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2. 将图6中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化.
(1)沿y轴负方向平移2个单位；
(2)关于y轴对称；
(3)以B点为位似中心，在现有网格中将△ABC放大到2倍.
(1)沿y轴负方向平移2个单位；
(2)关于y轴对称；
(3)以B点为位似中心，在现有网格中将△ABC放大到2倍.
答案
解：
由图可得△ABC三个顶点的原坐标为：$A(-2, 1)$，$B(-3, -1)$，$C(0, -1)$。
(1) 沿$y$轴负方向平移2个单位：
画图：分别将$A$、$B$、$C$三点向下平移2个单位，顺次连接三个对应点得到$△ A_1B_1C_1$。
坐标变化：三个顶点的横坐标均保持不变，纵坐标都减去2，对应点坐标为$A_1(-2, -1)$，$B_1(-3, -3)$，$C_1(0, -3)$。
(2) 关于$y$轴对称：
画图：分别作出$A$、$B$、$C$关于$y$轴的对称点，顺次连接三个对应点得到$△ A_2B_2C_2$。
坐标变化：三个顶点的纵坐标均保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数，对应点坐标为$A_2(2, 1)$，$B_2(3, -1)$，$C_2(0, -1)$。
(3) 以$B$点为位似中心放大到2倍：
画图：连接$BA$、$BC$，分别延长（或反向延长）线段至对应点，使对应点到$B$的距离分别为$BA$、$BC$长度的2倍，顺次连接对应点得到放大后的三角形。
坐标变化：点$B$的坐标保持不变，其余两个顶点与点$B$的横、纵坐标之差均变为原来的2倍：
若放大后的三角形与原三角形在位似中心$B$的同侧，对应点坐标为$A_3(-1, 3)$，$B_3(-3, -1)$，$C_3(3, -1)$；
若放大后的三角形与原三角形在位似中心$B$的异侧，对应点坐标为$A_4(-5, -5)$，$B_4(-3, -1)$，$C_4(-9, -1)$。
由图可得△ABC三个顶点的原坐标为：$A(-2, 1)$，$B(-3, -1)$，$C(0, -1)$。
(1) 沿$y$轴负方向平移2个单位：
画图：分别将$A$、$B$、$C$三点向下平移2个单位，顺次连接三个对应点得到$△ A_1B_1C_1$。
坐标变化：三个顶点的横坐标均保持不变，纵坐标都减去2，对应点坐标为$A_1(-2, -1)$，$B_1(-3, -3)$，$C_1(0, -3)$。
(2) 关于$y$轴对称：
画图：分别作出$A$、$B$、$C$关于$y$轴的对称点，顺次连接三个对应点得到$△ A_2B_2C_2$。
坐标变化：三个顶点的纵坐标均保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数，对应点坐标为$A_2(2, 1)$，$B_2(3, -1)$，$C_2(0, -1)$。
(3) 以$B$点为位似中心放大到2倍：
画图：连接$BA$、$BC$，分别延长（或反向延长）线段至对应点，使对应点到$B$的距离分别为$BA$、$BC$长度的2倍，顺次连接对应点得到放大后的三角形。
坐标变化：点$B$的坐标保持不变，其余两个顶点与点$B$的横、纵坐标之差均变为原来的2倍：
若放大后的三角形与原三角形在位似中心$B$的同侧，对应点坐标为$A_3(-1, 3)$，$B_3(-3, -1)$，$C_3(3, -1)$；
若放大后的三角形与原三角形在位似中心$B$的异侧，对应点坐标为$A_4(-5, -5)$，$B_4(-3, -1)$，$C_4(-9, -1)$。
解析
【分析】
解决本题首先要根据网格确定△ABC三个顶点的初始坐标，再结合三种图形变换的坐标规律逐一求解：①沿y轴负方向平移属于平移变换，平移时横坐标不变，纵坐标按平移方向加减对应单位长度；②关于y轴对称属于轴对称变换，对称点纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数；③以B为位似中心的位似变换，需分与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，先计算原顶点与位似中心B的横、纵坐标差，将差值放大2倍后再加B的坐标，即可得到对应位似点的坐标，最后根据所得坐标画出对应图形即可。
【解析】
首先根据网格可得△ABC三个顶点的原坐标为：$A(-2, 1)$，$B(-3, -1)$，$C(0, -1)$。
(1) 沿$y$轴负方向平移2个单位：
画图：分别将$A$、$B$、$C$三点向下平移2个单位，顺次连接三个对应点得到$△ A_1B_1C_1$。
坐标变化：三个顶点的横坐标均保持不变，纵坐标都减去2，因此对应点坐标为：
$A_1(-2,1-2)=(-2, -1)$，$B_1(-3,-1-2)=(-3, -3)$，$C_1(0,-1-2)=(0, -3)$。
(2) 关于$y$轴对称：
画图：分别作出$A$、$B$、$C$关于$y$轴的对称点，顺次连接三个对应点得到$△ A_2B_2C_2$。
坐标变化：三个顶点的纵坐标均保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数，因此对应点坐标为：
$A_2(2, 1)$，$B_2(3, -1)$，$C_2(0, -1)$。
(3) 以$B$点为位似中心放大到2倍：
画图：连接$BA$、$BC$，分两种情况：①沿$BA$、$BC$方向延长线段，使$BA_3=2BA$、$BC_3=2BC$，得到与原图形在位似中心同侧的放大图形；②沿$AB$、$CB$反向延长线段，使$BA_4=2BA$、$BC_4=2BC$，得到与原图形在位似中心异侧的放大图形，再分别顺次连接对应点即可。
坐标变化：点$B$的坐标保持不变，其余两个顶点与点$B$的横、纵坐标之差均变为原来的2倍：
同侧时：$A_3(-3+2×1, -1+2×2)=(-1, 3)$，$B_3(-3, -1)$，$C_3(-3+2×3, -1+2×0)=(3, -1)$；
异侧时：$A_4(-3-2×1, -1-2×2)=(-5, -5)$，$B_4(-3, -1)$，$C_4(-3-2×3, -1-2×0)=(-9, -1)$。
【答案】
原顶点坐标：$A(-2, 1)$，$B(-3, -1)$，$C(0, -1)$；
(1) 平移后坐标：$A_1(-2, -1)$，$B_1(-3, -3)$，$C_1(0, -3)$，横坐标不变，纵坐标减2；
(2) 关于y轴对称后坐标：$A_2(2, 1)$，$B_2(3, -1)$，$C_2(0, -1)$，纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；
(3) 位似放大2倍后分两种情况：
① 与原图形在位似中心同侧：$A_3(-1, 3)$，$B_3(-3, -1)$，$C_3(3, -1)$；
② 与原图形在位似中心异侧：$A_4(-5, -5)$，$B_4(-3, -1)$，$C_4(-9, -1)$；
（画图略）
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与轴对称，坐标与位似变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中三类常见图形变换的坐标变化规律，解题核心是熟练掌握不同变换的坐标特征，需注意位似变换存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要根据网格确定△ABC三个顶点的初始坐标，再结合三种图形变换的坐标规律逐一求解：①沿y轴负方向平移属于平移变换，平移时横坐标不变，纵坐标按平移方向加减对应单位长度；②关于y轴对称属于轴对称变换，对称点纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数；③以B为位似中心的位似变换，需分与原图形在位似中心同侧、异侧两种情况，先计算原顶点与位似中心B的横、纵坐标差，将差值放大2倍后再加B的坐标，即可得到对应位似点的坐标，最后根据所得坐标画出对应图形即可。
【解析】
首先根据网格可得△ABC三个顶点的原坐标为：$A(-2, 1)$，$B(-3, -1)$，$C(0, -1)$。
(1) 沿$y$轴负方向平移2个单位：
画图：分别将$A$、$B$、$C$三点向下平移2个单位，顺次连接三个对应点得到$△ A_1B_1C_1$。
坐标变化：三个顶点的横坐标均保持不变，纵坐标都减去2，因此对应点坐标为：
$A_1(-2,1-2)=(-2, -1)$，$B_1(-3,-1-2)=(-3, -3)$，$C_1(0,-1-2)=(0, -3)$。
(2) 关于$y$轴对称：
画图：分别作出$A$、$B$、$C$关于$y$轴的对称点，顺次连接三个对应点得到$△ A_2B_2C_2$。
坐标变化：三个顶点的纵坐标均保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数，因此对应点坐标为：
$A_2(2, 1)$，$B_2(3, -1)$，$C_2(0, -1)$。
(3) 以$B$点为位似中心放大到2倍：
画图：连接$BA$、$BC$，分两种情况：①沿$BA$、$BC$方向延长线段，使$BA_3=2BA$、$BC_3=2BC$，得到与原图形在位似中心同侧的放大图形；②沿$AB$、$CB$反向延长线段，使$BA_4=2BA$、$BC_4=2BC$，得到与原图形在位似中心异侧的放大图形，再分别顺次连接对应点即可。
坐标变化：点$B$的坐标保持不变，其余两个顶点与点$B$的横、纵坐标之差均变为原来的2倍：
同侧时：$A_3(-3+2×1, -1+2×2)=(-1, 3)$，$B_3(-3, -1)$，$C_3(-3+2×3, -1+2×0)=(3, -1)$；
异侧时：$A_4(-3-2×1, -1-2×2)=(-5, -5)$，$B_4(-3, -1)$，$C_4(-3-2×3, -1-2×0)=(-9, -1)$。
【答案】
原顶点坐标：$A(-2, 1)$，$B(-3, -1)$，$C(0, -1)$；
(1) 平移后坐标：$A_1(-2, -1)$，$B_1(-3, -3)$，$C_1(0, -3)$，横坐标不变，纵坐标减2；
(2) 关于y轴对称后坐标：$A_2(2, 1)$，$B_2(3, -1)$，$C_2(0, -1)$，纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；
(3) 位似放大2倍后分两种情况：
① 与原图形在位似中心同侧：$A_3(-1, 3)$，$B_3(-3, -1)$，$C_3(3, -1)$；
② 与原图形在位似中心异侧：$A_4(-5, -5)$，$B_4(-3, -1)$，$C_4(-9, -1)$；
（画图略）
【知识点】
坐标与平移变换，坐标与轴对称，坐标与位似变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中三类常见图形变换的坐标变化规律，解题核心是熟练掌握不同变换的坐标特征，需注意位似变换存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 如图7,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(1,-2),B(4,-1),C(3,-3),△ABC内部任意一点P的坐标为(a,b).
(1)△A₁B₁C₁是由△ABC经过某种变换后得到的图形,观察它们对应点的坐标之间的关系,指出是怎样变换得到的,并写出变换后点P的对应点P₁的坐标(用含a,b的代数式表示);
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出△A₁B₁C₁的一个位似图形△A₂B₂C₂,使它与△A₁B₁C₁的相似比为2:1.写出A₂,B₂,C₂的坐标,及变换后点P₁的对应点P₂的坐标(用含a,b的代数式表示).
(1)△A₁B₁C₁是由△ABC经过某种变换后得到的图形,观察它们对应点的坐标之间的关系,指出是怎样变换得到的,并写出变换后点P的对应点P₁的坐标(用含a,b的代数式表示);
(2)以原点O为位似中心,在位似中心的同侧画出△A₁B₁C₁的一个位似图形△A₂B₂C₂,使它与△A₁B₁C₁的相似比为2:1.写出A₂,B₂,C₂的坐标,及变换后点P₁的对应点P₂的坐标(用含a,b的代数式表示).
答案
(1)将△ABC向左平移5格,再向上平移3格得到△A₁B₁C₁,$P_1(a-5,b+3)$
(2)画图略,$A_2(-8,2),B_2(-2,4),C_2(-4,0),P_2(2a-10,2b+6)$
(2)画图略,$A_2(-8,2),B_2(-2,4),C_2(-4,0),P_2(2a-10,2b+6)$
解析
【分析】
(1) 要判断△ABC到△A₁B₁C₁的变换，可先对比两组对应顶点的横、纵坐标变化规律：先写出A、B、C和对应A₁、B₁、C₁的坐标，计算横坐标的差和纵坐标的差，即可确定变换类型，再根据该变换的坐标变化规律推导点P的对应点P₁的坐标。
(2) 关于原点为位似中心的同侧位似变换，若相似比为k，则变换后点的坐标是原坐标乘以k。本题相似比为2:1，即k=2，先结合(1)得到的A₁、B₁、C₁的坐标，分别乘以2即可得到A₂、B₂、C₂的坐标，再按相同规律推导P₂的坐标。
【解析】
(1) 已知A(1,-2)，观察得对应点A₁坐标为(-4,1)，横坐标变化：-4-1=-5，纵坐标变化：1-(-2)=3；
验证B(4,-1)对应B₁(-1,2)：-1-4=-5，2-(-1)=3；C(3,-3)对应C₁(-2,0)：-2-3=-5，0-(-3)=3；
可知变换规则为：横坐标减5，纵坐标加3，即把△ABC向左平移5格，再向上平移3格得到△A₁B₁C₁。
因为点P坐标为(a,b)，所以对应点P₁的坐标为(a-5, b+3)。
(2) 以原点O为位似中心，位似同侧、相似比为2:1时，位似变换规则为：对应点的横、纵坐标均为原对应点的2倍。
结合A₁(-4,1)、B₁(-1,2)、C₁(-2,0)，可得：
A₂的坐标为(-4×2, 1×2)=(-8,2)，
B₂的坐标为(-1×2,2×2)=(-2,4)，
C₂的坐标为(-2×2,0×2)=(-4,0)；
因为P₁坐标为(a-5, b+3)，所以对应点P₂的坐标为(2(a-5), 2(b+3))，即(2a-10, 2b+6)。
【答案】
(1) 将△ABC向左平移5格，再向上平移3格得到△A₁B₁C₁，$P_1(a-5,b+3)$；
(2) $A_2(-8,2),B_2(-2,4),C_2(-4,0),P_2(2a-10,2b+6)$
【知识点】
平移的坐标变换；位似的坐标变换
【点评】
本题考查图形的变换与坐标的对应关系，解题的关键是熟练掌握平移、位似两种变换下的坐标变化规律，从已知特殊点的坐标变化推导一般点的坐标，是对图形变换基础知识点的考察。
【难度系数】
0.8
(1) 要判断△ABC到△A₁B₁C₁的变换，可先对比两组对应顶点的横、纵坐标变化规律：先写出A、B、C和对应A₁、B₁、C₁的坐标，计算横坐标的差和纵坐标的差，即可确定变换类型，再根据该变换的坐标变化规律推导点P的对应点P₁的坐标。
(2) 关于原点为位似中心的同侧位似变换，若相似比为k，则变换后点的坐标是原坐标乘以k。本题相似比为2:1，即k=2，先结合(1)得到的A₁、B₁、C₁的坐标，分别乘以2即可得到A₂、B₂、C₂的坐标，再按相同规律推导P₂的坐标。
【解析】
(1) 已知A(1,-2)，观察得对应点A₁坐标为(-4,1)，横坐标变化：-4-1=-5，纵坐标变化：1-(-2)=3；
验证B(4,-1)对应B₁(-1,2)：-1-4=-5，2-(-1)=3；C(3,-3)对应C₁(-2,0)：-2-3=-5，0-(-3)=3；
可知变换规则为：横坐标减5，纵坐标加3，即把△ABC向左平移5格，再向上平移3格得到△A₁B₁C₁。
因为点P坐标为(a,b)，所以对应点P₁的坐标为(a-5, b+3)。
(2) 以原点O为位似中心，位似同侧、相似比为2:1时，位似变换规则为：对应点的横、纵坐标均为原对应点的2倍。
结合A₁(-4,1)、B₁(-1,2)、C₁(-2,0)，可得：
A₂的坐标为(-4×2, 1×2)=(-8,2)，
B₂的坐标为(-1×2,2×2)=(-2,4)，
C₂的坐标为(-2×2,0×2)=(-4,0)；
因为P₁坐标为(a-5, b+3)，所以对应点P₂的坐标为(2(a-5), 2(b+3))，即(2a-10, 2b+6)。
【答案】
(1) 将△ABC向左平移5格，再向上平移3格得到△A₁B₁C₁，$P_1(a-5,b+3)$；
(2) $A_2(-8,2),B_2(-2,4),C_2(-4,0),P_2(2a-10,2b+6)$
【知识点】
平移的坐标变换；位似的坐标变换
【点评】
本题考查图形的变换与坐标的对应关系，解题的关键是熟练掌握平移、位似两种变换下的坐标变化规律，从已知特殊点的坐标变化推导一般点的坐标，是对图形变换基础知识点的考察。
【难度系数】
0.8
