$，则排开体积$V_{排}=S_{木}h_{浸}$，木块体积$V_{木}=S_{木}h_{木}=S_{木}×5\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{V_{排}}{V_{木}}=\frac{3\ \mathrm{cm}}{5\ \mathrm{cm}}=\frac{3}{5}$，代入得：
$\rho_{木}=\frac{3}{5}×1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}=0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；
(3) 计时周期结束时，木块上表面刚好与容器上沿相平，容器高50cm，木块高5cm，此时木块底部距容器底部的高度为$50\ \mathrm{cm}-5\ \mathrm{cm}=45\ \mathrm{cm}$，木块浸入水中的深度仍为初始时的3cm（浮力不变，排开体积不变），故水面高度为$45\ \mathrm{cm}+3\ \mathrm{cm}=48\ \mathrm{cm}$。
① 木块底部受到的水的压强：
$p=\rho_{水}gh=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.03\ \mathrm{m}=300\ \mathrm{Pa}$；
② 容器内水和木块排开水的总体积：
$V_{总}=S_{容器}h_{水}=700\ \mathrm{cm^2}×48\ \mathrm{cm}=33600\ \mathrm{cm^3}$；
木块排开水的体积：
$V_{排}=\frac{F_{浮}}{\rho_{水}g}=\frac{1.5\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}=1.5×10^{-4}\ \mathrm{m^3}=150\ \mathrm{cm^3}$；
则水的体积：
$V_{水}=V_{总}-V_{排}=33600\ \mathrm{cm^3}-150\ \mathrm{cm^3}=33450\ \mathrm{cm^3}$；
水的质量：
$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ \mathrm{g/cm^3}×33450\ \mathrm{cm^3}=33450\ \mathrm{g}=33.45\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) 1.5 N；(2) $0.6×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$；(3) 木块底部受到的水的压强为300 Pa，容器内水的质量为33.45 kg。
【知识点】
浮力、密度、液体压强
【点评】
本题结合古代计时工具考查浮力、密度、压强的综合应用，关键是理解漂浮条件的应用，理清排开体积与总体积的关系，需要熟练运用相关公式，难度适中。
【难度系数】
0.4
