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【例2】把二次函数$y=(x-1)^2 -3(x-2)$化为一般形式，一次项系数为 （
A.$-2$
B.$3$
C.$-5$
D.$-7$
【规律方法】
将二次函数化为一般形式的方法
将解析式利用完全平方公式或多项式乘法展开，注意括号前是负号时要将括号内每一项变号，再合并同类项，整理成$y=ax^2+bx+c$的形式，根据一般形式可直接得到二次项系数、一次项系数和常数项。
变式训练
C
）A.$-2$
B.$3$
C.$-5$
D.$-7$
【规律方法】
将二次函数化为一般形式的方法
将解析式利用完全平方公式或多项式乘法展开，注意括号前是负号时要将括号内每一项变号，再合并同类项，整理成$y=ax^2+bx+c$的形式，根据一般形式可直接得到二次项系数、一次项系数和常数项。
变式训练
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确解题目标：先将给定的二次函数解析式转化为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的一般形式，再从中找出一次项系数。解题思路分三步：第一步，利用完全平方公式展开$(x-1)^2$；第二步，根据去括号法则去掉$-3(x-2)$的括号，注意括号前是负号，括号内各项要变号；第三步，合并同类项得到一般形式，对应找到一次项系数即可。
【解析】
解：按步骤化简给定的二次函数解析式：
1. 展开完全平方项：$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 去括号：$-3(x-2) = -3x + 6$
3. 合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x-1)^2 -3(x-2)\\&=x^2 - 2x + 1 - 3x + 6\\&=x^2 + (-2x-3x) + (1+6)\\&=x^2 -5x +7\end{aligned}$
得到二次函数一般形式为$y=x^2 -5x +7$，其中一次项系数为$-5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的一般形式；2. 整式化简运算；3. 完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数一般形式的转化，解题易错点为去括号时符号处理错误，熟练掌握整式运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确解题目标：先将给定的二次函数解析式转化为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的一般形式，再从中找出一次项系数。解题思路分三步：第一步，利用完全平方公式展开$(x-1)^2$；第二步，根据去括号法则去掉$-3(x-2)$的括号，注意括号前是负号，括号内各项要变号；第三步，合并同类项得到一般形式，对应找到一次项系数即可。
【解析】
解：按步骤化简给定的二次函数解析式：
1. 展开完全平方项：$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
2. 去括号：$-3(x-2) = -3x + 6$
3. 合并同类项：
$\begin{aligned}y&=(x-1)^2 -3(x-2)\\&=x^2 - 2x + 1 - 3x + 6\\&=x^2 + (-2x-3x) + (1+6)\\&=x^2 -5x +7\end{aligned}$
得到二次函数一般形式为$y=x^2 -5x +7$，其中一次项系数为$-5$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的一般形式；2. 整式化简运算；3. 完全平方公式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数一般形式的转化，解题易错点为去括号时符号处理错误，熟练掌握整式运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
2.把$y=(3x-2)(x+3)$化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为
1
。答案
1
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其中$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先用多项式乘法法则将给定的函数表达式展开，再合并同类项化为一般形式，接着找出对应的一次项系数和常数项，最后计算二者的和即可，注意系数包含本身的符号。
【解析】
先将给定的函数化为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(3x-2)(x+3)\\&=3x· x+3x×3-2· x-2×3\\&=3x^2+9x-2x-6\\&=3x^2+7x-6\end{aligned}$
可得一次项系数为$7$，常数项为$-6$，二者的和为：$7+(-6)=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数一般形式的理解，解题的关键是正确展开多项式、合并同类项，计算时要注意各项的符号，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先要明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其中$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时首先用多项式乘法法则将给定的函数表达式展开，再合并同类项化为一般形式，接着找出对应的一次项系数和常数项，最后计算二者的和即可，注意系数包含本身的符号。
【解析】
先将给定的函数化为一般形式：
$\begin{aligned}y&=(3x-2)(x+3)\\&=3x· x+3x×3-2· x-2×3\\&=3x^2+9x-2x-6\\&=3x^2+7x-6\end{aligned}$
可得一次项系数为$7$，常数项为$-6$，二者的和为：$7+(-6)=1$。
【答案】
1
【知识点】
二次函数的一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对二次函数一般形式的理解，解题的关键是正确展开多项式、合并同类项，计算时要注意各项的符号，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.85
【例3】已知 $y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x$ 是关于x的二次函数，求m的值及函数解析式.
解:
【规律方法】
要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2，二次项系数不为0，列出关于所求字母的方程(组)或不等式，解方程(组)或不等式，即可确定字母的值.
解:
【规律方法】
要确定二次函数中待定字母的值，需根据二次函数自变量的最高次数是2，二次项系数不为0，列出关于所求字母的方程(组)或不等式，解方程(组)或不等式，即可确定字母的值.
答案
$m=2$. $y=-3x^2+5x$.
解析
【分析】
要确定m的值，需结合二次函数的定义思考，二次函数需要满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，就不是二次函数了）。我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的m值，最后将符合条件的m代入原式就能得到函数解析式。
【解析】
解：
∵ $y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x$ 是关于x的二次函数
∴ 需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - m = 2$
整理得 $m^2 - m - 2 = 0$
因式分解得 $(m-2)(m+1)=0$
解得 $m=2$ 或 $m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$-(m+1) ≠ 0$
解得 $m ≠ -1$
结合上述两个条件，排除$m=-1$，得$m=2$。
将$m=2$代入原函数式，得：
$y=-(2+1)x^{2} +5x = -3x^2 +5x$
【答案】
$m=2$，函数解析式为$y=-3x^2+5x$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数需要同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合二次函数的定义思考，二次函数需要满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（否则二次项消失，就不是二次函数了）。我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的m值，最后将符合条件的m代入原式就能得到函数解析式。
【解析】
解：
∵ $y=-(m+1)x^{m^2 - m} +5x$ 是关于x的二次函数
∴ 需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - m = 2$
整理得 $m^2 - m - 2 = 0$
因式分解得 $(m-2)(m+1)=0$
解得 $m=2$ 或 $m=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$-(m+1) ≠ 0$
解得 $m ≠ -1$
结合上述两个条件，排除$m=-1$，得$m=2$。
将$m=2$代入原函数式，得：
$y=-(2+1)x^{2} +5x = -3x^2 +5x$
【答案】
$m=2$，函数解析式为$y=-3x^2+5x$
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的关键是牢记二次函数需要同时满足最高次项次数为2、二次项系数不为0两个条件，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制，导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
3.已知函数$y=(m^2+m)x^{m^2-2m-1}+(m-3)x+m^2-11$是关于$x$的二次函数.
(1)求$m$的值.
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)求$m$的值.
(2)写出二次项系数、一次项系数及常数项.
答案
解:(1)$m=3$.
(2)二次项系数是12,一次项系数是0,常数项是$-2$.
(2)二次项系数是12,一次项系数是0,常数项是$-2$.
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确二次函数的定义要求：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足两个核心条件：①$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。首先根据这两个条件列方程和不等式，求解得到$m$的取值；再将$m$代入原函数，分别计算各项的系数即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，列关系式：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
先解方程$m^2 - 2m - 1 = 2$，移项整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
再解不等式$m^2 + m ≠ 0$，提取公因式得$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$。
结合上述结果，舍去不符合要求的$m=-1$，故$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数的各项系数计算：
二次项系数：$m^2 + m = 3^2 + 3 = 12$；
一次项系数：$m - 3 = 3 - 3 = 0$；
常数项：$m^2 - 11 = 3^2 - 11 = -2$。
【答案】
(1)$m=3$；(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是$-2$。
【知识点】
二次函数的概念；一元二次方程的解法；不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题关键是牢记二次函数的两个限制条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，错误保留$m=-1$的解，同时注意一次项系数为0时也需明确写出，不能省略。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确二次函数的定义要求：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需同时满足两个核心条件：①$x$的最高次数为2；②二次项系数不为0。首先根据这两个条件列方程和不等式，求解得到$m$的取值；再将$m$代入原函数，分别计算各项的系数即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，列关系式：
$\begin{cases}m^2 - 2m - 1 = 2 \\m^2 + m ≠ 0\end{cases}$
先解方程$m^2 - 2m - 1 = 2$，移项整理得$m^2 - 2m - 3 = 0$，因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
再解不等式$m^2 + m ≠ 0$，提取公因式得$m(m+1)≠0$，即$m≠0$且$m≠-1$。
结合上述结果，舍去不符合要求的$m=-1$，故$m=3$。
(2) 将$m=3$代入原函数的各项系数计算：
二次项系数：$m^2 + m = 3^2 + 3 = 12$；
一次项系数：$m - 3 = 3 - 3 = 0$；
常数项：$m^2 - 11 = 3^2 - 11 = -2$。
【答案】
(1)$m=3$；(2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是$-2$。
【知识点】
二次函数的概念；一元二次方程的解法；不等式求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题关键是牢记二次函数的两个限制条件，易错点是容易忽略二次项系数不为0的要求，错误保留$m=-1$的解，同时注意一次项系数为0时也需明确写出，不能省略。
【难度系数】
0.7
【例4】某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m的篱笆围成.如图(示意图)，已知墙长为12 m，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x m.
(1)若平行于墙的一边的长为a m，直接写出a与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围.
(2)设苗圃园的面积为y m²，求y与x之间的函数解析式，并指明函数的类型.
(3)当这个苗圃园的面积为42 m²时，求x的值.
|思路分析|
思考1:a与x成什么函数关系？其中自变量x的取值受什么条件的限制？
思考2:苗圃园的面积可表示为
解:
(1)若平行于墙的一边的长为a m，直接写出a与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围.
(2)设苗圃园的面积为y m²，求y与x之间的函数解析式，并指明函数的类型.
(3)当这个苗圃园的面积为42 m²时，求x的值.
|思路分析|
思考1:a与x成什么函数关系？其中自变量x的取值受什么条件的限制？
思考2:苗圃园的面积可表示为
$y=ax$
.(写出y关于x的函数解析式)解:
答案
思考1:a 与 x 成一次函数关系,x 的取值要保证矩形苗圃园平行于墙的一边的长不大于墙长,且矩形的边长都大于0.
思考2:$y=ax$
解:(1)$a=20-2x(4≤ x＜10)$.
(2)$y=-2x^2+20x(4≤ x＜10)$.
$y$ 是 $x$ 的二次函数.
(3)$x=7$.
思考2:$y=ax$
解:(1)$a=20-2x(4≤ x＜10)$.
(2)$y=-2x^2+20x(4≤ x＜10)$.
$y$ 是 $x$ 的二次函数.
(3)$x=7$.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解(1)问时，先根据篱笆总长度推导平行于墙的边长a和垂直于墙的边长x的数量关系；再结合实际限制：平行于墙的边长不能超过墙长、边长必须为正数，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
2. 求解(2)问时，利用矩形面积公式“面积=长×宽”，将a用含x的式子代入，即可得到y关于x的函数解析式，再根据解析式的形式判断函数类型。
3. 求解(3)问时，令y=42得到一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围舍去不符合实际的根，即可得到正确的x值。
【解析】
(1) 已知三边篱笆总长为20m，两条垂直于墙的边长均为x m，因此平行于墙的边长$a=20-2x$。
根据实际意义列不等式组：$\begin{cases}a＞0 \\ a≤12 \end{cases}$，即$\begin{cases}20-2x＞0 \\ 20-2x≤12 \end{cases}$
解第一个不等式得$x＜10$，解第二个不等式得$x≥4$，因此x的取值范围为$4≤ x＜10$。
即$a=20-2x(4≤ x＜10)$。
(2) 矩形苗圃园面积$y=a· x$，将$a=20-2x$代入得：
$y=x(20-2x)=-2x^2+20x$，自变量x的取值范围为$4≤ x＜10$。
该函数最高次项次数为2，因此y是x的二次函数。
(3) 当苗圃园面积为$42m^2$时，令$y=42$，可得方程：
$-2x^2+20x=42$
整理得$x^2-10x+21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3，x_2=7$。
结合x的取值范围$4≤ x＜10$，舍去不符合要求的$x=3$，因此$x=7$。
【答案】
(1) $a=20-2x(4≤ x＜10)$
(2) $y=-2x^2+20x(4≤ x＜10)$，y是x的二次函数
(3) $x=7$
【知识点】
函数自变量取值范围；二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活实际考查函数相关知识，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，求解方程后需验证根是否符合实际要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求解(1)问时，先根据篱笆总长度推导平行于墙的边长a和垂直于墙的边长x的数量关系；再结合实际限制：平行于墙的边长不能超过墙长、边长必须为正数，列不等式组求解即可得到x的取值范围。
2. 求解(2)问时，利用矩形面积公式“面积=长×宽”，将a用含x的式子代入，即可得到y关于x的函数解析式，再根据解析式的形式判断函数类型。
3. 求解(3)问时，令y=42得到一元二次方程，求解方程后结合x的取值范围舍去不符合实际的根，即可得到正确的x值。
【解析】
(1) 已知三边篱笆总长为20m，两条垂直于墙的边长均为x m，因此平行于墙的边长$a=20-2x$。
根据实际意义列不等式组：$\begin{cases}a＞0 \\ a≤12 \end{cases}$，即$\begin{cases}20-2x＞0 \\ 20-2x≤12 \end{cases}$
解第一个不等式得$x＜10$，解第二个不等式得$x≥4$，因此x的取值范围为$4≤ x＜10$。
即$a=20-2x(4≤ x＜10)$。
(2) 矩形苗圃园面积$y=a· x$，将$a=20-2x$代入得：
$y=x(20-2x)=-2x^2+20x$，自变量x的取值范围为$4≤ x＜10$。
该函数最高次项次数为2，因此y是x的二次函数。
(3) 当苗圃园面积为$42m^2$时，令$y=42$，可得方程：
$-2x^2+20x=42$
整理得$x^2-10x+21=0$，因式分解得$(x-3)(x-7)=0$，解得$x_1=3，x_2=7$。
结合x的取值范围$4≤ x＜10$，舍去不符合要求的$x=3$，因此$x=7$。
【答案】
(1) $a=20-2x(4≤ x＜10)$
(2) $y=-2x^2+20x(4≤ x＜10)$，y是x的二次函数
(3) $x=7$
【知识点】
函数自变量取值范围；二次函数的定义；一元二次方程的求解
【点评】
本题结合生活实际考查函数相关知识，解题时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，求解方程后需验证根是否符合实际要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
