登录
1.如图，已知边长为a的正方形ABCD。
(1)用含a的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当a＝2时，求阴影部分的面积。
(1)用含a的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当a＝2时，求阴影部分的面积。
答案
(1) $a^2-\dfrac{π a^2}{4}$
(2) $4-π$
(2) $4-π$
解析
【分析】
本题求不规则阴影部分的面积，采用割补法转化为规则图形面积的差求解即可：首先观察图形可知，阴影面积等于正方形ABCD的面积减去空白四分之一圆的面积。第一问先分别计算正方形和四分之一圆的面积，再作差得到含a的阴影面积代数式；第二问将a=2代入第一问的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先求正方形的面积：
已知正方形边长为$a$，根据正方形面积公式可得，正方形面积$S_{正方形}=a× a=a^2$。
再求空白部分的面积：空白部分是半径为$a$的四分之一圆，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得四分之一圆的面积$S_{扇形}=\frac{1}{4}×π× a^2=\frac{π a^2}{4}$。
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{扇形}=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
(2) 当$a=2$时，将$a=2$代入$a^2-\frac{π a^2}{4}$中计算：
$S_{阴影}=2^2-\frac{π× 2^2}{4}=4-\frac{4π}{4}=4-π$。
【答案】
(1) $a^2-\dfrac{π a^2}{4}$
(2) $4-π$
【知识点】
正方形面积计算；扇形面积计算；代数式求值
【点评】
本题是阴影面积计算的基础常考题，核心是将不规则图形面积转化为规则图形的面积和差计算，只要熟练掌握常见规则图形的面积公式，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题求不规则阴影部分的面积，采用割补法转化为规则图形面积的差求解即可：首先观察图形可知，阴影面积等于正方形ABCD的面积减去空白四分之一圆的面积。第一问先分别计算正方形和四分之一圆的面积，再作差得到含a的阴影面积代数式；第二问将a=2代入第一问的代数式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 先求正方形的面积：
已知正方形边长为$a$，根据正方形面积公式可得，正方形面积$S_{正方形}=a× a=a^2$。
再求空白部分的面积：空白部分是半径为$a$的四分之一圆，根据圆的面积公式$S_{圆}=π r^2$，可得四分之一圆的面积$S_{扇形}=\frac{1}{4}×π× a^2=\frac{π a^2}{4}$。
因此阴影部分面积$S_{阴影}=S_{正方形}-S_{扇形}=a^2-\frac{π a^2}{4}$。
(2) 当$a=2$时，将$a=2$代入$a^2-\frac{π a^2}{4}$中计算：
$S_{阴影}=2^2-\frac{π× 2^2}{4}=4-\frac{4π}{4}=4-π$。
【答案】
(1) $a^2-\dfrac{π a^2}{4}$
(2) $4-π$
【知识点】
正方形面积计算；扇形面积计算；代数式求值
【点评】
本题是阴影面积计算的基础常考题，核心是将不规则图形面积转化为规则图形的面积和差计算，只要熟练掌握常见规则图形的面积公式，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
例2 若代数式$2x^2 + 3y +7$的值为8，则代数式$6x^2 +9y -3$的值为
思路导引
根据已知条件可得$2x^2 +3y=1$，接下来试着对所求代数式变形，关键是变形为含有$2x^2 +3y$的形式，即变形为$3(2x^2 +3y)-3$，最后整体代入即可。
归纳总结
代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，解决这类问题的关键是找出所求的式子与已知式子的数量关系，然后利用整体代入的方法来求解。
0
。思路导引
根据已知条件可得$2x^2 +3y=1$，接下来试着对所求代数式变形，关键是变形为含有$2x^2 +3y$的形式，即变形为$3(2x^2 +3y)-3$，最后整体代入即可。
归纳总结
代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，解决这类问题的关键是找出所求的式子与已知式子的数量关系，然后利用整体代入的方法来求解。
答案
0
解析
【分析】
解题时首先从已知条件出发，先对已知等式变形求出$2x^2+3y$的值；再观察所求代数式的结构，发现$6x^2$是$2x^2$的3倍，$9y$是$3y$的3倍，因此可以将所求代数式提取公因式3，变形为含有$2x^2+3y$的形式；最后将$2x^2+3y$的值整体代入计算即可，不需要单独求解x、y的具体数值。
【解析】
第一步：根据已知条件求$2x^2+3y$的值
已知$2x^2 + 3y +7 = 8$，移项可得：
$2x^2 + 3y = 8 -7 =1$
第二步：对所求代数式变形
$6x^2 +9y -3 = 3×2x^2 + 3×3y -3 = 3(2x^2+3y) -3$
第三步：整体代入计算
将$2x^2+3y=1$代入上式，得：
$3×1 -3 = 0$
【答案】
0
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式变形
【点评】
本题是代数式求值类的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键点在于观察已知代数式和所求代数式的系数特征，找到两者的倍数关系，通过整体代入简化计算，避免了无需求解未知数具体值的无效计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件出发，先对已知等式变形求出$2x^2+3y$的值；再观察所求代数式的结构，发现$6x^2$是$2x^2$的3倍，$9y$是$3y$的3倍，因此可以将所求代数式提取公因式3，变形为含有$2x^2+3y$的形式；最后将$2x^2+3y$的值整体代入计算即可，不需要单独求解x、y的具体数值。
【解析】
第一步：根据已知条件求$2x^2+3y$的值
已知$2x^2 + 3y +7 = 8$，移项可得：
$2x^2 + 3y = 8 -7 =1$
第二步：对所求代数式变形
$6x^2 +9y -3 = 3×2x^2 + 3×3y -3 = 3(2x^2+3y) -3$
第三步：整体代入计算
将$2x^2+3y=1$代入上式，得：
$3×1 -3 = 0$
【答案】
0
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式变形
【点评】
本题是代数式求值类的典型题型，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键点在于观察已知代数式和所求代数式的系数特征，找到两者的倍数关系，通过整体代入简化计算，避免了无需求解未知数具体值的无效计算。
【难度系数】
0.8
2.已知代数式 $x^2 - 2x$ 的值为－1，则代数式 $3x^2 -6x +5$ 的值为
例3 某商户购进一批苹果，到集贸市场零售。已知卖出的苹果数$x$（单位：kg）与销售额$y$（单位：元）的关系如下表：
(1)用卖出的苹果数量$x$表示出销售额$y$为
(2)当卖出的苹果数量从5 kg变到10 kg时，苹果的销售额从
(3)当卖出苹果150 kg时，得到销售额多少元？
思路导引
根据$x$的变化情况，发现$x$由小逐步变大时，变量$y$始终是$x$的2.1倍，从而找到两个变量之间的关系。
归纳总结
在同一个变化过程中，要研究两个变量的关系，关键找到一个量与另一个量满足的倍数或和差关系；通过变形用一个变量的代数式表示另一个变量。
跟踪练习
2
。例3 某商户购进一批苹果，到集贸市场零售。已知卖出的苹果数$x$（单位：kg）与销售额$y$（单位：元）的关系如下表：
(1)用卖出的苹果数量$x$表示出销售额$y$为
$y=2.1x$
；(2)当卖出的苹果数量从5 kg变到10 kg时，苹果的销售额从
10.5
元变到21
元；(3)当卖出苹果150 kg时，得到销售额多少元？
思路导引
根据$x$的变化情况，发现$x$由小逐步变大时，变量$y$始终是$x$的2.1倍，从而找到两个变量之间的关系。
归纳总结
在同一个变化过程中，要研究两个变量的关系，关键找到一个量与另一个量满足的倍数或和差关系；通过变形用一个变量的代数式表示另一个变量。
跟踪练习
答案
2. 2
例3.(1) $y=2.1x$
(2) 10.5、21
(3) 315元
例3.(1) $y=2.1x$
(2) 10.5、21
(3) 315元
解析
【分析】
1. 第2题：观察待求代数式$3x^2-6x+5$，可发现前两项提取公因数3后，能得到含已知代数式$x^2-2x$的结构，无需单独求解x，直接用整体代入法计算即可。
2. 例3：(1)观察表格中x与y的对应值，可发现每组y值都是对应x值的2.1倍，据此即可写出y关于x的表达式；(2)分别将x=5和x=10代入关系式，计算得到对应销售额；(3)将x=150代入关系式计算即可得到结果。
【解析】
第2题
已知$x^2-2x=-1$，
对待求式变形可得：$3x^2-6x+5=3(x^2-2x)+5$，
将$x^2-2x=-1$代入上式：
$3×(-1)+5=-3+5=2$。
例3
(1) 分析表格数据：
$x=1$时，$y=2+0.1=2.1=2.1×1$；
$x=2$时，$y=4+0.2=4.2=2.1×2$；
$x=3$时，$y=6+0.3=6.3=2.1×3$；
以此类推，可得销售额y与卖出数量x的关系式为$y=2.1x$。
(2) 当$x=5\ \mathrm{kg}$时，代入得$y=2.1×5=10.5$元；
当$x=10\ \mathrm{kg}$时，代入得$y=2.1×10=21$元。
(3) 当$x=150\ \mathrm{kg}$时，代入关系式得：
$y=2.1×150=315$元。
【答案】
2. $\boldsymbol{2}$
例3.(1) $\boldsymbol{y=2.1x}$
(2) $\boldsymbol{10.5}$、$\boldsymbol{21}$
(3) $\boldsymbol{315}$元
【知识点】
整体代入求值、列变量关系式、代入求值
【点评】
本题是代数式应用的基础题型，整体代入法可以避免求解未知数，有效简化代数式求值的计算过程；找变量间的关系式需要结合已知数据总结规律，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
1. 第2题：观察待求代数式$3x^2-6x+5$，可发现前两项提取公因数3后，能得到含已知代数式$x^2-2x$的结构，无需单独求解x，直接用整体代入法计算即可。
2. 例3：(1)观察表格中x与y的对应值，可发现每组y值都是对应x值的2.1倍，据此即可写出y关于x的表达式；(2)分别将x=5和x=10代入关系式，计算得到对应销售额；(3)将x=150代入关系式计算即可得到结果。
【解析】
第2题
已知$x^2-2x=-1$，
对待求式变形可得：$3x^2-6x+5=3(x^2-2x)+5$，
将$x^2-2x=-1$代入上式：
$3×(-1)+5=-3+5=2$。
例3
(1) 分析表格数据：
$x=1$时，$y=2+0.1=2.1=2.1×1$；
$x=2$时，$y=4+0.2=4.2=2.1×2$；
$x=3$时，$y=6+0.3=6.3=2.1×3$；
以此类推，可得销售额y与卖出数量x的关系式为$y=2.1x$。
(2) 当$x=5\ \mathrm{kg}$时，代入得$y=2.1×5=10.5$元；
当$x=10\ \mathrm{kg}$时，代入得$y=2.1×10=21$元。
(3) 当$x=150\ \mathrm{kg}$时，代入关系式得：
$y=2.1×150=315$元。
【答案】
2. $\boldsymbol{2}$
例3.(1) $\boldsymbol{y=2.1x}$
(2) $\boldsymbol{10.5}$、$\boldsymbol{21}$
(3) $\boldsymbol{315}$元
【知识点】
整体代入求值、列变量关系式、代入求值
【点评】
本题是代数式应用的基础题型，整体代入法可以避免求解未知数，有效简化代数式求值的计算过程；找变量间的关系式需要结合已知数据总结规律，代入计算时注意运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
