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三、解答题
1. 如图6,为了测量山的高度OB,小明在山前的平地竖一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长A'B'与山的影长AB,即可近似算出山的高度OB.如果$O'B'=1\ \mathrm{m},A'B'=2\ \mathrm{m},AB=270\ \mathrm{m}$,求山的高度OB.
1. 如图6,为了测量山的高度OB,小明在山前的平地竖一根已知长度的木棒O'B',比较木棒的影长A'B'与山的影长AB,即可近似算出山的高度OB.如果$O'B'=1\ \mathrm{m},A'B'=2\ \mathrm{m},AB=270\ \mathrm{m}$,求山的高度OB.
答案
1. 135 m
解析
【分析】
解题时首先结合平行投影的特点，同一时刻太阳光线互相平行，且物体与地面均垂直，可得△OAB和△O'A'B'的两组对应角相等，可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出山的高度OB。
【解析】
解：
∵太阳光线为平行光线，
∴∠OAB = ∠O'A'B'，
又
∵OB⊥AB，O'B'⊥AB，
∴∠ABO = ∠A'B'O' = 90°，
∴△OAB ∽ △O'A'B'（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OB}{O'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，
将$O'B'=1\ \mathrm{m},A'B'=2\ \mathrm{m},AB=270\ \mathrm{m}$代入得：
$OB=\frac{AB × O'B'}{A'B'}=\frac{270 × 1}{2}=135\ \mathrm{m}$。
【答案】
135 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行投影
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是将实际测量问题转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形的性质求解，考查了学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合平行投影的特点，同一时刻太阳光线互相平行，且物体与地面均垂直，可得△OAB和△O'A'B'的两组对应角相等，可证明两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出山的高度OB。
【解析】
解：
∵太阳光线为平行光线，
∴∠OAB = ∠O'A'B'，
又
∵OB⊥AB，O'B'⊥AB，
∴∠ABO = ∠A'B'O' = 90°，
∴△OAB ∽ △O'A'B'（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OB}{O'B'}=\frac{AB}{A'B'}$，
将$O'B'=1\ \mathrm{m},A'B'=2\ \mathrm{m},AB=270\ \mathrm{m}$代入得：
$OB=\frac{AB × O'B'}{A'B'}=\frac{270 × 1}{2}=135\ \mathrm{m}$。
【答案】
135 m
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行投影
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是将实际测量问题转化为相似三角形的数学模型，利用相似三角形的性质求解，考查了学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.85
2. 小泉和小明在太阳光下行走，同一时刻身高为1.75 m的小泉的影长为2.0 m，小明比他矮5 cm，此刻小明的影长约为多少（精确到0.01 m）？
答案
2. 设此刻小明的影长是x m,则有$\frac{1.75-0.05}{x}=\frac{1.75}{2.0}$,解得$x≈1.94$
解析
【分析】
首先回忆平行投影的性质：同一时刻的太阳光下，不同物体的高度与对应影长的比值相等。解题时先统一长度单位，算出小明的身高，再根据物高与影长的正比例关系列方程，求解即可得到小明的影长。
【解析】
解：先统一单位，$5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$，因此小明的身高为 $1.75 - 0.05 = 1.70\ \mathrm{m}$。
设此刻小明的影长是 $x\ \mathrm{m}$，根据同一时刻物高与影长的比值相等，可列比例式：
$\frac{1.70}{x}=\frac{1.75}{2.0}$
解方程得：
$1.75x=1.70×2.0$
$x=\frac{3.4}{1.75}\approx1.94$
【答案】
$1.94\ \mathrm{m}$
【知识点】
平行投影的性质，比例方程求解
【点评】
本题是结合生活实际的测量类基础题，核心是利用平行投影中物高和影长的正比例关系列式，解题时需注意先统一单位，最终结果按要求保留精确度即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆平行投影的性质：同一时刻的太阳光下，不同物体的高度与对应影长的比值相等。解题时先统一长度单位，算出小明的身高，再根据物高与影长的正比例关系列方程，求解即可得到小明的影长。
【解析】
解：先统一单位，$5\ \mathrm{cm}=0.05\ \mathrm{m}$，因此小明的身高为 $1.75 - 0.05 = 1.70\ \mathrm{m}$。
设此刻小明的影长是 $x\ \mathrm{m}$，根据同一时刻物高与影长的比值相等，可列比例式：
$\frac{1.70}{x}=\frac{1.75}{2.0}$
解方程得：
$1.75x=1.70×2.0$
$x=\frac{3.4}{1.75}\approx1.94$
【答案】
$1.94\ \mathrm{m}$
【知识点】
平行投影的性质，比例方程求解
【点评】
本题是结合生活实际的测量类基础题，核心是利用平行投影中物高和影长的正比例关系列式，解题时需注意先统一单位，最终结果按要求保留精确度即可。
【难度系数】
0.8
3*. 如图7,某班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度$CD=3\ \mathrm{m}$,标杆与旗杆的水平距离$BD=15\ \mathrm{m}$,人的眼睛与地面的高度$EF=1.6\ \mathrm{m}$,人与标杆$CD$的水平距离$DF=2\ \mathrm{m}$,求旗杆$AB$的高度.
答案
3. 13.5 m
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先过观测者眼睛位置作垂直于旗杆的水平线，与标杆、旗杆分别相交，构造出一组相似三角形；其次梳理已知线段的长度，计算相似三角形的对应已知边长；再利用相似三角形对应边成比例的性质，求出旗杆高出观测者眼睛的部分长度；最后将该长度加上观测者眼睛到地面的高度，即可得到旗杆总高度。
【解析】
过点E作$EH ⊥ AB$，垂足为H，EH交CD于点G。
$\because CD ⊥ FB$，$AB ⊥ FB$，$\therefore CD // AB$，
$\therefore ∠ ECG = ∠ EAH$，$∠ EGC = ∠ EHA = 90°$，
$\therefore △ ECG ∽ △ EAH$。
由题意得：$EG=DF=2\ \mathrm{m}$，$GH=BD=15\ \mathrm{m}$，$EF=HB=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore EH = EG + GH = 2 + 15 = 17\ \mathrm{m}$，$CG = CD - GD = CD - EF = 3 - 1.6 = 1.4\ \mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CG}{AH} = \frac{EG}{EH}$，
代入数据得$\frac{1.4}{AH} = \frac{2}{17}$，解得$AH = \frac{1.4 × 17}{2} = 11.9\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB = AH + HB = 11.9 + 1.6 = 13.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
$13.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造相似三角形，将实际测量问题转化为几何计算问题，解题时需注意旗杆总高度包含观测者眼睛到地面的高度，避免漏加导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先过观测者眼睛位置作垂直于旗杆的水平线，与标杆、旗杆分别相交，构造出一组相似三角形；其次梳理已知线段的长度，计算相似三角形的对应已知边长；再利用相似三角形对应边成比例的性质，求出旗杆高出观测者眼睛的部分长度；最后将该长度加上观测者眼睛到地面的高度，即可得到旗杆总高度。
【解析】
过点E作$EH ⊥ AB$，垂足为H，EH交CD于点G。
$\because CD ⊥ FB$，$AB ⊥ FB$，$\therefore CD // AB$，
$\therefore ∠ ECG = ∠ EAH$，$∠ EGC = ∠ EHA = 90°$，
$\therefore △ ECG ∽ △ EAH$。
由题意得：$EG=DF=2\ \mathrm{m}$，$GH=BD=15\ \mathrm{m}$，$EF=HB=1.6\ \mathrm{m}$，
$\therefore EH = EG + GH = 2 + 15 = 17\ \mathrm{m}$，$CG = CD - GD = CD - EF = 3 - 1.6 = 1.4\ \mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CG}{AH} = \frac{EG}{EH}$，
代入数据得$\frac{1.4}{AH} = \frac{2}{17}$，解得$AH = \frac{1.4 × 17}{2} = 11.9\ \mathrm{m}$。
$\therefore AB = AH + HB = 11.9 + 1.6 = 13.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
$13.5\ \mathrm{m}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是通过作辅助线构造相似三角形，将实际测量问题转化为几何计算问题，解题时需注意旗杆总高度包含观测者眼睛到地面的高度，避免漏加导致结果错误。
【难度系数】
0.7
