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| 变式训练2 | 如图，$AB=CD=EF$，且$△ ACE≌△ BDF$，则图中平行四边形的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合已知的全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质得到三组对应边相等，再结合题目给出的AB=CD=EF的条件，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，逐一验证图中的四边形，最后统计平行四边形的个数即可。
【解析】
∵$△ ACE≌△ BDF$，根据全等三角形的对应边相等，可得：$AC=BD$，$CE=DF$，$AE=BF$。
又已知$AB=CD=EF$：
1. 对于四边形$ABDC$：$AB=CD$，$AC=BD$，两组对边分别相等，故四边形$ABDC$是平行四边形；
2. 对于四边形$CDFE$：$CD=EF$，$CE=DF$，两组对边分别相等，故四边形$CDFE$是平行四边形；
3. 对于四边形$ABFE$：$AB=EF$，$AE=BF$，两组对边分别相等，故四边形$ABFE$是平行四边形。
综上，图中共有3个平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是全等三角形性质与平行四边形判定的基础综合题，解题的核心是先通过全等得到等线段，再结合已知条件逐个验证四边形的对边关系，计数时注意不要漏数。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质得到三组对应边相等，再结合题目给出的AB=CD=EF的条件，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，逐一验证图中的四边形，最后统计平行四边形的个数即可。
【解析】
∵$△ ACE≌△ BDF$，根据全等三角形的对应边相等，可得：$AC=BD$，$CE=DF$，$AE=BF$。
又已知$AB=CD=EF$：
1. 对于四边形$ABDC$：$AB=CD$，$AC=BD$，两组对边分别相等，故四边形$ABDC$是平行四边形；
2. 对于四边形$CDFE$：$CD=EF$，$CE=DF$，两组对边分别相等，故四边形$CDFE$是平行四边形；
3. 对于四边形$ABFE$：$AB=EF$，$AE=BF$，两组对边分别相等，故四边形$ABFE$是平行四边形。
综上，图中共有3个平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是全等三角形性质与平行四边形判定的基础综合题，解题的核心是先通过全等得到等线段，再结合已知条件逐个验证四边形的对边关系，计数时注意不要漏数。
【难度系数】
0.7
1. 下列给出的条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的是 （
A.$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=1:1:2:2$
B.$AB=AD,CB=CD$
C.$AB=CD,AD=BC$
D.$∠ B=∠ C,∠ A=∠ D$
C
）A.$∠ A:∠ B:∠ C:∠ D=1:1:2:2$
B.$AB=AD,CB=CD$
C.$AB=CD,AD=BC$
D.$∠ B=∠ C,∠ A=∠ D$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查平行四边形的判定，解题时需先回忆平行四边形的判定定理，再结合四边形内角和性质逐一分析每个选项，排除不符合判定要求的选项，即可得到正确答案。首先明确平行四边形的核心判定特征：两组对边分别相等、两组对角分别相等、两组对边分别平行等，要注意区分对边/邻边、对角/邻角的差异。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：四边形内角和为$360°$，按比例计算得$∠ A=60°$，$∠ B=60°$，$∠ C=120°$，$∠ D=120°$，仅满足邻角相等、对角不相等，不符合平行四边形“两组对角分别相等”的判定要求，故A错误。
选项B：$AB=AD$，$CB=CD$是两组邻边相等，仅能说明四边形是筝形，不符合平行四边形“两组对边分别相等”的判定要求，故B错误。
选项C：$AB=CD$，$AD=BC$，满足“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故C正确。
选项D：$∠ B=∠ C$，$∠ A=∠ D$，结合内角和可推出$AD// BC$，但无法证明另一组对边平行，该四边形也可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、四边形内角和定理
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，重点考查对判定定理的理解和辨析能力，解题时要注意区分对边与邻边、对角与邻角的概念，避免将特殊四边形的性质和平行四边形判定条件混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查平行四边形的判定，解题时需先回忆平行四边形的判定定理，再结合四边形内角和性质逐一分析每个选项，排除不符合判定要求的选项，即可得到正确答案。首先明确平行四边形的核心判定特征：两组对边分别相等、两组对角分别相等、两组对边分别平行等，要注意区分对边/邻边、对角/邻角的差异。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：四边形内角和为$360°$，按比例计算得$∠ A=60°$，$∠ B=60°$，$∠ C=120°$，$∠ D=120°$，仅满足邻角相等、对角不相等，不符合平行四边形“两组对角分别相等”的判定要求，故A错误。
选项B：$AB=AD$，$CB=CD$是两组邻边相等，仅能说明四边形是筝形，不符合平行四边形“两组对边分别相等”的判定要求，故B错误。
选项C：$AB=CD$，$AD=BC$，满足“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故C正确。
选项D：$∠ B=∠ C$，$∠ A=∠ D$，结合内角和可推出$AD// BC$，但无法证明另一组对边平行，该四边形也可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、四边形内角和定理
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，重点考查对判定定理的理解和辨析能力，解题时要注意区分对边与邻边、对角与邻角的概念，避免将特殊四边形的性质和平行四边形判定条件混淆。
【难度系数】
0.8
2.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,
,求证:四边形ABCD是平行四边形。珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的,则被遮盖的条件可能是（
A.$AD=BC$
B.$∠ A+∠ B=180°$
C.$AB=CD$
D.$∠ B+∠ C=180°$
,求证:四边形ABCD是平行四边形。珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的,则被遮盖的条件可能是（D
）A.$AD=BC$
B.$∠ A+∠ B=180°$
C.$AB=CD$
D.$∠ B+∠ C=180°$
答案
2.D
解析
【分析】
要使用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，已知已有AD//BC，因此只需找到能推出另一组对边AB//CD的条件即可。接下来结合平行线的判定定理，逐一分析各选项是否符合要求，同时注意排除使用其他平行四边形判定定理的选项。
【解析】
已知AD//BC，题干要求依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定，因此需补充条件推出AB//CD：
选项A：若AD=BC，结合AD//BC，可依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定，不符合题干要求的判定依据，排除；
选项B：若∠A+∠B=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AD//BC，为题目已给条件，无法推出AB//CD，排除；
选项C：若AB=CD，AD//BC时四边形可能为等腰梯形，无法推出AB//CD，排除；
选项D：若∠B+∠C=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AB//CD，此时四边形ABCD两组对边分别平行，符合判定要求，当选。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的判定；同旁内角的性质
【点评】
本题重点考查平行四边形判定规则的应用，解题关键是先明确题干指定的判定依据，再结合平行线的判定条件筛选选项，注意区分平行四边形的不同判定定理，避免错选。
【难度系数】
0.8
要使用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，已知已有AD//BC，因此只需找到能推出另一组对边AB//CD的条件即可。接下来结合平行线的判定定理，逐一分析各选项是否符合要求，同时注意排除使用其他平行四边形判定定理的选项。
【解析】
已知AD//BC，题干要求依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定，因此需补充条件推出AB//CD：
选项A：若AD=BC，结合AD//BC，可依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定，不符合题干要求的判定依据，排除；
选项B：若∠A+∠B=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AD//BC，为题目已给条件，无法推出AB//CD，排除；
选项C：若AB=CD，AD//BC时四边形可能为等腰梯形，无法推出AB//CD，排除；
选项D：若∠B+∠C=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出AB//CD，此时四边形ABCD两组对边分别平行，符合判定要求，当选。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；平行线的判定；同旁内角的性质
【点评】
本题重点考查平行四边形判定规则的应用，解题关键是先明确题干指定的判定依据，再结合平行线的判定条件筛选选项，注意区分平行四边形的不同判定定理，避免错选。
【难度系数】
0.8
3. 直角边不等的两个全等直角三角形能拼成的不同平行四边形的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先明确拼接平行四边形的核心逻辑：两个全等三角形拼接成平行四边形时，需要将一组相等的对应边重合作为公共边，且两个三角形位于公共边的两侧，此时拼接后的图形两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件。接下来梳理全等直角三角形的三组相等边：两条长度不等的直角边、一组斜边，分别对应三种拼接情况，再判断每种情况得到的图形是否为平行四边形、是否互不相同即可。
【解析】
已知两个直角三角形全等且直角边不等，共有3组相等的对应边，分别拼接：
1. 将较短的直角边重合，两个三角形分在重合边两侧，可得到1个平行四边形，其两组对边分别为长直角边和三角形的斜边；
2. 将较长的直角边重合，两个三角形分在重合边两侧，可得到1个与前一种不同的平行四边形，其两组对边分别为短直角边和三角形的斜边；
3. 将斜边重合，两个三角形分在重合边两侧，可得到1个矩形，矩形属于特殊的平行四边形，其两组对边分别为两条直角边，和前两种平行四边形均不相同。
综上，共能拼成3个不同的平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的定义
【点评】
本题考查图形拼接与四边形判定的结合，易错点是容易忽略斜边重合得到的矩形属于平行四边形，或误以为只有两条直角边拼接的两种情况，解题时要注意分类讨论所有相等边的拼接情况，同时牢记矩形是特殊的平行四边形。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确拼接平行四边形的核心逻辑：两个全等三角形拼接成平行四边形时，需要将一组相等的对应边重合作为公共边，且两个三角形位于公共边的两侧，此时拼接后的图形两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件。接下来梳理全等直角三角形的三组相等边：两条长度不等的直角边、一组斜边，分别对应三种拼接情况，再判断每种情况得到的图形是否为平行四边形、是否互不相同即可。
【解析】
已知两个直角三角形全等且直角边不等，共有3组相等的对应边，分别拼接：
1. 将较短的直角边重合，两个三角形分在重合边两侧，可得到1个平行四边形，其两组对边分别为长直角边和三角形的斜边；
2. 将较长的直角边重合，两个三角形分在重合边两侧，可得到1个与前一种不同的平行四边形，其两组对边分别为短直角边和三角形的斜边；
3. 将斜边重合，两个三角形分在重合边两侧，可得到1个矩形，矩形属于特殊的平行四边形，其两组对边分别为两条直角边，和前两种平行四边形均不相同。
综上，共能拼成3个不同的平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质，平行四边形的判定，矩形的定义
【点评】
本题考查图形拼接与四边形判定的结合，易错点是容易忽略斜边重合得到的矩形属于平行四边形，或误以为只有两条直角边拼接的两种情况，解题时要注意分类讨论所有相等边的拼接情况，同时牢记矩形是特殊的平行四边形。
【难度系数】
0.7
4. 如图,点 A 是直线 l 外一点,在 l 上取两点 B,C,分别以 A,C 为圆心、BC,AB 长为半径画弧,两弧交于点 D,分别连接 AB,AD,CD,则四边形 ABCD 是平行四边形。其依据是 (
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B
)A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先从题目给出的尺规作图步骤入手，分析得出四边形各边的数量关系：以A为圆心、BC长为半径画弧得到AD，说明AD=BC；以C为圆心、AB长为半径画弧得到CD，说明CD=AB。再结合平行四边形的判定定理，对应符合的判定依据即可选出正确答案。
【解析】
根据作图方法可得：
1. 因为以点A为圆心，BC的长度为半径画弧，所以AD = BC；
2. 因为以点C为圆心，AB的长度为半径画弧，所以CD = AB；
由此可知四边形ABCD的两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；尺规作图的性质
【点评】
本题结合尺规作图操作考查平行四边形的判定，解题核心是从作图步骤中提取出两组对边分别相等的条件，属于基础概念类考题，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先从题目给出的尺规作图步骤入手，分析得出四边形各边的数量关系：以A为圆心、BC长为半径画弧得到AD，说明AD=BC；以C为圆心、AB长为半径画弧得到CD，说明CD=AB。再结合平行四边形的判定定理，对应符合的判定依据即可选出正确答案。
【解析】
根据作图方法可得：
1. 因为以点A为圆心，BC的长度为半径画弧，所以AD = BC；
2. 因为以点C为圆心，AB的长度为半径画弧，所以CD = AB；
由此可知四边形ABCD的两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可判定四边形ABCD是平行四边形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；尺规作图的性质
【点评】
本题结合尺规作图操作考查平行四边形的判定，解题核心是从作图步骤中提取出两组对边分别相等的条件，属于基础概念类考题，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.9
5.如图,有甲、乙两张纸条,甲纸条的宽度是乙纸条的2倍,将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形ABCD,则AB与BC的数量关系为
AB=2BC
。答案
5.$AB=2BC$
解析
【分析】
首先根据纸条对边平行的特征，可判定重合部分四边形ABCD是平行四边形；接下来利用平行四边形面积的两种不同计算方式建立等量关系：分别以BC、AB为底时，对应的高恰好是甲、乙两张纸条的宽度；结合题目给出的甲纸条宽度是乙的2倍的条件，代入面积等量式消去公共量即可得到AB和BC的数量关系。
【解析】
解：
∵甲、乙两张纸条的对边都互相平行
∴AB//CD，AD//BC，即四边形ABCD是平行四边形
过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F
则AE的长度为甲纸条的宽度，AF的长度为乙纸条的宽度
由题意可得：$AE=2AF$
根据平行四边形面积公式$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，可得：
$S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=BC· AE=AB· AF$
将$AE=2AF$代入上式得：
$BC×2AF=AB× AF$
∵$AF≠0$，两边同时除以AF得：
$2BC=AB$，即$AB=2BC$
【答案】
$AB=2BC$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的面积计算；平行线间的距离
【点评】
本题结合生活实际场景，考查等面积法在平行四边形中的应用，解题的关键是明确纸条的宽度对应平行四边形对应底边上的高，能很好地锻炼学生转化问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据纸条对边平行的特征，可判定重合部分四边形ABCD是平行四边形；接下来利用平行四边形面积的两种不同计算方式建立等量关系：分别以BC、AB为底时，对应的高恰好是甲、乙两张纸条的宽度；结合题目给出的甲纸条宽度是乙的2倍的条件，代入面积等量式消去公共量即可得到AB和BC的数量关系。
【解析】
解：
∵甲、乙两张纸条的对边都互相平行
∴AB//CD，AD//BC，即四边形ABCD是平行四边形
过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F
则AE的长度为甲纸条的宽度，AF的长度为乙纸条的宽度
由题意可得：$AE=2AF$
根据平行四边形面积公式$S=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，可得：
$S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=BC· AE=AB· AF$
将$AE=2AF$代入上式得：
$BC×2AF=AB× AF$
∵$AF≠0$，两边同时除以AF得：
$2BC=AB$，即$AB=2BC$
【答案】
$AB=2BC$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的面积计算；平行线间的距离
【点评】
本题结合生活实际场景，考查等面积法在平行四边形中的应用，解题的关键是明确纸条的宽度对应平行四边形对应底边上的高，能很好地锻炼学生转化问题的能力。
【难度系数】
0.7
