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10.【数学游戏】将连续的奇数1,3,5,7,9,…按一定规律排成如图所示的数表，图中的T形框框住了四个数，若将T形框上下左右移动，按同样的方式框住的四个数的和为182，求T形框内处于中间且靠上的数。
答案
解:设 T 形框内处于中间且靠上的数为$2n-1$,则框内该数左边的数为$2n-3$,右边的数为$2n+1$,下面的数为$2n-1+10$,
所以 T 形框内四个数的和为$(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)=8n+6$,
即 T 形框内四个数的和为$8n+6$。
由题意得$8n+6=182$,
解得$n=22$,
故$2n-1=43$,
即 T 形框内处于中间且靠上的数为 43。
所以 T 形框内四个数的和为$(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)=8n+6$,
即 T 形框内四个数的和为$8n+6$。
由题意得$8n+6=182$,
解得$n=22$,
故$2n-1=43$,
即 T 形框内处于中间且靠上的数为 43。
解析
【分析】
首先观察数表规律：数表中是连续的奇数，每行有5个数，同一行相邻两个数相差2，上下相邻两行同一列的数相差10。我们可以设T形框内中间且靠上的数为未知数，根据数字排列规律表示出框内其余三个数，再结合四个数的和为182的条件列一元一次方程，解方程即可求出目标数。
【解析】
解：设T形框内处于中间且靠上的数为$2n-1$，根据数表规律：
该数左边的数比它小2，为$2n-3$；
该数右边的数比它大2，为$2n+1$；
该数下方的数比它大10，为$2n-1+10$。
则四个数的和为：
$(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)=8n+6$
由题意得$8n+6=182$
移项计算得$8n=176$，解得$n=22$
因此$2n-1=2×22-1=43$
【答案】
43
【知识点】
一元一次方程的应用，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律结合方程应用的题型，解题关键是先准确找出数表中数字的排列规律，再用代数式表示出框内所有数字，根据等量关系建立方程求解，能够有效锻炼观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察数表规律：数表中是连续的奇数，每行有5个数，同一行相邻两个数相差2，上下相邻两行同一列的数相差10。我们可以设T形框内中间且靠上的数为未知数，根据数字排列规律表示出框内其余三个数，再结合四个数的和为182的条件列一元一次方程，解方程即可求出目标数。
【解析】
解：设T形框内处于中间且靠上的数为$2n-1$，根据数表规律：
该数左边的数比它小2，为$2n-3$；
该数右边的数比它大2，为$2n+1$；
该数下方的数比它大10，为$2n-1+10$。
则四个数的和为：
$(2n-3)+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1+10)=8n+6$
由题意得$8n+6=182$
移项计算得$8n=176$，解得$n=22$
因此$2n-1=2×22-1=43$
【答案】
43
【知识点】
一元一次方程的应用，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题属于规律结合方程应用的题型，解题关键是先准确找出数表中数字的排列规律，再用代数式表示出框内所有数字，根据等量关系建立方程求解，能够有效锻炼观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
11.【综合与实践】我们知道整数和分数统称有理数,两个整数相除,如果得不到整数商,会有两种情况:一种得到有限小数;另一种得到无限小数。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数,叫作循环小数。那么,分数和小数是不是可以互化呢?
分数均可化为有限小数或无限循环小数。反之,有限小数和无限循环小数均可化为分数。
例如:$\frac{1}{4}=1÷4=0.25$,$1\frac{3}{5}=1+\frac{3}{5}=1+0.6=1.6$,$\frac{1}{3}=1÷3=0.\dot{3}$,
反之,$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$,$1.6=1+0.6=1+\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}$。
那么$0.\dot{3}$怎么化为$\frac{1}{3}$呢?
解:因为$0.\dot{3}×10=3.\dot{3}=3+0.\dot{3}$,
所以设$0.\dot{3}=x$,则上式变为$10x=3+x$,解得$x=\frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。
根据以上材料,回答下列问题:
(1)将分数化为小数:$\frac{5}{2}=$
(2)将小数化为分数:$0.\dot{7}=$
(3)试将小数$1.\dot{6}$化为分数,写出转化过程。
从小数点后某一位开始依次不断地重复出现前一个或一节数字的无限小数,叫作循环小数。那么,分数和小数是不是可以互化呢?
分数均可化为有限小数或无限循环小数。反之,有限小数和无限循环小数均可化为分数。
例如:$\frac{1}{4}=1÷4=0.25$,$1\frac{3}{5}=1+\frac{3}{5}=1+0.6=1.6$,$\frac{1}{3}=1÷3=0.\dot{3}$,
反之,$0.25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$,$1.6=1+0.6=1+\frac{6}{10}=1\frac{3}{5}$。
那么$0.\dot{3}$怎么化为$\frac{1}{3}$呢?
解:因为$0.\dot{3}×10=3.\dot{3}=3+0.\dot{3}$,
所以设$0.\dot{3}=x$,则上式变为$10x=3+x$,解得$x=\frac{1}{3}$,即$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$。
根据以上材料,回答下列问题:
(1)将分数化为小数:$\frac{5}{2}=$
$2.5$
,$\frac{4}{11}=$$0.\dot{3}\dot{6}$
;(2)将小数化为分数:$0.\dot{7}=$
$\frac{7}{9}$
;(3)试将小数$1.\dot{6}$化为分数,写出转化过程。
答案
(1)$2.5$ $0.\dot{3}\dot{6}$
(2)$\frac{7}{9}$
(3)设$0.\dot{6}=n$,根据题意得$10n=6+n$,解得$n=\frac{2}{3}$,即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$,所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
(2)$\frac{7}{9}$
(3)设$0.\dot{6}=n$,根据题意得$10n=6+n$,解得$n=\frac{2}{3}$,即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$,所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问分数化小数，直接用分子除以分母计算即可，能除尽的得到有限小数，除不尽的找到重复出现的数字确定循环节，写成循环小数形式。
2. 第(2)问纯循环小数化分数，参照材料中$0.\dot{3}$化分数的方法，利用“扩大10倍后循环部分和原数循环部分完全相同”的特点，设未知数列一元一次方程求解，消去循环部分即可得到对应分数。
3. 第(3)问带整数部分的循环小数，先拆成整数部分加纯循环小数部分，先将纯循环小数按上述方法化成分数，再和整数部分相加化简即可。
【解析】
(1) 计算除法可得：$\frac{5}{2}=5÷2=2.5$；$\frac{4}{11}=4÷11=0.363636···=0.\dot{3}\dot{6}$。
(2) 设$0.\dot{7}=x$，则$10x=7.\dot{7}=7+x$，移项得$10x-x=7$，即$9x=7$，解得$x=\frac{7}{9}$，即$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$。
(3) 先转化纯循环部分：设$0.\dot{6}=n$，根据题意得$10n=6+n$，移项得$9n=6$，解得$n=\frac{2}{3}$，即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$，所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1)$2.5$；$0.\dot{3}\dot{6}$
(2)$\frac{7}{9}$
(3)$\frac{5}{3}$，转化过程见解析
【知识点】
分数小数互化；一元一次方程的应用；循环小数的认识
【点评】
本题为材料阅读类题目，核心考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题关键是抓住“扩大整十倍后循环部分与原数重合”的特点构造方程，消去无限循环部分即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问分数化小数，直接用分子除以分母计算即可，能除尽的得到有限小数，除不尽的找到重复出现的数字确定循环节，写成循环小数形式。
2. 第(2)问纯循环小数化分数，参照材料中$0.\dot{3}$化分数的方法，利用“扩大10倍后循环部分和原数循环部分完全相同”的特点，设未知数列一元一次方程求解，消去循环部分即可得到对应分数。
3. 第(3)问带整数部分的循环小数，先拆成整数部分加纯循环小数部分，先将纯循环小数按上述方法化成分数，再和整数部分相加化简即可。
【解析】
(1) 计算除法可得：$\frac{5}{2}=5÷2=2.5$；$\frac{4}{11}=4÷11=0.363636···=0.\dot{3}\dot{6}$。
(2) 设$0.\dot{7}=x$，则$10x=7.\dot{7}=7+x$，移项得$10x-x=7$，即$9x=7$，解得$x=\frac{7}{9}$，即$0.\dot{7}=\frac{7}{9}$。
(3) 先转化纯循环部分：设$0.\dot{6}=n$，根据题意得$10n=6+n$，移项得$9n=6$，解得$n=\frac{2}{3}$，即$0.\dot{6}=\frac{2}{3}$，所以$1.\dot{6}=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$。
【答案】
(1)$2.5$；$0.\dot{3}\dot{6}$
(2)$\frac{7}{9}$
(3)$\frac{5}{3}$，转化过程见解析
【知识点】
分数小数互化；一元一次方程的应用；循环小数的认识
【点评】
本题为材料阅读类题目，核心考查对新方法的理解和迁移应用能力，解题关键是抓住“扩大整十倍后循环部分与原数重合”的特点构造方程，消去无限循环部分即可快速求解。
【难度系数】
0.8
