2. 在数学课上,同学们以特殊三角形为背景,探究动点运动的几何问题,如图,在△ABC中,M,N分别为AB,AC上的动点(不与端点重合),且AN=BM.
(1)如图1,当△ABC为等边三角形时,小颜发现:将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,连接BD,则MN=DB,请证明小颜的结论;
(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE⊥MN于点E,交BC于点F,将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.求证:四边形AFBD是平行四边形;
(3)孙老师提出新的探究方向:如图3,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,连接BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.

(1)证明:
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠A=60°,AB=AC. 由旋转的性质,得 DM = AM,∠AMD = 120°,
∴ ∠DMB = 60°. 在△ANM 和 △MBD 中, $\begin{cases}AN=MB,\\∠A=∠DMB=60°,\\AM=MD,\end{cases}$
∴ △ANM≌△MBD(SAS).
∴ MN=DB.
(2)证明:
∵ AB=AC,∠BAC=90°,
∴ ∠ABC=45°. 由旋转的性质,得 MA=MD,∠MAD=∠MDA=45°,∠DMA=∠DMB=90°,
∴ ∠MAD=∠ABF=45°.
∴ AD//BF. 在△ANM 和 △MBD 中, $\begin{cases}MA=DM,\\∠MAN=∠DMB,\\AN=MB,\end{cases}$
∴ △ANM ≌ △MBD ( SAS ).
∴ ∠AMN = ∠MDB.
∵ AE ⊥ MN,
∴ ∠AMN+ ∠MAE = 90°.
∵ ∠MDB + ∠MBD=90°,
∴ ∠DBM = ∠MAF.
∴ DB//AF.
∴ 四边形 AFBD 为平行四边形.
(3)BN+CM 的最小值为 $4\sqrt{5}$.

【分析】
(1) 要证MN=DB，可通过证明两线段所在三角形全等求解。结合等边三角形性质得∠A=60°，根据旋转性质得DM=AM、∠AMD=120°，推导得∠DMB=∠A=60°，再结合已知AN=BM，即可用SAS证明△ANM≌△MBD得到结论。
(2) 要证四边形AFBD是平行四边形，需证明两组对边分别平行。首先根据等腰直角三角形和旋转的性质，得∠MAD=∠ABC=45°，证得AD//BF；再通过SAS证明△ANM≌△MBD，结合AE⊥MN的条件导角，证得∠DBM=∠MAF，得到DB//AF，即可得证。
(3) 求BN+CM的最小值，可利用全等转化线段：通过构造全等三角形将BN转化为与CM有公共端点的线段，根据“两点之间线段最短”，两线段共线时和最小，结合勾股定理计算即可。
【解析】
(1)证明:
∵ △ABC 为等边三角形,
∴ ∠A=60°,AB=AC. 由旋转的性质,得 DM = AM,∠AMD = 120°,
∴ ∠DMB = 60°. 在△ANM 和 △MBD 中, $\begin{cases}AN=MB,\\∠A=∠DMB=60°,\\AM=MD,\end{cases}$
∴ △ANM≌△MBD(SAS).
∴ MN=DB.
(2)证明:
∵ AB=AC,∠BAC=90°,
∴ ∠ABC=45°. 由旋转的性质,得 MA=MD,∠DMA=90°,
∴ ∠MAD=∠MDA=45°,∠DMB=90°,
∴ ∠MAD=∠ABF=45°.
∴ AD//BF. 在△ANM 和 △MBD 中, $\begin{cases}MA=DM,\\∠MAN=∠DMB=90°,\\AN=MB,\end{cases}$
∴ △ANM ≌ △MBD ( SAS ).
∴ ∠AMN = ∠MDB.
∵ AE ⊥ MN,
∴ ∠AMN+ ∠MAE = 90°.
∵ ∠MDB + ∠MBD=90°,
∴ ∠DBM = ∠MAF.
∴ DB//AF.
∴ 四边形 AFBD 为平行四边形.
(3)通过构造全等将BN转化为与CM共端点的线段，当两线段共线时和最小，结合勾股定理计算得最小值为$4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $4\sqrt{5}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；最短路径问题
【点评】
本题以特殊三角形为载体，结合旋转性质综合考查几何推理能力，前两问侧重全等三角形的应用和平行四边形的判定，需熟练掌握边角转化方法；第三问属于线段和最值问题，核心是通过全等变换将分散的线段转化为共端点的线段，利用两点之间线段最短求解，对转化思想的要求较高。
【难度系数】
0.6