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1. 下列方程中,是二元一次方程的是 (
A.$x + y = 6$
B.$x(x + y) = 2$
C.$3x - y = z + 1$
D.$m + \frac{1}{n} = 7$
A
)A.$x + y = 6$
B.$x(x + y) = 2$
C.$3x - y = z + 1$
D.$m + \frac{1}{n} = 7$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一个方程是不是二元一次方程，需紧扣二元一次方程的三个判定条件：①含有2个未知数（二元）；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程。我们只需对照这三个条件逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对各选项逐一判断：
选项A：方程$x+y=6$含有$x、y$两个未知数，$x、y$的次数均为1，且是整式方程，满足二元一次方程的所有条件，符合要求。
选项B：方程$x(x+y)=2$展开后含$x^2$、$xy$项，这两项的次数都是2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程。
选项C：方程$3x-y=z+1$含有$x、y、z$三个未知数，不满足“两个未知数”的要求，不是二元一次方程。
选项D：方程$m+\frac{1}{n}=7$的分母中含有未知数$n$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是二元一次方程。
综上，只有选项A是二元一次方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程定义的掌握程度，解题的关键是牢记二元一次方程需满足的三个判定要点，判断时注意不要遗漏“整式方程”“项的次数为1”这些容易忽略的条件。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是不是二元一次方程，需紧扣二元一次方程的三个判定条件：①含有2个未知数（二元）；②含有未知数的项的次数都是1；③是整式方程。我们只需对照这三个条件逐一分析每个选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
对各选项逐一判断：
选项A：方程$x+y=6$含有$x、y$两个未知数，$x、y$的次数均为1，且是整式方程，满足二元一次方程的所有条件，符合要求。
选项B：方程$x(x+y)=2$展开后含$x^2$、$xy$项，这两项的次数都是2，不满足“含未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程。
选项C：方程$3x-y=z+1$含有$x、y、z$三个未知数，不满足“两个未知数”的要求，不是二元一次方程。
选项D：方程$m+\frac{1}{n}=7$的分母中含有未知数$n$，属于分式方程，不是整式方程，因此不是二元一次方程。
综上，只有选项A是二元一次方程。
【答案】
A
【知识点】
1. 二元一次方程的定义
2. 整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对二元一次方程定义的掌握程度，解题的关键是牢记二元一次方程需满足的三个判定要点，判断时注意不要遗漏“整式方程”“项的次数为1”这些容易忽略的条件。
【难度系数】
0.8
2. 下列是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases}2z=9 \\3x+2y=10\end{cases}$
B.$\begin{cases}x-5y=0 \\x+y=3z\end{cases}$
C.$\begin{cases}xy=2 \\x+y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$
D
）A.$\begin{cases}2z=9 \\3x+2y=10\end{cases}$
B.$\begin{cases}x-5y=0 \\x+y=3z\end{cases}$
C.$\begin{cases}xy=2 \\x+y=1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$
答案
2.D
解析
【分析】
要判断哪个是二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的三个核心判定条件：①方程组中一共只含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③所有方程都是整式方程。我们可以根据这三个条件逐一排查选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
二元一次方程组的定义：由两个一共含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
选项A：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，排除；
选项B：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不符合要求，排除；
选项C：方程$xy=2$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，排除；
选项D：方程组仅含x、y2个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的判定、单项式的次数、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢牢掌握二元一次方程组的三个判定条件，做题时注意不要混淆“单个未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，也不要忽略方程组中未知数的总个数。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的三个核心判定条件：①方程组中一共只含有2个不同的未知数；②含有未知数的项的次数都为1；③所有方程都是整式方程。我们可以根据这三个条件逐一排查选项，排除不符合的即可得到正确答案。
【解析】
二元一次方程组的定义：由两个一共含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
选项A：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，排除；
选项B：方程组中出现了x、y、z共3个未知数，不符合要求，排除；
选项C：方程$xy=2$中，$xy$项的次数是$1+1=2$，不符合“含未知数的项的次数为1”的要求，排除；
选项D：方程组仅含x、y2个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的判定、单项式的次数、整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢牢掌握二元一次方程组的三个判定条件，做题时注意不要混淆“单个未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，也不要忽略方程组中未知数的总个数。
【难度系数】
0.8
3. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30 g.设蛋白质、脂肪的含量分别为x g，y g，可列出方程为（
A.$\frac{5}{2}x + y = 30$
B.$x + \frac{5}{2}y = 30$
C.$\frac{3}{2}x + y = 30$
D.$x + \frac{3}{2}y = 30$
A
）A.$\frac{5}{2}x + y = 30$
B.$x + \frac{5}{2}y = 30$
C.$\frac{3}{2}x + y = 30$
D.$x + \frac{3}{2}y = 30$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先理清题目中的数量关系：第一步根据碳水化合物与蛋白质的倍数关系，用含x的代数式表示出碳水化合物的含量；第二步找到核心等量关系：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪含量=30g；第三步把对应的代数式代入等量关系，合并同类项后对比选项即可得到结果。
【解析】
已知蛋白质含量为x g，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，因此碳水化合物含量为1.5x g。
根据题意，三类营养成分总含量为30 g，脂肪含量为y g，可列等量关系：
$\mathrm{碳水化合物含量} + \mathrm{蛋白质含量} + \mathrm{脂肪含量} = 30$
代入对应量得：$1.5x + x + y = 30$
合并同类项得：$2.5x + y = 30$，将2.5化为分数为$\frac{5}{2}$，即方程为$\frac{5}{2}x + y = 30$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程；代数式表示数量关系
【点评】
本题考查根据实际问题列方程，核心是准确梳理各数量之间的倍数关系和总和等量关系，只要找准等量关系代入计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先理清题目中的数量关系：第一步根据碳水化合物与蛋白质的倍数关系，用含x的代数式表示出碳水化合物的含量；第二步找到核心等量关系：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪含量=30g；第三步把对应的代数式代入等量关系，合并同类项后对比选项即可得到结果。
【解析】
已知蛋白质含量为x g，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，因此碳水化合物含量为1.5x g。
根据题意，三类营养成分总含量为30 g，脂肪含量为y g，可列等量关系：
$\mathrm{碳水化合物含量} + \mathrm{蛋白质含量} + \mathrm{脂肪含量} = 30$
代入对应量得：$1.5x + x + y = 30$
合并同类项得：$2.5x + y = 30$，将2.5化为分数为$\frac{5}{2}$，即方程为$\frac{5}{2}x + y = 30$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列二元一次方程；代数式表示数量关系
【点评】
本题考查根据实际问题列方程，核心是准确梳理各数量之间的倍数关系和总和等量关系，只要找准等量关系代入计算即可。
【难度系数】
0.9
4. [新课标—数学文化题]《九章算术》中有这样一道题：“今有甲、乙二人持钱，不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半（注：太半的意思为$\frac{2}{3}$）而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何。”若设甲、乙原本各持钱$x$，$y$，则根据题意可列方程组为。
答案
4.$\begin{cases} x+\frac{1}{2}y=50 \\ y+\frac{2}{3}x=50 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的两个核心等量关系，再对应转化为含未知数的等式即可：首先明确已知条件，设甲持钱$x$，乙持钱$y$；第一步翻译“甲得乙半而钱五十”：甲原有的钱加上乙钱数的一半总和为50；第二步翻译“乙得甲太半而亦钱五十”：乙原有的钱加上甲钱数的$\frac{2}{3}$总和为50，将两个等量关系联立就能得到方程组。
【解析】
1. 根据第一个等量关系“甲的钱+乙的钱的$\frac{1}{2}$=50”，代入未知数可得方程：$x+\frac{1}{2}y=50$；
2. 根据第二个等量关系“乙的钱+甲的钱的$\frac{2}{3}$=50”，代入未知数可得方程：$y+\frac{2}{3}x=50$；
3. 将两个方程联立，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+\frac{1}{2}y=50 \\ y+\frac{2}{3}x=50 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 古文数量关系提取
【点评】
本题结合传统数学著作的经典问题设题，考查将实际文字信息转化为数学方程的能力，解题核心是准确理解文言表述的数量含义，找准对应的等量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理题目中的两个核心等量关系，再对应转化为含未知数的等式即可：首先明确已知条件，设甲持钱$x$，乙持钱$y$；第一步翻译“甲得乙半而钱五十”：甲原有的钱加上乙钱数的一半总和为50；第二步翻译“乙得甲太半而亦钱五十”：乙原有的钱加上甲钱数的$\frac{2}{3}$总和为50，将两个等量关系联立就能得到方程组。
【解析】
1. 根据第一个等量关系“甲的钱+乙的钱的$\frac{1}{2}$=50”，代入未知数可得方程：$x+\frac{1}{2}y=50$；
2. 根据第二个等量关系“乙的钱+甲的钱的$\frac{2}{3}$=50”，代入未知数可得方程：$y+\frac{2}{3}x=50$；
3. 将两个方程联立，得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+\frac{1}{2}y=50 \\ y+\frac{2}{3}x=50 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 古文数量关系提取
【点评】
本题结合传统数学著作的经典问题设题，考查将实际文字信息转化为数学方程的能力，解题核心是准确理解文言表述的数量含义，找准对应的等量关系。
【难度系数】
0.7
5. 已知方程■$x - 2y = x + 5$是二元一次方程，■是被弄污的$x$的系数，则■（
A.不可能是2
B.不可能是1
C.不可能是0
D.不可能是$-1$
B
）A.不可能是2
B.不可能是1
C.不可能是0
D.不可能是$-1$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先回忆二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。本题中方程已有x、y两个未知数，y的系数为-2≠0，只需保证整理后x的系数不为0即可。我们可以先设被污损的系数为k，将方程整理为标准形式，再根据x的系数不为0列不等式求解，就能得到■的取值限制。
【解析】
设被弄污的$x$的系数为$k$，则原方程可写为：
$kx - 2y = x + 5$
将含$x$的项移到左侧合并同类项，得：
$(k - 1)x - 2y = 5$
∵该方程是二元一次方程，需同时含有$x$、$y$两个未知数
∴$x$的系数不能为0，即$k - 1 ≠ 0$
解得$k ≠ 1$
因此■不可能是1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的定义
2.合并同类项
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二元一次方程判定规则的运用，解题关键是整理方程后确保两个未知数的系数都不为0，容易出错的地方是未合并同类项就直接判断x的系数。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。本题中方程已有x、y两个未知数，y的系数为-2≠0，只需保证整理后x的系数不为0即可。我们可以先设被污损的系数为k，将方程整理为标准形式，再根据x的系数不为0列不等式求解，就能得到■的取值限制。
【解析】
设被弄污的$x$的系数为$k$，则原方程可写为：
$kx - 2y = x + 5$
将含$x$的项移到左侧合并同类项，得：
$(k - 1)x - 2y = 5$
∵该方程是二元一次方程，需同时含有$x$、$y$两个未知数
∴$x$的系数不能为0，即$k - 1 ≠ 0$
解得$k ≠ 1$
因此■不可能是1，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二元一次方程的定义
2.合并同类项
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二元一次方程判定规则的运用，解题关键是整理方程后确保两个未知数的系数都不为0，容易出错的地方是未合并同类项就直接判断x的系数。
【难度系数】
0.8
6.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身10个或制盒底16个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有18张白铁皮，设用x张制作盒身、y张制作盒底，可以使盒身和盒底正好配套，根据题意可列方程组为。
答案
6.$\begin{cases} x+y=18 \\ 10x×2=16y \end{cases}$
解析
【分析】
解题时需要先找到题目中的两个等量关系：一是制作盒身和盒底的铁皮总张数为18张；二是盒身与盒底要正好配套，即盒底的总数量是盒身总数量的2倍（因为1个盒身需要搭配2个盒底）。根据这两个等量关系分别列方程，再联立得到方程组即可。
【解析】
第一步，根据铁皮总张数列方程：已知用x张制作盒身、y张制作盒底，总共有18张白铁皮，因此可得：
$x + y = 18$
第二步，根据配套关系列方程：每张铁皮可制盒身10个，因此盒身总数量为$10x$个；每张铁皮可制盒底16个，因此盒底总数量为$16y$个。由于1个盒身需要配2个盒底才能配套，说明盒底总数量 = 盒身总数量×2，代入得：
$10x × 2 = 16y$
将两个方程联立，即可得到符合题意的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=18 \\ 10x×2=16y \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 配套问题等量关系
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的两类等量关系，尤其需要注意配套时两类部件的数量倍数关系，避免将倍数的对应对象写反。
【难度系数】
0.7
解题时需要先找到题目中的两个等量关系：一是制作盒身和盒底的铁皮总张数为18张；二是盒身与盒底要正好配套，即盒底的总数量是盒身总数量的2倍（因为1个盒身需要搭配2个盒底）。根据这两个等量关系分别列方程，再联立得到方程组即可。
【解析】
第一步，根据铁皮总张数列方程：已知用x张制作盒身、y张制作盒底，总共有18张白铁皮，因此可得：
$x + y = 18$
第二步，根据配套关系列方程：每张铁皮可制盒身10个，因此盒身总数量为$10x$个；每张铁皮可制盒底16个，因此盒底总数量为$16y$个。由于1个盒身需要配2个盒底才能配套，说明盒底总数量 = 盒身总数量×2，代入得：
$10x × 2 = 16y$
将两个方程联立，即可得到符合题意的方程组。
【答案】
$\begin{cases} x+y=18 \\ 10x×2=16y \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 配套问题等量关系
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题核心是准确梳理题目中的两类等量关系，尤其需要注意配套时两类部件的数量倍数关系，避免将倍数的对应对象写反。
【难度系数】
0.7
7.若$\begin{cases}y^{|m|}+(2-n)xy=2, \\ (m-1)x=3\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组，则$m+n=$ ______ 。
答案
7.1
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程组的核心要求：①方程组总共只含2个未知数（本题为x、y）；②含未知数的项的最高次数为1；③未知数的系数不为0，保证方程有意义。我们就根据这几个要求逐一列出关于m、n的等式和不等式，求解后再计算m+n的值即可。
第一步：看含y的项的次数，要求是1，可得|m|=1；
第二步：看第二个方程，要保证存在未知数x且方程成立，x的系数不能为0，即m-1≠0；
第三步：看第一个方程中的(2-n)xy项，xy的次数是1+1=2，属于二次项，要满足“一次”的要求，该项系数必须为0，即2-n=0；
综合以上条件就能求出m、n的取值。
【解析】
根据二元一次方程组的定义：
1. 方程中y的次数为1，因此$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 方程$(m-1)x=3$需保留未知数x且成立，因此x的系数不能为0，即$m-1≠0$，得$m≠1$，结合上一步结果，可得$m=-1$；
3. 第一个方程中$(2-n)xy$是二次项，不符合一次的要求，因此该项系数为0，即$2-n=0$，解得$n=2$；
所以$m+n=-1+2=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的概念，绝对值的性质，单项式的次数
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组定义的掌握，解题时需要全面考虑所有限制条件，常见易错点是忽略xy项的次数为2、需令其系数为0，或者遗漏第二个方程中x的系数不能为0的要求，导致求出的m、n值错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确二元一次方程组的核心要求：①方程组总共只含2个未知数（本题为x、y）；②含未知数的项的最高次数为1；③未知数的系数不为0，保证方程有意义。我们就根据这几个要求逐一列出关于m、n的等式和不等式，求解后再计算m+n的值即可。
第一步：看含y的项的次数，要求是1，可得|m|=1；
第二步：看第二个方程，要保证存在未知数x且方程成立，x的系数不能为0，即m-1≠0；
第三步：看第一个方程中的(2-n)xy项，xy的次数是1+1=2，属于二次项，要满足“一次”的要求，该项系数必须为0，即2-n=0；
综合以上条件就能求出m、n的取值。
【解析】
根据二元一次方程组的定义：
1. 方程中y的次数为1，因此$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 方程$(m-1)x=3$需保留未知数x且成立，因此x的系数不能为0，即$m-1≠0$，得$m≠1$，结合上一步结果，可得$m=-1$；
3. 第一个方程中$(2-n)xy$是二次项，不符合一次的要求，因此该项系数为0，即$2-n=0$，解得$n=2$；
所以$m+n=-1+2=1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的概念，绝对值的性质，单项式的次数
【点评】
本题重点考查对二元一次方程组定义的掌握，解题时需要全面考虑所有限制条件，常见易错点是忽略xy项的次数为2、需令其系数为0，或者遗漏第二个方程中x的系数不能为0的要求，导致求出的m、n值错误。
【难度系数】
0.6
8. 如图是由截面为同一种长方形的墙砖组成的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低44 cm，试求每块墙砖截面的长和宽。若设每块墙砖截面的长为x cm，宽为y cm，根据题意，可列二元一次方程组为。
答案
8.$\begin{cases} 3y-x=8 \\ 2x-2y=44 \end{cases}$
解析
【分析】
首先要从题目给出的两个条件中分别提取等量关系，题目已设每块墙砖截面的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$：
1. 第一个条件“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm”：横放墙砖的高度对应墙砖的宽$y$，3块横放总高度为$3y$；竖放墙砖的高度对应墙砖的长$x$，前者减后者的差为8，可列第一个方程。
2. 第二个条件“2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低44 cm”：2块竖放墙砖总高度为$2x$，2块横放墙砖总高度为$2y$，前者减后者的差为44，可列第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
设每块墙砖截面的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm”，可得方程：$3y - x = 8$；
根据“2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低44 cm”，可得方程：$2x - 2y = 44$；
将两个方程联立，即可得到对应的二元一次方程组。
【答案】
$\begin{cases} 3y-x=8 \\ 2x-2y=44 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题是列二元一次方程组的基础题型，解题关键是读懂题意，准确对应数量关系，区分不同摆放方式下墙砖的长度、宽度对应的数值即可正确列式。
【难度系数】
0.8
首先要从题目给出的两个条件中分别提取等量关系，题目已设每块墙砖截面的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$：
1. 第一个条件“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm”：横放墙砖的高度对应墙砖的宽$y$，3块横放总高度为$3y$；竖放墙砖的高度对应墙砖的长$x$，前者减后者的差为8，可列第一个方程。
2. 第二个条件“2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低44 cm”：2块竖放墙砖总高度为$2x$，2块横放墙砖总高度为$2y$，前者减后者的差为44，可列第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
设每块墙砖截面的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高8 cm”，可得方程：$3y - x = 8$；
根据“2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低44 cm”，可得方程：$2x - 2y = 44$；
将两个方程联立，即可得到对应的二元一次方程组。
【答案】
$\begin{cases} 3y-x=8 \\ 2x-2y=44 \end{cases}$
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题是列二元一次方程组的基础题型，解题关键是读懂题意，准确对应数量关系，区分不同摆放方式下墙砖的长度、宽度对应的数值即可正确列式。
【难度系数】
0.8
9.某球迷协会组织36名球迷租车去观看足球比赛，A种车每辆有8个座位，B种车每辆有4个座位，要求租用的车不留空座，也不能超载.
(1)请你给出所有的租车方案；
(2)已知A种车的租金是每辆每天300元，B种车的租金是每辆每天200元，求所需费用最少的租车方案，并说明理由.
(1)请你给出所有的租车方案；
(2)已知A种车的租金是每辆每天300元，B种车的租金是每辆每天200元，求所需费用最少的租车方案，并说明理由.
答案
9.(1)共有5种租车方案.
方案1:租用9辆B种车；
方案2:租用1辆A种车,7辆B种车；
方案3:租用2辆A种车,5辆B种车；
方案4:租用3辆A种车,3辆B种车；
方案5:租用4辆A种车,1辆B种车.
(2)方案1所需费用为200×9=1 800(元),
方案2所需费用为300×1+200×7=1 700(元),
方案3所需费用为300×2+200×5=1 600(元),
方案4所需费用为300×3+200×3=1 500(元),
方案5所需费用为300×4+200×1=1 400(元).
因为1 800＞1 700＞1 600＞1 500＞1 400,
所以方案5:租用4辆A种车,1辆B种车所需费用最少.
方案1:租用9辆B种车；
方案2:租用1辆A种车,7辆B种车；
方案3:租用2辆A种车,5辆B种车；
方案4:租用3辆A种车,3辆B种车；
方案5:租用4辆A种车,1辆B种车.
(2)方案1所需费用为200×9=1 800(元),
方案2所需费用为300×1+200×7=1 700(元),
方案3所需费用为300×2+200×5=1 600(元),
方案4所需费用为300×3+200×3=1 500(元),
方案5所需费用为300×4+200×1=1 400(元).
因为1 800＞1 700＞1 600＞1 500＞1 400,
所以方案5:租用4辆A种车,1辆B种车所需费用最少.
解析
【分析】
(1) 我们先通过设未知数列方程梳理数量关系：设租用A种车x辆，B种车y辆，根据总座位数等于总人数36，可列方程8x+4y=36。由于车辆数只能是非负整数，因此只需求出该方程的所有非负整数解即可得到全部租车方案。先化简方程为2x+y=9，可得y=9-2x，结合y≥0可确定x的取值范围，代入求值就能得到所有方案。
(2) 求费用最少的方案，只需根据两种车的租金标准，分别计算第一问中每个方案的总租金，再比较大小即可得出最优方案；也可通过分析单位座位成本，发现A种车单位座位成本更低，优先多租A种车也能快速锁定最优方案。
【解析】
(1) 设租用A种车x辆，B种车y辆，x、y均为非负整数。
根据题意列方程：$\boldsymbol{8x + 4y = 36}$
化简得：$2x + y = 9$，即$y = 9 - 2x$
∵ $y≥0$，
∴ $9-2x≥0$，解得$x≤4.5$
又
∵x为非负整数，
∴x可取0、1、2、3、4，对应y值如下：
当x=0时，y=9；当x=1时，y=7；当x=2时，y=5；当x=3时，y=3；当x=4时，y=1。
即可得到所有租车方案。
(2) 分别计算各方案总费用：
方案1费用：$200×9=1800$（元）
方案2费用：$300×1+200×7=1700$（元）
方案3费用：$300×2+200×5=1600$（元）
方案4费用：$300×3+200×3=1500$（元）
方案5费用：$300×4+200×1=1400$（元）
对比得$1800＞1700＞1600＞1500＞1400$，因此方案5费用最低。
【答案】
(1)共有5种租车方案：
方案1:租用9辆B种车；
方案2:租用1辆A种车,7辆B种车；
方案3:租用2辆A种车,5辆B种车；
方案4:租用3辆A种车,3辆B种车；
方案5:租用4辆A种车,1辆B种车。
(2)租用4辆A种车，1辆B种车所需费用最少。
【知识点】
二元一次方程应用；整数解求解；最优方案选择
【点评】
本题结合生活租车场景考察方程的实际应用，解题核心是注意未知数的实际意义（车辆数为非负整数），准确筛选符合要求的方程解，第二问既可以直接计算对比费用，也可通过成本分析快速判断，能有效锻炼实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 我们先通过设未知数列方程梳理数量关系：设租用A种车x辆，B种车y辆，根据总座位数等于总人数36，可列方程8x+4y=36。由于车辆数只能是非负整数，因此只需求出该方程的所有非负整数解即可得到全部租车方案。先化简方程为2x+y=9，可得y=9-2x，结合y≥0可确定x的取值范围，代入求值就能得到所有方案。
(2) 求费用最少的方案，只需根据两种车的租金标准，分别计算第一问中每个方案的总租金，再比较大小即可得出最优方案；也可通过分析单位座位成本，发现A种车单位座位成本更低，优先多租A种车也能快速锁定最优方案。
【解析】
(1) 设租用A种车x辆，B种车y辆，x、y均为非负整数。
根据题意列方程：$\boldsymbol{8x + 4y = 36}$
化简得：$2x + y = 9$，即$y = 9 - 2x$
∵ $y≥0$，
∴ $9-2x≥0$，解得$x≤4.5$
又
∵x为非负整数，
∴x可取0、1、2、3、4，对应y值如下：
当x=0时，y=9；当x=1时，y=7；当x=2时，y=5；当x=3时，y=3；当x=4时，y=1。
即可得到所有租车方案。
(2) 分别计算各方案总费用：
方案1费用：$200×9=1800$（元）
方案2费用：$300×1+200×7=1700$（元）
方案3费用：$300×2+200×5=1600$（元）
方案4费用：$300×3+200×3=1500$（元）
方案5费用：$300×4+200×1=1400$（元）
对比得$1800＞1700＞1600＞1500＞1400$，因此方案5费用最低。
【答案】
(1)共有5种租车方案：
方案1:租用9辆B种车；
方案2:租用1辆A种车,7辆B种车；
方案3:租用2辆A种车,5辆B种车；
方案4:租用3辆A种车,3辆B种车；
方案5:租用4辆A种车,1辆B种车。
(2)租用4辆A种车，1辆B种车所需费用最少。
【知识点】
二元一次方程应用；整数解求解；最优方案选择
【点评】
本题结合生活租车场景考察方程的实际应用，解题核心是注意未知数的实际意义（车辆数为非负整数），准确筛选符合要求的方程解，第二问既可以直接计算对比费用，也可通过成本分析快速判断，能有效锻炼实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
