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(1)甲数是$\frac{5}{9}$，乙数是甲数的$\frac{2}{5}$，乙数是（$\quad$）。
答案
$\frac{2}{9}$
解析
【分析】
这道题是已知甲数，求甲数的几分之几是多少的问题。解题的关键是明确“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”。首先确定单位“1”是甲数，已知甲数为$\frac{5}{9}$，乙数是甲数的$\frac{2}{5}$，直接用甲数乘$\frac{2}{5}$即可求出乙数，计算时可以先约分再计算，简化运算过程。
【解析】
因为乙数是甲数的$\frac{2}{5}$，所以乙数 = 甲数 × $\frac{2}{5}$，代入甲数$\frac{5}{9}$计算：
$\frac{5}{9} × \frac{2}{5} = \frac{\cancel{5} × 2}{9 × \cancel{5}} = \frac{2}{9}$
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
求一个数的几分之几、分数乘法计算
【点评】
本题属于基础应用题型，核心是掌握求一个数的几分之几用乘法的计算逻辑，计算分数乘法时先约分再计算可以有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
这道题是已知甲数，求甲数的几分之几是多少的问题。解题的关键是明确“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”。首先确定单位“1”是甲数，已知甲数为$\frac{5}{9}$，乙数是甲数的$\frac{2}{5}$，直接用甲数乘$\frac{2}{5}$即可求出乙数，计算时可以先约分再计算，简化运算过程。
【解析】
因为乙数是甲数的$\frac{2}{5}$，所以乙数 = 甲数 × $\frac{2}{5}$，代入甲数$\frac{5}{9}$计算：
$\frac{5}{9} × \frac{2}{5} = \frac{\cancel{5} × 2}{9 × \cancel{5}} = \frac{2}{9}$
【答案】
$\frac{2}{9}$
【知识点】
求一个数的几分之几、分数乘法计算
【点评】
本题属于基础应用题型，核心是掌握求一个数的几分之几用乘法的计算逻辑，计算分数乘法时先约分再计算可以有效降低出错概率。
【难度系数】
0.9
(2)比 40 m多$\frac{1}{5}$是(
48
)m，比 60 m²少$\frac{1}{4}$是(45
)m²。答案
48，45
解析
【分析】
解决这类“比一个数多（或少）几分之几是多少”的问题，首先要找准单位“1”，当单位“1”的量已知时，用乘法计算。第一问中单位“1”是40m，比它多$\frac{1}{5}$，说明所求的量是40m的$(1+\frac{1}{5})$；第二问中单位“1”是60$m^2$，比它少$\frac{1}{4}$，说明所求的量是60$m^2$的$(1-\frac{1}{4})$，分别用单位“1”的量乘对应的分率即可得到结果。
【解析】
1. 计算比40m多$\frac{1}{5}$的长度：
单位“1”为40m，所求量对应的分率是$1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$
列式计算：$40×(1+\frac{1}{5})=40×\frac{6}{5}=48$（m）
2. 计算比60$m^2$少$\frac{1}{4}$的面积：
单位“1”为60$m^2$，所求量对应的分率是$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
列式计算：$60×(1-\frac{1}{4})=60×\frac{3}{4}=45$（$m^2$）
【答案】
48，45
【知识点】
单位“1”的判定；分数乘法应用；求比一个数多/少几分之几的数
【点评】
本题是分数乘法应用的基础题型，解题核心是准确定位单位“1”，明确所求量对应的分率，掌握该类题型的解法能为后续学习更复杂的分数应用题打好基础。
【难度系数】
0.8
解决这类“比一个数多（或少）几分之几是多少”的问题，首先要找准单位“1”，当单位“1”的量已知时，用乘法计算。第一问中单位“1”是40m，比它多$\frac{1}{5}$，说明所求的量是40m的$(1+\frac{1}{5})$；第二问中单位“1”是60$m^2$，比它少$\frac{1}{4}$，说明所求的量是60$m^2$的$(1-\frac{1}{4})$，分别用单位“1”的量乘对应的分率即可得到结果。
【解析】
1. 计算比40m多$\frac{1}{5}$的长度：
单位“1”为40m，所求量对应的分率是$1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$
列式计算：$40×(1+\frac{1}{5})=40×\frac{6}{5}=48$（m）
2. 计算比60$m^2$少$\frac{1}{4}$的面积：
单位“1”为60$m^2$，所求量对应的分率是$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
列式计算：$60×(1-\frac{1}{4})=60×\frac{3}{4}=45$（$m^2$）
【答案】
48，45
【知识点】
单位“1”的判定；分数乘法应用；求比一个数多/少几分之几的数
【点评】
本题是分数乘法应用的基础题型，解题核心是准确定位单位“1”，明确所求量对应的分率，掌握该类题型的解法能为后续学习更复杂的分数应用题打好基础。
【难度系数】
0.8
(3)如果一个正方体的棱长是$\frac{5}{6}$dm，那么它的表面积是(
$\frac{25}{6}$
)$\mathrm{dm}^2$，体积是($\frac{125}{216}$
)$\mathrm{dm}^3$。答案
表面积是$\frac{25}{6}\ \mathrm{dm}^2$，体积是$\frac{125}{216}\ \mathrm{dm}^3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆正方体表面积和体积的计算公式：正方体有6个完全相同的正方形面，因此表面积=棱长×棱长×6；正方体体积=棱长×棱长×棱长。我们只需要把棱长$\frac{5}{6}$dm分别代入两个公式，按照分数乘法的规则计算即可，计算时注意先约分再计算能减少出错。
【解析】
1. 计算正方体表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$（$a$为棱长），代入$a=\frac{5}{6}$dm：
$S=6×\frac{5}{6}×\frac{5}{6}$
先约分，整数6和第一个分数的分母6约去，可得：
$S=5×\frac{5}{6}=\frac{25}{6}(\mathrm{dm}^2)$
2. 计算正方体体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$，代入$a=\frac{5}{6}$dm：
$V=\frac{5}{6}×\frac{5}{6}×\frac{5}{6}$
分子相乘得$5×5×5=125$，分母相乘得$6×6×6=216$，因此：
$V=\frac{125}{216}(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
$\frac{25}{6}$；$\frac{125}{216}$
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算、分数乘法运算
【点评】
本题属于基础公式应用题，核心是牢记正方体表面积和体积的计算公式，计算分数乘法时注意先约分再计算，能够有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆正方体表面积和体积的计算公式：正方体有6个完全相同的正方形面，因此表面积=棱长×棱长×6；正方体体积=棱长×棱长×棱长。我们只需要把棱长$\frac{5}{6}$dm分别代入两个公式，按照分数乘法的规则计算即可，计算时注意先约分再计算能减少出错。
【解析】
1. 计算正方体表面积：
根据正方体表面积公式$S=6a^2$（$a$为棱长），代入$a=\frac{5}{6}$dm：
$S=6×\frac{5}{6}×\frac{5}{6}$
先约分，整数6和第一个分数的分母6约去，可得：
$S=5×\frac{5}{6}=\frac{25}{6}(\mathrm{dm}^2)$
2. 计算正方体体积：
根据正方体体积公式$V=a^3$，代入$a=\frac{5}{6}$dm：
$V=\frac{5}{6}×\frac{5}{6}×\frac{5}{6}$
分子相乘得$5×5×5=125$，分母相乘得$6×6×6=216$，因此：
$V=\frac{125}{216}(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
$\frac{25}{6}$；$\frac{125}{216}$
【知识点】
正方体表面积计算、正方体体积计算、分数乘法运算
【点评】
本题属于基础公式应用题，核心是牢记正方体表面积和体积的计算公式，计算分数乘法时注意先约分再计算，能够有效提升计算正确率。
【难度系数】
0.8
(4)乐乐看一本160页的书，第一天看了全书的$\frac{1}{4}$，第二天看的页数是第一天的$\frac{1}{2}$。算式$160×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$所求的是(
乐乐第二天看的页数
)。答案
乐乐第二天看的页数
解析
【分析】
解题时先明确每个分数对应的单位“1”：首先$\frac{1}{4}$的单位“1”是全书总页数，$\frac{1}{2}$的单位“1”是第一天看的页数。先分析算式第一步$160×\frac{1}{4}$的意义，再分析第二步乘$\frac{1}{2}$的意义，就能得出算式对应的所求量。
【解析】
1. 先看算式第一步：$160×\frac{1}{4}$，是把全书160页看作单位“1”，求全书的$\frac{1}{4}$是多少，计算结果为第一天看的页数。
2. 再看第二步：用第一天看的页数乘$\frac{1}{2}$，是把第一天看的页数看作单位“1”，求第一天看的页数的$\frac{1}{2}$是多少，对应题目中“第二天看的页数是第一天的$\frac{1}{2}$”的条件，因此整个算式求的是乐乐第二天看的页数。
【答案】
乐乐第二天看的页数
【知识点】
分数乘法的意义，单位“1”的判定，连续求一个数的几分之几
【点评】
本题侧重考查分数乘法实际应用中对单位“1”的识别能力，解题的核心是明确每个分数对应的整体量，掌握连续求一个数的几分之几的运算逻辑。
【难度系数】
0.8
解题时先明确每个分数对应的单位“1”：首先$\frac{1}{4}$的单位“1”是全书总页数，$\frac{1}{2}$的单位“1”是第一天看的页数。先分析算式第一步$160×\frac{1}{4}$的意义，再分析第二步乘$\frac{1}{2}$的意义，就能得出算式对应的所求量。
【解析】
1. 先看算式第一步：$160×\frac{1}{4}$，是把全书160页看作单位“1”，求全书的$\frac{1}{4}$是多少，计算结果为第一天看的页数。
2. 再看第二步：用第一天看的页数乘$\frac{1}{2}$，是把第一天看的页数看作单位“1”，求第一天看的页数的$\frac{1}{2}$是多少，对应题目中“第二天看的页数是第一天的$\frac{1}{2}$”的条件，因此整个算式求的是乐乐第二天看的页数。
【答案】
乐乐第二天看的页数
【知识点】
分数乘法的意义，单位“1”的判定，连续求一个数的几分之几
【点评】
本题侧重考查分数乘法实际应用中对单位“1”的识别能力，解题的核心是明确每个分数对应的整体量，掌握连续求一个数的几分之几的运算逻辑。
【难度系数】
0.8
2. 小华爸爸的身高是 180 cm，小华的身高是小华爸爸的$\frac{2}{3}$，小华妈妈的身高是小华的$\frac{4}{3}$，小华妈妈的身高是多少厘米？
答案
$180×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=160(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
这是一道连续求一个数的几分之几是多少的应用题，解题时先明确每一步的单位“1”：第一步求小华的身高，单位“1”是小华爸爸的身高，属于已知量，求单位“1”的几分之几用乘法计算，即可得到小华的身高；第二步求小华妈妈的身高，此时单位“1”是小华的身高，是第一步算出的已知量，同样用乘法乘对应分率，就能得到最终结果，两步可合并为连乘算式计算。
【解析】
方法一：分步计算
1. 先求小华的身高：
小华的身高是爸爸的$\frac{2}{3}$，爸爸身高180cm，因此小华身高为：
$180×\frac{2}{3}=120$（cm）
2. 再求小华妈妈的身高：
小华妈妈的身高是小华的$\frac{4}{3}$，因此妈妈身高为：
$120×\frac{4}{3}=160$（cm）
方法二：列综合算式计算
$180×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=160$（cm）
【答案】
160厘米
【知识点】
1. 分数乘法计算
2. 求一个数的几分之几是多少
【点评】
本题是分数乘法的基础应用类题目，解题核心是准确找准每一步计算对应的单位“1”，计算过程中可先约分再计算，能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
这是一道连续求一个数的几分之几是多少的应用题，解题时先明确每一步的单位“1”：第一步求小华的身高，单位“1”是小华爸爸的身高，属于已知量，求单位“1”的几分之几用乘法计算，即可得到小华的身高；第二步求小华妈妈的身高，此时单位“1”是小华的身高，是第一步算出的已知量，同样用乘法乘对应分率，就能得到最终结果，两步可合并为连乘算式计算。
【解析】
方法一：分步计算
1. 先求小华的身高：
小华的身高是爸爸的$\frac{2}{3}$，爸爸身高180cm，因此小华身高为：
$180×\frac{2}{3}=120$（cm）
2. 再求小华妈妈的身高：
小华妈妈的身高是小华的$\frac{4}{3}$，因此妈妈身高为：
$120×\frac{4}{3}=160$（cm）
方法二：列综合算式计算
$180×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=160$（cm）
【答案】
160厘米
【知识点】
1. 分数乘法计算
2. 求一个数的几分之几是多少
【点评】
本题是分数乘法的基础应用类题目，解题核心是准确找准每一步计算对应的单位“1”，计算过程中可先约分再计算，能有效提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.8
3.水结成冰后，体积大约会增加$\frac{1}{10}$。现有7.5 L的水，结成冰后的体积约是多少立方分米？
答案
$7.5×(1+\frac{1}{10})=8.25(\mathrm{dm}^3)$
解析
【分析】
首先明确单位换算关系：1升=1立方分米，先将水的容积单位换算为体积单位。再分析题目中的分率关系，“体积增加$\frac{1}{10}$”是指冰的体积比水的体积多$\frac{1}{10}$，因此将水的体积看作单位“1”，冰的体积对应的分率为$1+\frac{1}{10}$。已知单位“1”的量求对应量，用乘法计算，用水的体积乘冰对应的分率即可求出冰的体积。
【解析】
1. 单位换算：因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^3$，所以7.5L水的体积为$7.5\mathrm{dm}^3$。
2. 确定对应分率：把水的体积看作单位“1”，冰的体积是水体积的$1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$。
3. 列式计算：
$7.5×(1+\frac{1}{10})$
$=7.5×1.1$
$=8.25(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
$7.5×(1+\frac{1}{10})=8.25(\mathrm{dm}^3)$
【知识点】
分数乘法应用、容积单位换算、单位“1”判定
【点评】
本题是贴近生活的分数应用题型，解题关键是找准单位“1”，理清冰和水体积的分率关系，同时注意单位换算，考察基础的分数运算和实际应用能力。
【难度系数】
0.85
首先明确单位换算关系：1升=1立方分米，先将水的容积单位换算为体积单位。再分析题目中的分率关系，“体积增加$\frac{1}{10}$”是指冰的体积比水的体积多$\frac{1}{10}$，因此将水的体积看作单位“1”，冰的体积对应的分率为$1+\frac{1}{10}$。已知单位“1”的量求对应量，用乘法计算，用水的体积乘冰对应的分率即可求出冰的体积。
【解析】
1. 单位换算：因为$1\mathrm{L}=1\mathrm{dm}^3$，所以7.5L水的体积为$7.5\mathrm{dm}^3$。
2. 确定对应分率：把水的体积看作单位“1”，冰的体积是水体积的$1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$。
3. 列式计算：
$7.5×(1+\frac{1}{10})$
$=7.5×1.1$
$=8.25(\mathrm{dm}^3)$
【答案】
$7.5×(1+\frac{1}{10})=8.25(\mathrm{dm}^3)$
【知识点】
分数乘法应用、容积单位换算、单位“1”判定
【点评】
本题是贴近生活的分数应用题型，解题关键是找准单位“1”，理清冰和水体积的分率关系，同时注意单位换算，考察基础的分数运算和实际应用能力。
【难度系数】
0.85
4.小红原来有90元零花钱，现在她的零花钱比原来多了$\frac{5}{6}$。她的零花钱比原来多了多少元？
答案
$90×\frac{5}{6}=75(\mathrm{元})$
解析
【分析】
解题时首先要确定单位“1”，本题中“比原来多了$\frac{5}{6}$”，是把原来的零花钱看作单位“1”，单位“1”的量是已知的90元。题目要求的是比原来多的钱数，也就是求90元的$\frac{5}{6}$是多少，根据“已知单位1的量，求它的几分之几是多少用乘法”的规则，直接列式计算即可。
【解析】
解：将小红原来的零花钱看作单位“1”，求零花钱比原来多的金额，就是求90的$\frac{5}{6}$是多少，列乘法算式计算：
$90×\frac{5}{6}=75$（元）
【答案】
75元
【知识点】
分数乘法应用；求一个数的几分之几是多少
【点评】
本题属于基础的分数计算应用题，解题核心是找准单位“1”，明确所求量对应的分率，掌握基础的分数乘法计算规则就能轻松作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先要确定单位“1”，本题中“比原来多了$\frac{5}{6}$”，是把原来的零花钱看作单位“1”，单位“1”的量是已知的90元。题目要求的是比原来多的钱数，也就是求90元的$\frac{5}{6}$是多少，根据“已知单位1的量，求它的几分之几是多少用乘法”的规则，直接列式计算即可。
【解析】
解：将小红原来的零花钱看作单位“1”，求零花钱比原来多的金额，就是求90的$\frac{5}{6}$是多少，列乘法算式计算：
$90×\frac{5}{6}=75$（元）
【答案】
75元
【知识点】
分数乘法应用；求一个数的几分之几是多少
【点评】
本题属于基础的分数计算应用题，解题核心是找准单位“1”，明确所求量对应的分率，掌握基础的分数乘法计算规则就能轻松作答。
【难度系数】
0.85
5.在一次数学竞赛中，一共有30人获奖。获一、二等奖的人数占获奖总人数的一半，获二、三等奖的人数占获奖总人数的$\frac{4}{5}$。这次数学竞赛，获一、二、三等奖的分别有多少人？
答案
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1=\frac{3}{10}$
二等奖:$30×\frac{3}{10}=9(\mathrm{人})$
一等奖:$30×\frac{1}{2}-9=6(\mathrm{人})$
三等奖:$30-9-6=15(\mathrm{人})$
二等奖:$30×\frac{3}{10}=9(\mathrm{人})$
一等奖:$30×\frac{1}{2}-9=6(\mathrm{人})$
三等奖:$30-9-6=15(\mathrm{人})$
解析
【分析】
我们把获奖总人数看作单位“1”，所有获奖人员仅分为一、二、三等奖3类。已知获一、二等奖的人数占总人数的$\frac{1}{2}$，获二、三等奖的人数占总人数的$\frac{4}{5}$，将这两个占比相加时，二等奖的人数占比被重复计算了1次，因此相加的结果等于单位“1”加上二等奖人数占总人数的分率，所以用两个占比的和减去1，即可先求出二等奖人数对应的分率，再结合总人数求出二等奖人数，最后分别推导一、三等奖的人数即可。
【解析】
1. 计算二等奖人数占总人数的分率：
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1=\frac{5}{10}+\frac{8}{10}-\frac{10}{10}=\frac{3}{10}$
2. 计算二等奖人数：
$30×\frac{3}{10}=9$（人）
3. 计算一等奖人数：
获一、二等奖总人数为$30×\frac{1}{2}=15$（人），减去二等奖人数可得一等奖人数：$15-9=6$（人）
4. 计算三等奖人数：
用总人数减去一、二等奖人数：$30-9-6=15$（人）
【答案】
一等奖6人，二等奖9人，三等奖15人
【知识点】
1. 单位“1”的应用 2. 分数混合运算 3. 重叠问题
【点评】
本题是分数应用的典型题型，解题核心是通过占比相加的重叠部分先求出二等奖的对应占比，再逐一求解其他奖项，能够有效考查对分数意义的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
我们把获奖总人数看作单位“1”，所有获奖人员仅分为一、二、三等奖3类。已知获一、二等奖的人数占总人数的$\frac{1}{2}$，获二、三等奖的人数占总人数的$\frac{4}{5}$，将这两个占比相加时，二等奖的人数占比被重复计算了1次，因此相加的结果等于单位“1”加上二等奖人数占总人数的分率，所以用两个占比的和减去1，即可先求出二等奖人数对应的分率，再结合总人数求出二等奖人数，最后分别推导一、三等奖的人数即可。
【解析】
1. 计算二等奖人数占总人数的分率：
$\frac{1}{2}+\frac{4}{5}-1=\frac{5}{10}+\frac{8}{10}-\frac{10}{10}=\frac{3}{10}$
2. 计算二等奖人数：
$30×\frac{3}{10}=9$（人）
3. 计算一等奖人数：
获一、二等奖总人数为$30×\frac{1}{2}=15$（人），减去二等奖人数可得一等奖人数：$15-9=6$（人）
4. 计算三等奖人数：
用总人数减去一、二等奖人数：$30-9-6=15$（人）
【答案】
一等奖6人，二等奖9人，三等奖15人
【知识点】
1. 单位“1”的应用 2. 分数混合运算 3. 重叠问题
【点评】
本题是分数应用的典型题型，解题核心是通过占比相加的重叠部分先求出二等奖的对应占比，再逐一求解其他奖项，能够有效考查对分数意义的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
