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5.命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”的题设是
一个三角形的两个角互余
，结论是这个三角形是直角三角形
。答案
5.一个三角形的两个角互余；这个三角形是直角三角形
解析
【分析】
要区分命题的题设和结论，首先要明确命题的结构：所有命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的内容是题设（即已知条件），“那么”后面的内容是结论（即由条件推导得到的结果）。对于本题的命题，我们先将其改写为“如果……那么……”的形式，就能快速找到对应的题设和结论。
【解析】
命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成。
首先将原命题改写为“如果……那么……”的形式：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
因此，该命题的题设是“一个三角形的两个角互余”，结论是“这个三角形是直角三角形”。
【答案】
一个三角形的两个角互余；这个三角形是直角三角形
【知识点】
命题的结构；直角三角形的判定
【点评】
本题考查对命题相关概念的理解，解题核心是熟练掌握将原命题改写为“如果……那么……”形式的方法，从而准确区分题设与结论，属于基础题型，应当熟练掌握。
【难度系数】
0.9
要区分命题的题设和结论，首先要明确命题的结构：所有命题都可以改写为“如果……，那么……”的形式，其中“如果”后面的内容是题设（即已知条件），“那么”后面的内容是结论（即由条件推导得到的结果）。对于本题的命题，我们先将其改写为“如果……那么……”的形式，就能快速找到对应的题设和结论。
【解析】
命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成。
首先将原命题改写为“如果……那么……”的形式：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
因此，该命题的题设是“一个三角形的两个角互余”，结论是“这个三角形是直角三角形”。
【答案】
一个三角形的两个角互余；这个三角形是直角三角形
【知识点】
命题的结构；直角三角形的判定
【点评】
本题考查对命题相关概念的理解，解题核心是熟练掌握将原命题改写为“如果……那么……”形式的方法，从而准确区分题设与结论，属于基础题型，应当熟练掌握。
【难度系数】
0.9
6.如图，AD为△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，BC=10，则BD的长为 （
A.7.5
B.5
C.7.2
D.6
D
）A.7.5
B.5
C.7.2
D.6
答案
6.D
解析
【分析】
本题已知AD为△ABC的角平分线，给出AB与AC的比值、BC的长度，要求BD的长。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以借助这个性质得到△ABD和△ACD的高相等，进而得到两个三角形的面积比等于AB与AC的比；再结合两个三角形同高（以BC边上的高为公共高），面积比也等于BD与DC的比，即可得到BD和DC的比例关系，最后结合BD+DC=BC=10，设未知数求解即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF$，
因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DE}{\frac{1}{2}AC· DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$。
又因为△ABD和△ACD以BD、DC为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，二者高相等，
所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$。
设BD=3k，DC=2k，由BD+DC=BC=10得：
$3k+2k=10$，解得k=2，
因此BD=3×2=6。
【答案】D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例线段应用
【点评】
本题考查角平分线性质的灵活应用，通过面积法将角的两边比例转化为对边被分成的两条线段的比例是解题的关键，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
本题已知AD为△ABC的角平分线，给出AB与AC的比值、BC的长度，要求BD的长。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可以借助这个性质得到△ABD和△ACD的高相等，进而得到两个三角形的面积比等于AB与AC的比；再结合两个三角形同高（以BC边上的高为公共高），面积比也等于BD与DC的比，即可得到BD和DC的比例关系，最后结合BD+DC=BC=10，设未知数求解即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF$，
因此$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB· DE}{\frac{1}{2}AC· DF}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$。
又因为△ABD和△ACD以BD、DC为底时，高均为点A到BC的垂线段长度，二者高相等，
所以$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ ACD}}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$。
设BD=3k，DC=2k，由BD+DC=BC=10得：
$3k+2k=10$，解得k=2，
因此BD=3×2=6。
【答案】D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比例线段应用
【点评】
本题考查角平分线性质的灵活应用，通过面积法将角的两边比例转化为对边被分成的两条线段的比例是解题的关键，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
7. [2026阜阳期末]如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=6$，$AC=8$，$AB=10$，以点$B$为圆心，适当长为半径作弧，分别交$AB$，$BC$于点$M$，$N$，再分别以点$M$和点$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点$E$，作射线$BE$交$AC$于点$D$，则线段$CD$的长为
3
。答案
7.3
解析
【分析】
首先根据尺规作图的特征，判断出所作射线BE是∠ABC的角平分线，即BD平分∠ABC；再回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB的垂线，可得CD等于该垂线段的长度；最后设CD为未知数，结合全等三角形得到对应边相等，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，BD是∠ABC的角平分线。
过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠C=90°，即DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴根据角平分线的性质可得：CD=DF。
设CD=x，则DF=x，AD=AC-CD=8-x，
在Rt△BCD和Rt△BFD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ CD=DF\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BC=6，
∴AF=AB-BF=10-6=4。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AF^2 + DF^2 = AD^2$
代入得：$4^2 + x^2 = (8-x)^2$
展开计算：$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$
化简得：$16x = 48$
解得：$x=3$，即CD=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题的关键是先识别尺规作图得到角平分线，再利用角平分线的性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解，能较好地考查学生对基础作图和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据尺规作图的特征，判断出所作射线BE是∠ABC的角平分线，即BD平分∠ABC；再回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB的垂线，可得CD等于该垂线段的长度；最后设CD为未知数，结合全等三角形得到对应边相等，利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，BD是∠ABC的角平分线。
过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠C=90°，即DC⊥BC，BD平分∠ABC，
∴根据角平分线的性质可得：CD=DF。
设CD=x，则DF=x，AD=AC-CD=8-x，
在Rt△BCD和Rt△BFD中：
$\{\begin{array}{l}BD=BD\\ CD=DF\end{array} $
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF=BC=6，
∴AF=AB-BF=10-6=4。
在Rt△ADF中，由勾股定理得：
$AF^2 + DF^2 = AD^2$
代入得：$4^2 + x^2 = (8-x)^2$
展开计算：$16 + x^2 = 64 - 16x + x^2$
化简得：$16x = 48$
解得：$x=3$，即CD=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题是角平分线性质应用的典型题型，解题的关键是先识别尺规作图得到角平分线，再利用角平分线的性质得到相等线段，结合勾股定理列方程求解，能较好地考查学生对基础作图和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
8. [2025合肥期中]如图，$DE ⊥ AB$于$E$，$DF ⊥ AC$于$F$，若$BD=CD$，$AD$平分$∠ BAC$。
(1)求证：$BE=CF$；
(2)已知$AC=20$，$BE=4$，$DF=8$，求四边形$ABDC$的面积。
(1)求证：$BE=CF$；
(2)已知$AC=20$，$BE=4$，$DF=8$，求四边形$ABDC$的面积。
答案
8.(1)证明：略. (2)解：$S_{四边形ABDC}=128.$
解析
【分析】
(1) 要证明BE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，结合已知BD=CD，两个三角形都是直角三角形，可用HL定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得到BE=CF。
(2) 求不规则四边形ABDC的面积，可采用割补法：先利用角平分线的性质得DE=DF=8，再通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，结合(1)的结论CF=BE=4，算出AF的长度，将四边形拆成△ABD和△ACD分别计算面积再相加即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF。
(2) 解：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=8，∠E=∠DFA=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中：
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
由(1)可知CF=BE=4，
∴AF=AC - CF=20 - 4=16，即AE=16，
∴AB=AE - BE=16 - 4=12，
则$S_{四边形ABDC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF$
$=\frac{1}{2}×12×8+\frac{1}{2}×20×8$
$=48+80=128$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{128}$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题围绕角平分线的性质设计，将全等证明和面积计算结合，解题的核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过全等转化线段和面积关系，是角平分线应用的典型题型，需要熟练掌握相关定理和不规则面积的转化方法。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，结合已知BD=CD，两个三角形都是直角三角形，可用HL定理证明Rt△BDE≌Rt△CDF，即可得到BE=CF。
(2) 求不规则四边形ABDC的面积，可采用割补法：先利用角平分线的性质得DE=DF=8，再通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF，结合(1)的结论CF=BE=4，算出AF的长度，将四边形拆成△ABD和△ACD分别计算面积再相加即可。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中：
$\begin{cases} BD=CD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF。
(2) 解：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=8，∠E=∠DFA=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中：
$\begin{cases} AD=AD \\ DE=DF \end{cases}$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
由(1)可知CF=BE=4，
∴AF=AC - CF=20 - 4=16，即AE=16，
∴AB=AE - BE=16 - 4=12，
则$S_{四边形ABDC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× DE+\frac{1}{2}× AC× DF$
$=\frac{1}{2}×12×8+\frac{1}{2}×20×8$
$=48+80=128$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{128}$
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题围绕角平分线的性质设计，将全等证明和面积计算结合，解题的核心是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过全等转化线段和面积关系，是角平分线应用的典型题型，需要熟练掌握相关定理和不规则面积的转化方法。
【难度系数】
0.7
9. 几何直观 如图,已知点$P(2m-1,6m-5)$在第一象限的角平分线$OC$上,且$AP ⊥ BP$,点$A$在$x$轴的正半轴上,点$B$在$y$轴的正半轴上.
(1)求点$P$的坐标;
(2)当$∠ APB$绕点$P$旋转时,$OA+OB$的值是否发生变化?若变化,求出其变化范围;若不变,求出这个定值.
(1)求点$P$的坐标;
(2)当$∠ APB$绕点$P$旋转时,$OA+OB$的值是否发生变化?若变化,求出其变化范围;若不变,求出这个定值.
答案
9.解：(1)$P(1,1).$ (2)$OA+OB$的值不变. 定值为2.
解析
【分析】
(1) 第一象限角平分线上的点满足横、纵坐标相等，据此可列出关于m的方程，求解m后代入即可得到点P的坐标；
(2) 要判断OA+OB是否变化，可过点P作x轴、y轴的垂线，构造全等三角形，利用角平分线的性质得到相等的垂线段，结合AP⊥BP推出角相等，证明三角形全等后将OA、OB的线段进行转化，即可得到OA+OB的定值。
【解析】
(1)
∵ 第一象限的角平分线OC上的点的横、纵坐标相等，点$P(2m-1,6m-5)$在OC上
∴ $2m-1 = 6m-5$
解得：$m=1$
∴ $2m-1=2×1-1=1$，$6m-5=6×1-5=1$
∴ 点P的坐标为$(1,1)$
(2) $OA+OB$的值不变，定值为2，理由如下：
过点P作$PD⊥x$轴于点D，$PE⊥y$轴于点E
则$∠PEB=∠PDA=90°$
∵ P在第一象限角平分线OC上
∴ $PE=PD=1$，$∠EPD=90°$
∵ $AP⊥BP$
∴ $∠APB=90°$，即$∠EPB + ∠BPD = ∠BPD + ∠DPA = 90°$
∴ $∠EPB = ∠DPA$
在$△ PEB$和$△ PDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠PEB = ∠PDA \\PE = PD \\∠EPB = ∠DPA\end{array} $
∴ $△ PEB ≌ △ PDA$（ASA）
∴ $BE = AD$
∵ $OA = OD + AD$，$OB = OE - BE$，且$OD=OE=1$
∴ $OA + OB = (OD + AD) + (OE - BE) = 1 + AD + 1 - AD = 2$
【答案】
(1) $P(1,1)$；(2) $OA+OB$的值不变，定值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题第一问考查角平分线上的点的坐标特征，属于基础考点；第二问通过作垂直构造全等三角形完成线段的和差转化是解题的核心，这类动态几何中的定值问题是几何部分的常考题型，需要熟练掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
(1) 第一象限角平分线上的点满足横、纵坐标相等，据此可列出关于m的方程，求解m后代入即可得到点P的坐标；
(2) 要判断OA+OB是否变化，可过点P作x轴、y轴的垂线，构造全等三角形，利用角平分线的性质得到相等的垂线段，结合AP⊥BP推出角相等，证明三角形全等后将OA、OB的线段进行转化，即可得到OA+OB的定值。
【解析】
(1)
∵ 第一象限的角平分线OC上的点的横、纵坐标相等，点$P(2m-1,6m-5)$在OC上
∴ $2m-1 = 6m-5$
解得：$m=1$
∴ $2m-1=2×1-1=1$，$6m-5=6×1-5=1$
∴ 点P的坐标为$(1,1)$
(2) $OA+OB$的值不变，定值为2，理由如下：
过点P作$PD⊥x$轴于点D，$PE⊥y$轴于点E
则$∠PEB=∠PDA=90°$
∵ P在第一象限角平分线OC上
∴ $PE=PD=1$，$∠EPD=90°$
∵ $AP⊥BP$
∴ $∠APB=90°$，即$∠EPB + ∠BPD = ∠BPD + ∠DPA = 90°$
∴ $∠EPB = ∠DPA$
在$△ PEB$和$△ PDA$中：
$\{\begin{array}{l}∠PEB = ∠PDA \\PE = PD \\∠EPB = ∠DPA\end{array} $
∴ $△ PEB ≌ △ PDA$（ASA）
∴ $BE = AD$
∵ $OA = OD + AD$，$OB = OE - BE$，且$OD=OE=1$
∴ $OA + OB = (OD + AD) + (OE - BE) = 1 + AD + 1 - AD = 2$
【答案】
(1) $P(1,1)$；(2) $OA+OB$的值不变，定值为$\boldsymbol{2}$
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质
【点评】
本题第一问考查角平分线上的点的坐标特征，属于基础考点；第二问通过作垂直构造全等三角形完成线段的和差转化是解题的核心，这类动态几何中的定值问题是几何部分的常考题型，需要熟练掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
