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19.【基础解答】如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱.AB=6 m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2 m，DE在阳光下的投影长为3 m.根据题中信息，求立柱DE的长.
【拓展拔高】如图，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4 m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1 m，同一时刻，竖立于地面上的1 m长的竹竿EF，影长为2 m，求这棵古树AB的高.
【拓展拔高】如图，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4 m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1 m，同一时刻，竖立于地面上的1 m长的竹竿EF，影长为2 m，求这棵古树AB的高.
答案
19.解:【基础解答】连接AC,过点D作$DF// AC$,交直线BE于点F,EF就是DE的投影.
∵太阳光线是平行的,
∴$DF// AC$.
∴$∠ACB=∠DFE$.
∵$∠ABC=∠DEF=90°$,
∴$△ABC∽△DEF$.
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.
∵$AB=6\ \mathrm{m},BC=2\ \mathrm{m},EF=3\ \mathrm{m}$,
∴$\frac{6}{DE}=\frac{2}{3}$.
∴$DE=9\ \mathrm{m}$.
【拓展拔高】由题意可知,$CD=1\ \mathrm{m},EF=1\ \mathrm{m},FG=2\ \mathrm{m}$. 过点C作$CH// AD$交AB于点H.
∴$AH=CD=1\ \mathrm{m}$. 易证$△EFG∽△HBC$.
∴$\frac{EF}{HB}=\frac{FG}{BC}$.
∴$HB=2\ \mathrm{m}$.
∴$AB=AH+HB=3\ \mathrm{m}$.
∵太阳光线是平行的,
∴$DF// AC$.
∴$∠ACB=∠DFE$.
∵$∠ABC=∠DEF=90°$,
∴$△ABC∽△DEF$.
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.
∵$AB=6\ \mathrm{m},BC=2\ \mathrm{m},EF=3\ \mathrm{m}$,
∴$\frac{6}{DE}=\frac{2}{3}$.
∴$DE=9\ \mathrm{m}$.
【拓展拔高】由题意可知,$CD=1\ \mathrm{m},EF=1\ \mathrm{m},FG=2\ \mathrm{m}$. 过点C作$CH// AD$交AB于点H.
∴$AH=CD=1\ \mathrm{m}$. 易证$△EFG∽△HBC$.
∴$\frac{EF}{HB}=\frac{FG}{BC}$.
∴$HB=2\ \mathrm{m}$.
∴$AB=AH+HB=3\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题分为基础解答和拓展拔高两部分，均考查平行投影下的相似三角形应用：
1. 基础解答：同一时刻太阳光线是平行的，立柱与地面垂直，因此可得到一组相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物高、影长数据即可求出DE的长度。
2. 拓展拔高：墙上的影子无法直接按地面影长计算，因此通过作平行线辅助线，将古树高度分为两部分：一部分等于墙上的影高，另一部分对应地面的4m影子，再结合已知的竹竿物高和影长的比例关系，构造相似三角形求出对应高度，两部分相加即可得到古树总高。
【解析】
基础解答
连接AC，过点D作$DF// AC$，交直线BE于点F，则EF为DE的投影。
∵ 太阳光线为平行光线，
∴ $DF// AC$，
∴ $∠ ACB=∠ DFE$。
又
∵ $∠ ABC=∠ DEF=90°$，
∴ $△ ABC ∽ △ DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
代入$AB=6\ \mathrm{m},BC=2\ \mathrm{m},EF=3\ \mathrm{m}$得：
$\frac{6}{DE}=\frac{2}{3}$，
解得$DE=9\ \mathrm{m}$。
拓展拔高
由题意得，墙上影高$CD=1\ \mathrm{m}$，竹竿$EF=1\ \mathrm{m}$，其影长$FG=2\ \mathrm{m}$。
过点C作$CH// AD$交AB于点H，
∴ 四边形AHCD为平行四边形，$AH=CD=1\ \mathrm{m}$。
∵ 太阳光线平行，易证$△ EFG ∽ △ HBC$，
∴ $\frac{EF}{HB}=\frac{FG}{BC}$，
代入$EF=1\ \mathrm{m},FG=2\ \mathrm{m},BC=4\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1}{HB}=\frac{2}{4}$，
解得$HB=2\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=AH+HB=1+2=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
基础解答：立柱DE的长为$\boldsymbol{9\ \mathrm{m}}$；拓展拔高：古树AB的高为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题以生活中常见的投影现象为背景，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是根据平行光线的特点构造相似三角形，对于有部分影子落在墙面的情况，需通过作辅助线将其转化为可计算的地面投影对应关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题分为基础解答和拓展拔高两部分，均考查平行投影下的相似三角形应用：
1. 基础解答：同一时刻太阳光线是平行的，立柱与地面垂直，因此可得到一组相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的物高、影长数据即可求出DE的长度。
2. 拓展拔高：墙上的影子无法直接按地面影长计算，因此通过作平行线辅助线，将古树高度分为两部分：一部分等于墙上的影高，另一部分对应地面的4m影子，再结合已知的竹竿物高和影长的比例关系，构造相似三角形求出对应高度，两部分相加即可得到古树总高。
【解析】
基础解答
连接AC，过点D作$DF// AC$，交直线BE于点F，则EF为DE的投影。
∵ 太阳光线为平行光线，
∴ $DF// AC$，
∴ $∠ ACB=∠ DFE$。
又
∵ $∠ ABC=∠ DEF=90°$，
∴ $△ ABC ∽ △ DEF$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
代入$AB=6\ \mathrm{m},BC=2\ \mathrm{m},EF=3\ \mathrm{m}$得：
$\frac{6}{DE}=\frac{2}{3}$，
解得$DE=9\ \mathrm{m}$。
拓展拔高
由题意得，墙上影高$CD=1\ \mathrm{m}$，竹竿$EF=1\ \mathrm{m}$，其影长$FG=2\ \mathrm{m}$。
过点C作$CH// AD$交AB于点H，
∴ 四边形AHCD为平行四边形，$AH=CD=1\ \mathrm{m}$。
∵ 太阳光线平行，易证$△ EFG ∽ △ HBC$，
∴ $\frac{EF}{HB}=\frac{FG}{BC}$，
代入$EF=1\ \mathrm{m},FG=2\ \mathrm{m},BC=4\ \mathrm{m}$得：
$\frac{1}{HB}=\frac{2}{4}$，
解得$HB=2\ \mathrm{m}$，
∴ $AB=AH+HB=1+2=3\ \mathrm{m}$。
【答案】
基础解答：立柱DE的长为$\boldsymbol{9\ \mathrm{m}}$；拓展拔高：古树AB的高为$\boldsymbol{3\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题以生活中常见的投影现象为背景，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是根据平行光线的特点构造相似三角形，对于有部分影子落在墙面的情况，需通过作辅助线将其转化为可计算的地面投影对应关系，能有效考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
20. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知空地长$AD=52\ \mathrm{m}$，宽$AB=28\ \mathrm{m}$，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为$x\ \mathrm{m}$的道路，已知铺花砖的面积为$640\ \mathrm{m}^2$.
(1)求道路的宽是多少.
(2)该停车场共有50个车位，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出，每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 000元？
(1)求道路的宽是多少.
(2)该停车场共有50个车位，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出，每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10 000元？
答案
20.解:(1)根据题意,得$(52-2x)(28-2x)=640$,整理,得$x^2-40x+204=0$,解得$x_1=34$(舍去),$x_2=6$. 答:道路的宽为6 m.
(2)设月租金上涨a元时,停车场月租金收入为10 000元. 根据题意,得$(200+a)(50-\frac{a}{5})=10\ 000$,整理,得$a^2-50a=0$,解得$a_1=50,a_2=0$(舍去). 答:每个车位的月租金上涨50元时,停车场的月租金收入为10 000元.
(2)设月租金上涨a元时,停车场月租金收入为10 000元. 根据题意,得$(200+a)(50-\frac{a}{5})=10\ 000$,整理,得$a^2-50a=0$,解得$a_1=50,a_2=0$(舍去). 答:每个车位的月租金上涨50元时,停车场的月租金收入为10 000元.
解析
【分析】
(1) 第一问可利用平移思想，将所有阴影停车位拼接为一个新矩形：新矩形的长为原空地长减去左右道路总宽度，即$(52-2x)\mathrm{m}$，新矩形的宽为原空地宽减去上下道路总宽度，即$(28-2x)\mathrm{m}$，再根据花砖面积为$640\mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的根即可。
(2) 第二问需先明确等量关系：月租金总收入=单个车位实际月租金×租出车位总数。设月租金上涨$a$元，则单个车位实际租金为$(200+a)$元，每上涨5元少租1个车位，因此少租的车位数为$\frac{a}{5}$个，实际租出$(50-\frac{a}{5})$个，根据总收入为10000元列方程求解，舍去不符合题意的根即可。
【解析】
(1) 由题意，阴影部分拼接后为矩形，列方程得：
$(52-2x)(28-2x)=640$
整理得：
$x^2-40x+204=0$
解得$x_1=34$，$x_2=6$。
$\because 2x＜28$即$x＜14$，$\therefore x=34$不符合实际，舍去，故$x=6$。
(2) 设每个车位的月租金上涨$a$元时，停车场月租金收入为10000元，列方程得：
$(200+a)(50-\frac{a}{5})=10000$
整理得：
$a^2-50a=0$
解得$a_1=0$，$a_2=50$。
$\because$ 要求月租金上涨，$\therefore a=0$不符合题意，舍去，故$a=50$。
【答案】
(1) 道路的宽为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$；
(2) 每个车位的月租金上涨$\boldsymbol{50}$元时，停车场的月租金收入为10000元。
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算、销售类利润问题
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确提取等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，是方程应用的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问可利用平移思想，将所有阴影停车位拼接为一个新矩形：新矩形的长为原空地长减去左右道路总宽度，即$(52-2x)\mathrm{m}$，新矩形的宽为原空地宽减去上下道路总宽度，即$(28-2x)\mathrm{m}$，再根据花砖面积为$640\mathrm{m}^2$列一元二次方程求解，最后结合实际意义舍去不符合的根即可。
(2) 第二问需先明确等量关系：月租金总收入=单个车位实际月租金×租出车位总数。设月租金上涨$a$元，则单个车位实际租金为$(200+a)$元，每上涨5元少租1个车位，因此少租的车位数为$\frac{a}{5}$个，实际租出$(50-\frac{a}{5})$个，根据总收入为10000元列方程求解，舍去不符合题意的根即可。
【解析】
(1) 由题意，阴影部分拼接后为矩形，列方程得：
$(52-2x)(28-2x)=640$
整理得：
$x^2-40x+204=0$
解得$x_1=34$，$x_2=6$。
$\because 2x＜28$即$x＜14$，$\therefore x=34$不符合实际，舍去，故$x=6$。
(2) 设每个车位的月租金上涨$a$元时，停车场月租金收入为10000元，列方程得：
$(200+a)(50-\frac{a}{5})=10000$
整理得：
$a^2-50a=0$
解得$a_1=0$，$a_2=50$。
$\because$ 要求月租金上涨，$\therefore a=0$不符合题意，舍去，故$a=50$。
【答案】
(1) 道路的宽为$\boldsymbol{6\ \mathrm{m}}$；
(2) 每个车位的月租金上涨$\boldsymbol{50}$元时，停车场的月租金收入为10000元。
【知识点】
一元二次方程的实际应用、矩形面积计算、销售类利润问题
【点评】
本题结合生活场景考查一元二次方程的应用，解题核心是准确提取等量关系列方程，求解后要注意结合实际场景检验根的合理性，是方程应用的典型常规题型。
【难度系数】
0.7
21. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ DAB = 60°$，$AB = 2AD$，点$E,F$分别是$AB,CD$的中点，过点$A$作$AG // BD$，交$CB$的延长线于点$G$.
(1)求证：四边形$DEBF$是菱形.
(2)请判断四边形$AGBD$是什么特殊四边形？并加以证明.
(1)求证：四边形$DEBF$是菱形.
(2)请判断四边形$AGBD$是什么特殊四边形？并加以证明.
答案
21.解:(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AB// CD$且$AB=CD$,$AD// BC$且$AD=BC$.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴$BE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}CD$.
∴$BE=DF$.
∴四边形DEBF是平行四边形.
在$△ABD$中,E是AB的中点,$AB=2AD$,
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=AD$. 又
∵$∠DAB=60°$,
∴$△AED$是等边三角形.
∴$DE=AE=AD$.
∴$DE=BE$.
∴平行四边形DEBF是菱形.
(2)四边形AGBD是矩形. 证明:
∵$AD// BC$且$AG// DB$,
∴四边形AGBD是平行四边形. 由(1)知$AD=DE=AE=BE$,
∴$∠ADE=∠DEA=60°$.
∴$∠EDB=∠DBE=30°$.
∴$∠ADB=90°$.
∴平行四边形AGBD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴$AB// CD$且$AB=CD$,$AD// BC$且$AD=BC$.
∵E,F分别为AB,CD的中点,
∴$BE=\frac{1}{2}AB,DF=\frac{1}{2}CD$.
∴$BE=DF$.
∴四边形DEBF是平行四边形.
在$△ABD$中,E是AB的中点,$AB=2AD$,
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=AD$. 又
∵$∠DAB=60°$,
∴$△AED$是等边三角形.
∴$DE=AE=AD$.
∴$DE=BE$.
∴平行四边形DEBF是菱形.
(2)四边形AGBD是矩形. 证明:
∵$AD// BC$且$AG// DB$,
∴四边形AGBD是平行四边形. 由(1)知$AD=DE=AE=BE$,
∴$∠ADE=∠DEA=60°$.
∴$∠EDB=∠DBE=30°$.
∴$∠ADB=90°$.
∴平行四边形AGBD是矩形.
解析
【分析】
(1)要证明四边形DEBF是菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合E、F是AB、CD的中点，可推出BE=DF且BE//DF，先判定DEBF为平行四边形；再结合已知∠DAB=60°、AB=2AD，可证△AED是等边三角形，得到DE=BE，即可证明平行四边形DEBF是菱形。
(2)要判断四边形AGBD的形状，首先根据AD//BC、AG//BD，先判定它是平行四边形，再证明有一个内角为直角即可判定为矩形。结合(1)的结论可推导得出∠ADB=90°，即可得出平行四边形AGBD是矩形。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$且$AB=CD$，$AD// BC$且$AD=BC$。
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}CD$，
∴$BE=DF$，且$BE// DF$，
∴四边形DEBF是平行四边形。
在$△ ABD$中，E是AB的中点，$AB=2AD$，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=AD$，
又
∵$∠ DAB=60°$，
∴$△ AED$是等边三角形，
∴$DE=AE=AD$，
∴$DE=BE$，
∴平行四边形DEBF是菱形。
(2)四边形AGBD是矩形，证明如下：
∵$AD// BC$，即$AD// BG$，且$AG// DB$，
∴四边形AGBD是平行四边形。
由(1)的证明可知，$AD=DE=AE=BE$，
∴$∠ ADE=∠ DEA=60°$，
∴$∠ EDB=∠ DBE=\frac{1}{2}∠ DEA=30°$，
∴$∠ ADB=∠ ADE+∠ EDB=60°+30°=90°$，
∴平行四边形AGBD是矩形。
【答案】
(1)四边形DEBF是菱形；(2)四边形AGBD是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合证明题，解题时需要灵活运用各类特殊四边形的判定定理，结合已知的边长关系和角度条件推导边相等、直角等关键结论，逻辑链条清晰，能有效帮助巩固特殊四边形的相关知识。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形DEBF是菱形，可先证它是平行四边形，再证明一组邻边相等。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合E、F是AB、CD的中点，可推出BE=DF且BE//DF，先判定DEBF为平行四边形；再结合已知∠DAB=60°、AB=2AD，可证△AED是等边三角形，得到DE=BE，即可证明平行四边形DEBF是菱形。
(2)要判断四边形AGBD的形状，首先根据AD//BC、AG//BD，先判定它是平行四边形，再证明有一个内角为直角即可判定为矩形。结合(1)的结论可推导得出∠ADB=90°，即可得出平行四边形AGBD是矩形。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$且$AB=CD$，$AD// BC$且$AD=BC$。
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}CD$，
∴$BE=DF$，且$BE// DF$，
∴四边形DEBF是平行四边形。
在$△ ABD$中，E是AB的中点，$AB=2AD$，
∴$AE=BE=\frac{1}{2}AB=AD$，
又
∵$∠ DAB=60°$，
∴$△ AED$是等边三角形，
∴$DE=AE=AD$，
∴$DE=BE$，
∴平行四边形DEBF是菱形。
(2)四边形AGBD是矩形，证明如下：
∵$AD// BC$，即$AD// BG$，且$AG// DB$，
∴四边形AGBD是平行四边形。
由(1)的证明可知，$AD=DE=AE=BE$，
∴$∠ ADE=∠ DEA=60°$，
∴$∠ EDB=∠ DBE=\frac{1}{2}∠ DEA=30°$，
∴$∠ ADB=∠ ADE+∠ EDB=60°+30°=90°$，
∴平行四边形AGBD是矩形。
【答案】
(1)四边形DEBF是菱形；(2)四边形AGBD是矩形。
【知识点】
平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题是特殊四边形的综合证明题，解题时需要灵活运用各类特殊四边形的判定定理，结合已知的边长关系和角度条件推导边相等、直角等关键结论，逻辑链条清晰，能有效帮助巩固特殊四边形的相关知识。
【难度系数】
0.7
