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综合与实践
最短路径问题
项目主题 巧用变换·智寻捷径——最短路径问题探究
项目背景 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题可以抽象为几何中求线段和的最小值问题。
研究目标
1. 理解最短路径问题的核心依据（“两点之间，线段最短”“垂线段最短”），掌握用轴对称、平移解决最短路径问题的基本方法，能在不同情境中构造最短路径。
2. 经历“情境抽象→模型构建→原理验证→实践应用”的流程，提升抽象思维、逻辑推理与动手画图能力，体会转化思想的应用。
3. 感受数学与生活的紧密联系，培养用数学的眼光观察生活的习惯，增强解决实际问题的信心与兴趣。
研究过程
任务一：牧民饮马问题
如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边$ l $饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？请在图中标出该点（保留作图痕迹，不写作法）。
任务二：牧民饮马问题的拓展
如图②，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边$ l_1 $的$ P_1 $点让马饮水，然后再到河岸边$ l_2 $的$ P_2 $点，再次让马饮水，最后骑马到D点。他应如何选择饮水点$ P_1 $，$ P_2 $，才能使所走的路程$ CP_1 + P_1P_2 + P_2D $最短？
任务三：造桥选址问题
如图③，A，B两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为$ a $，现要在河上造一座桥（桥必须与河岸垂直），使A，B之间的路程最短，试画出造桥位置。
实践反思 请你对任务学习的整个过程进行反思，写出一条过程中用到的数学知识：
最短路径问题
项目主题 巧用变换·智寻捷径——最短路径问题探究
项目背景 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题可以抽象为几何中求线段和的最小值问题。
研究目标
1. 理解最短路径问题的核心依据（“两点之间，线段最短”“垂线段最短”），掌握用轴对称、平移解决最短路径问题的基本方法，能在不同情境中构造最短路径。
2. 经历“情境抽象→模型构建→原理验证→实践应用”的流程，提升抽象思维、逻辑推理与动手画图能力，体会转化思想的应用。
3. 感受数学与生活的紧密联系，培养用数学的眼光观察生活的习惯，增强解决实际问题的信心与兴趣。
研究过程
任务一：牧民饮马问题
如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边$ l $饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？请在图中标出该点（保留作图痕迹，不写作法）。
任务二：牧民饮马问题的拓展
如图②，一个人从C点骑马出发到D点，但他必须先到河岸边$ l_1 $的$ P_1 $点让马饮水，然后再到河岸边$ l_2 $的$ P_2 $点，再次让马饮水，最后骑马到D点。他应如何选择饮水点$ P_1 $，$ P_2 $，才能使所走的路程$ CP_1 + P_1P_2 + P_2D $最短？
任务三：造桥选址问题
如图③，A，B两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为$ a $，现要在河上造一座桥（桥必须与河岸垂直），使A，B之间的路程最短，试画出造桥位置。
实践反思 请你对任务学习的整个过程进行反思，写出一条过程中用到的数学知识：
略.
.答案
解：
任务一
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的饮马点，保留对称点、连线、交点的作图痕迹。
任务二
1. 作点C关于直线$l_1$的对称点$C'$；
2. 作点D关于直线$l_2$的对称点$D'$；
3. 连接$C'D'$，交$l_1$于点$P_1$，交$l_2$于点$P_2$，点$P_1$、$P_2$即为所求的饮水点，此时总路程$CP_1+P_1P_2+P_2D$最短。
任务三
1. 过点A作垂直于河岸的线段$AA'$，使$AA'=a$，方向指向河的一侧；
2. 连接$A'B$，交河岸$l_2$于点N；
3. 过点N作$MN⊥ l_2$，交河岸$l_1$于点M，则线段MN即为所求的桥的位置，此时A到B的总路程最短。
实践反思：两点之间，线段最短（答案合理即可）。
任务一
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的饮马点，保留对称点、连线、交点的作图痕迹。
任务二
1. 作点C关于直线$l_1$的对称点$C'$；
2. 作点D关于直线$l_2$的对称点$D'$；
3. 连接$C'D'$，交$l_1$于点$P_1$，交$l_2$于点$P_2$，点$P_1$、$P_2$即为所求的饮水点，此时总路程$CP_1+P_1P_2+P_2D$最短。
任务三
1. 过点A作垂直于河岸的线段$AA'$，使$AA'=a$，方向指向河的一侧；
2. 连接$A'B$，交河岸$l_2$于点N；
3. 过点N作$MN⊥ l_2$，交河岸$l_1$于点M，则线段MN即为所求的桥的位置，此时A到B的总路程最短。
实践反思：两点之间，线段最短（答案合理即可）。
解析
【分析】
本题是三类常见的最短路径实际应用问题，解题核心是利用“两点之间，线段最短”的基本原理，通过轴对称、平移变换将分散的折线段转化为共线段，从而得到线段和的最小值。①任务一属于单直线同侧两点的最短路径问题：将其中一个点关于直线作对称，利用轴对称性质把同侧点转化为异侧点，连接对称点与另一个点，和直线的交点即为所求，此时折线路径和等于两点间线段长，为最小值。②任务二属于双直线上各取一点的路径和最值问题：将路径两端点分别对应两条直线作对称，连接两个对称点，与两条直线的交点就是两个饮水点，此时三段折线和等于两个对称点之间的线段长，为最小值。③任务三属于含固定长度线段的最短路径问题：桥长固定且与河岸垂直，将其中一个端点沿垂直河岸方向平移河宽长度，转化为平移后点与另一端点的最短路径问题，即可确定桥的位置。
【解析】
任务一
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点就是所求饮马点，作图时保留作对称点、连线、标记交点的痕迹即可。
任务二
1. 作点C关于直线$l_1$的对称点$C'$；
2. 作点D关于直线$l_2$的对称点$D'$；
3. 连接$C'D'$，分别与$l_1$交于$P_1$、与$l_2$交于$P_2$，根据轴对称性质可得$CP_1=C'P_1$，$P_2D=P_2D'$，因此总路程$CP_1+P_1P_2+P_2D=C'D'$，为两点之间的线段长度，是最小值。
任务三
1. 过点A作垂直于河岸的线段$AA'$，使$AA'=a$（河宽），方向朝向河流一侧；
2. 连接$A'B$，交靠近B的河岸$l_2$于点N；
3. 过点N作$MN⊥l_2$，交另一侧河岸$l_1$于点M，根据平移性质，$AM=A'N$，因此总路程$AM+MN+NB=A'B+a$，$A'B$为两点之间线段长，此时总路程最短。
实践反思
从“两点之间，线段最短”“轴对称的性质”“平移的性质”中任选其一即可。
【答案】
任务一：作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的饮马点，保留对称点、连线、交点的作图痕迹。
任务二：1. 作点C关于直线$l_1$的对称点$C'$；2. 作点D关于直线$l_2$的对称点$D'$；3. 连接$C'D'$，交$l_1$于点$P_1$，交$l_2$于点$P_2$，点$P_1$、$P_2$即为所求的饮水点。
任务三：1. 过点A作垂直于河岸的线段$AA'$，使$AA'=a$，方向指向河的一侧；2. 连接$A'B$，交河岸$l_2$于点N；3. 过点N作$MN⊥ l_2$，交河岸$l_1$于点M，则线段MN即为所求的桥的位置。
实践反思：两点之间，线段最短（答案合理即可）
【知识点】
1. 最短路径原理 2. 轴对称的性质 3. 平移的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三类最短路径经典模型，通过轴对称、平移变换将复杂的折线和最值问题转化为“两点之间线段最短”的基础几何结论，渗透了转化的数学思想，能有效提升将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
本题是三类常见的最短路径实际应用问题，解题核心是利用“两点之间，线段最短”的基本原理，通过轴对称、平移变换将分散的折线段转化为共线段，从而得到线段和的最小值。①任务一属于单直线同侧两点的最短路径问题：将其中一个点关于直线作对称，利用轴对称性质把同侧点转化为异侧点，连接对称点与另一个点，和直线的交点即为所求，此时折线路径和等于两点间线段长，为最小值。②任务二属于双直线上各取一点的路径和最值问题：将路径两端点分别对应两条直线作对称，连接两个对称点，与两条直线的交点就是两个饮水点，此时三段折线和等于两个对称点之间的线段长，为最小值。③任务三属于含固定长度线段的最短路径问题：桥长固定且与河岸垂直，将其中一个端点沿垂直河岸方向平移河宽长度，转化为平移后点与另一端点的最短路径问题，即可确定桥的位置。
【解析】
任务一
作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点就是所求饮马点，作图时保留作对称点、连线、标记交点的痕迹即可。
任务二
1. 作点C关于直线$l_1$的对称点$C'$；
2. 作点D关于直线$l_2$的对称点$D'$；
3. 连接$C'D'$，分别与$l_1$交于$P_1$、与$l_2$交于$P_2$，根据轴对称性质可得$CP_1=C'P_1$，$P_2D=P_2D'$，因此总路程$CP_1+P_1P_2+P_2D=C'D'$，为两点之间的线段长度，是最小值。
任务三
1. 过点A作垂直于河岸的线段$AA'$，使$AA'=a$（河宽），方向朝向河流一侧；
2. 连接$A'B$，交靠近B的河岸$l_2$于点N；
3. 过点N作$MN⊥l_2$，交另一侧河岸$l_1$于点M，根据平移性质，$AM=A'N$，因此总路程$AM+MN+NB=A'B+a$，$A'B$为两点之间线段长，此时总路程最短。
实践反思
从“两点之间，线段最短”“轴对称的性质”“平移的性质”中任选其一即可。
【答案】
任务一：作点A关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，与直线$l$的交点即为所求的饮马点，保留对称点、连线、交点的作图痕迹。
任务二：1. 作点C关于直线$l_1$的对称点$C'$；2. 作点D关于直线$l_2$的对称点$D'$；3. 连接$C'D'$，交$l_1$于点$P_1$，交$l_2$于点$P_2$，点$P_1$、$P_2$即为所求的饮水点。
任务三：1. 过点A作垂直于河岸的线段$AA'$，使$AA'=a$，方向指向河的一侧；2. 连接$A'B$，交河岸$l_2$于点N；3. 过点N作$MN⊥ l_2$，交河岸$l_1$于点M，则线段MN即为所求的桥的位置。
实践反思：两点之间，线段最短（答案合理即可）
【知识点】
1. 最短路径原理 2. 轴对称的性质 3. 平移的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三类最短路径经典模型，通过轴对称、平移变换将复杂的折线和最值问题转化为“两点之间线段最短”的基础几何结论，渗透了转化的数学思想，能有效提升将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.65
